Lorentz grupp

Den stabila versionen checkades ut den 24 juni 2022 . Det finns overifierade ändringar i mallar eller .

Lorentz-gruppen är en grupp Lorentz-transformationer av Minkowski-rummet som bevarar ursprunget till koordinater (det vill säga de är linjära operatorer ) [1] .

Lorentz-gruppen består av homogena linjära transformationer av de fyrdimensionella rum-tid-koordinaterna:

x_{\nu }'=\summa _{\mu }L_{\nu \mu }x_{\mu },

x_{0}=ct,\quad x_{1}=x,\quad x_{2}=y,\quad x_{3}=z,

som lämnar invariant den kvadratiska formen med signatur (1, 3), vilket är ett matematiskt uttryck för ett fyrdimensionellt intervall [2] . I synnerhet inkluderar Lorentz-gruppen rumsrotationer i tre plan , Lorentz-transformationer , reflektioner av rumsliga axlar : och alla deras produkter. ${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2))$ $xy,\yz,\zx$ $xt,\yt,\zt$ $x,y,z$ $x\to -x,\ y\to -y,\ z\to -z$

Lorentzgruppen är ett specialfall av den obestämda ortogonala gruppen [3] , och betecknas därför (antingen , som motsvarar en kvadratisk form med motsatta tecken och permuterade koordinater), eller , och även [2] . $O(1,3)$ $O(3,1)$ $O(1,3;\mathbb {R} )$ $\mathrm {O} _{1,3}(\mathbb {R} )$ $\mathcal{L}$

En speciell Lorentz-grupp eller riktig Lorentz-grupp är en undergrupp av transformationer vars matrisdeterminant är lika med 1 (i det allmänna fallet är den lika med ±1). $SO(1,3)$

Ortokron Lorentz-grupp (även betecknad , och den kan identifieras med den projektiva (obestämda) ortogonala gruppen ), speciell (eller riktig) ortokron Lorentz-grupp - liknande, men alla transformationer bevarar framtidens riktning i tid ( koordinattecken ). Gruppen , den enda av de fyra, är ansluten och isomorf till Möbiusgruppen . $O_{\uparrow }(1,3)$ $\mathrm {O} _{1,3}^{+}(\mathbb {R} )$ $\mathrm {PO} _{1,3}(\mathbb {R} )$ $SO_{\uparrow }(1,3)$ $x^0$ $SO_{\uparrow }(1,3)$

Ibland ingår det ortokroniska tillståndet i definitionen av Lorentzgruppen, i vilket fall gruppen som involverar transformationer som ändrar tidens riktning kan kallas den allmänna Lorentzgruppen [4] [5] . Ibland förstås Lorentz-gruppen också som den rätta ortokrona Lorentz-gruppen [6] .

Representationer av Lorentz-gruppen

Symmetri i fysik
omvandling	Motsvarande invarians	Motsvarande fredningslag _
↕ Sändningstid _	Tidens enhetlighet	…energi
⊠ C , P , CP och T - symmetrier	Tidsisotropi _	... paritet
↔ Sändningsutrymme _	Rymdens homogenitet	…impuls
↺ Rotation av rymden	Isotropi av rymden	… fart
⇆ Lorentz-grupp (boostar)	Relativitet Lorentz kovarians	… masscentrums rörelser
~ Mätare transformation	Mätarinvarians	... ladda

Låt en fysisk storhet (till exempel en fyrdimensionell energimomentvektor eller en elektromagnetisk fältpotential) beskrivas med en flerkomponentkoordinatfunktion . När man flyttar från en tröghetsreferensram till en annan transformeras komponenterna i en fysisk storhet linjärt genom varandra: . I det här fallet har matrisen en rangordning lika med antalet komponenter i kvantiteten . Varje element i Lorentz-gruppen motsvarar en linjär transformation , till Lorentz-gruppens identitetselement (identisk transformation) motsvarar en enhetsomvandling och produkten av två element i Lorentz-gruppen och motsvarar produkten av två transformationer . Ett system av matriser med de listade egenskaperna kallas en linjär representation av Lorentz-gruppen. [7] $U_{\alpha }(x)$ $u_{\beta }'=\sum _{\alpha }\Lambda _{\beta \alpha }u_{\alpha }(x)$ $\lambda$ $\nu$ ${\displaystyle u_{\alpha ))$ $P$ $\Lambda (P)$ $\lambda=1$ $P_1$ $P_2$ $\Lambda (P_{1}P_{2})=\Lambda (P_{1})\Lambda (P_{2})$

