Rotationsgrupp

Rotationsgrupp ( varvgrupp ) i mekanik och geometri - en uppsättning av alla rotationer runt origo i tredimensionellt euklidiskt rum . Per definition är en rotation runt origo en linjär transformation som bevarar längden på vektorerna och även bevarar orienteringen (höger och vänster trio av vektorer). Rotationsgruppen är isomorf till gruppen av reella ortogonala matriser med determinant 1 (kallad den speciella ortogonala gruppen av dimension 3 - ). $\mathbb {R} ^{3}$ $3 gånger 3$ ${\mathrm {SO}}(3)$

Egenskaper

Alla rotationsgrupper , inklusive och , är Lie-grupper . ${\mathrm {SO}}(n)$ ${\mathrm {SO}}(3)$ $\mathrm {SO} (2)$
Grupperna av rotationer och i allmänhet för är icke- kommutativa. ${\mathrm {SO}}(3)$ ${\mathrm {SO}}(n)$ $n > 2$
Gruppen är diffeomorf till ett projektivt utrymme med dimension 3. Genom Eulers rotationssats kan vilken rotation som helst ges av en rät linje (rotationsaxeln som ges av enhetsvektorn ) som går genom centrum av koordinater och en vinkel . Man skulle kunna associera varje rotation med en vektor och därigenom identifiera elementen i rotationsgruppen med punkter i kulan med radie . En sådan jämförelse skulle dock inte vara bijektiv, eftersom samma rotation motsvarar vinklarna och . Därför, genom att identifiera diametralt motsatta punkter på bollens gräns, får vi ett projektivt utrymme . ${\mathrm {SO}}(3)$ $v$ $\varphi \i [-\pi,\pi]$ $\varphi v$ $\pi$ $\pi$ $-\pi$
Den universella täckande gruppen är en speciell enhetlig grupp , eller, vad är detsamma, en grupp av kvaternioner av enhetsmodulo (verkar på tangentutrymmet till enhetssfären genom konjugationer). I det här fallet är beläggningen två -ark. ${\mathrm {SO}}(3)$ ${\mathrm {SU}}(2)$

Variationer och generaliseringar

Ibland kallas rotationsgrupper en speciell ortogonal grupp - rotationsgruppen av -dimensionellt euklidiskt rum. Ett specialfall är gruppen av planrotationer eller U(1) ; till skillnad från fallet med rotation av tredimensionellt utrymme, är det kommutativt . ${\mathrm {SO}}(n)$ $n$ $\mathrm {SO} (2)$

Se även

Litteratur

Vinberg E. B. Algebrakurs. - 3:e uppl. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-88688-060-7 .
Bogopolsky OV Introduktion till gruppteori. - M. : Moskva-Izhevsk: IKI, 2002. - 148 sid. — ISBN 5-93972-165-6 .