Representationer av Lorentz-gruppen i komplexa linjära utrymmen är mycket viktiga för fysiken, eftersom de är förknippade med begreppet spin . Alla irreducerbara representationer av den speciella ortokroniska Lorentz-gruppen kan konstrueras med hjälp av spinorer . $SO_{\uparrow }(1,3)$

Anteckningar

↑ Den halvdirekta produkten av Lorentz-gruppen och gruppen av parallella översättningar av Minkowski-rummet kallas Poincaré-gruppen av historiska skäl . Å andra sidan innehåller Lorentz-gruppen som sin undergrupp gruppen av rotationer i det 3-dimensionella rummet.
↑ 1 2 S. I. Azakov, V. P. Pavlov. Lorentz-gruppen // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (vol. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Brian C. Hall. Lögngrupper, lögnalgebror och representationer: en grundläggande introduktion. — Springer, 2003. — S. 7.
↑ Gelfand, Minlos, Shapiro, 1958 , sid. 165-166.
↑ Shirkov, 1980 , sid. 146.
↑ Naber, 2012 , sid. 19.
↑ Shirkov, 1980 , sid. 147.

Litteratur

Gelfand I. M. , Minlos R. A. , Shapiro Z. Ya. Representationer för rotationsgruppen och Lorentzgruppen. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 367 sid.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Modern geometri: metoder och tillämpningar. - M. : Nauka, 1986. - 760 sid.
Lyubarsky G. Ya. Gruppteori och dess tillämpning i fysik. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 355 sid.
Naimark M. A. Linjära representationer av Lorentz-gruppen. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 376 sid.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Teori om grupper och symmetrier. slutgrupper. Lögngrupper och algebror. - M. : URSS, 2018. - 491 sid.
Fedorov F.I. Lorentz grupp. - M. : Nauka, 1979. - 384 sid. ( Vektorparametriseringen av Lorentz-gruppen och dess tillämpning presenteras)
Artin, Emily. Geometrisk algebra . — New York: Wiley, 1957. . Se kapitel III för de ortogonala grupperna O(p, q).
Carmeli, Moshe. Gruppteori och allmän relativitet, representationer av Lorentz-gruppen och deras tillämpningar på gravitationsfältet . — McGraw-Hill, New York, 1977. . En kanonisk referens; se kapitel 1-6 för representationer av Lorentz-gruppen.
Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2nd Ed.) (engelska) . — Cambridge: Cambridge University Press , 2004. . En utmärkt resurs för lögnteori, fiberbuntar, spinorialbeläggningar och många andra ämnen.
Fulton, William; & Harris, Joe. Representationsteori : en första kurs . — New York: Springer-Verlag , 1991. . Se föreläsning 11 för de irreducerbara representationerna av SL(2, C ).
Hall, GS Symmetrier och krökningsstruktur i allmän relativitet . - Singapore: World Scientific , 2004. . Se kapitel 6 för subalgebrerna för Lie-algebra i Lorentz-gruppen.
Hatcher, Allen. Algebraisk topologi . - Cambridge: Cambridge University Press , 2002. . Se även onlineversionen . Tillträdesdatum: 3 juli 2005. Arkiverad från originalet den 20 februari 2012. (obestämd) Se avsnitt 1.3 för en vackert illustrerad diskussion om att täcka utrymmen. Se avsnitt 3D för topologi för rotationsgrupper.
Naber, Gregory. Geometrin hos Minkowski Spacetime . — New York: Springer , 2012. — ISBN 978-1-4419-7838-7 . . En utmärkt referens om Minkowskis rumtid och Lorentz-gruppen.
Needham, Tristam. Visuell komplex analys . — Oxford: Oxford University Press , 1997. . Se kapitel 3 för en utmärkt illustrerad diskussion om Möbius-transformationer.
Shirkov DV Mikrokosmos fysik. - M . : Soviet Encyclopedia, 1980. - 527 sid.

Se även

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform