Euler vinklar

Eulervinklar är vinklar som beskriver rotationen av en absolut stel kropp i tredimensionellt euklidiskt utrymme . Introducerad av Leonhard Euler .

Jämfört med Euler-vinklar gör kvaternioner det lättare att kombinera rotationer, samt slipper problemet med att inte kunna rotera runt en axel, oavsett perfekt rotation i andra axlar (se Kvaternioner och rymdrotation ).

Definition

Euler-vinklar definierar tre rotationer av systemet, vilket gör att du kan föra vilken position som helst i systemet till den nuvarande. Låt oss beteckna det initiala koordinatsystemet som , slutligt som . Skärningspunkten mellan koordinatplanen kallas nodlinjen . $(x,y,z)$ $(X,Y,Z)$ $xy$ $XY$ $N$

Vinkeln mellan axeln och nodlinjen är precessionsvinkeln. $\alfa$ $x$
Vinkeln mellan axlarna och är nutationsvinkeln. $\beta$ $z$ $Z$
Vinkeln mellan nodlinjen och axeln är vinkeln för dess egen rotation. $\gamma$ $X$

Systemets rotationer genom dessa vinklar kallas precession , nutation och rotation genom sin egen vinkel ( rotation ). Sådana rotationer är icke- kommutativa och systemets slutliga position beror på i vilken ordning rotationerna utförs. När det gäller Euler-vinklar utförs en serie med tre rotationer:

Vinkel runt axeln . I detta fall ändras axeln till . $\alfa$ $z$ $x$ $N$
Vinkel runt axeln . I detta fall ändras axeln till . $\beta$ $N$ $z$ $Z$
Vinkel runt axeln . I detta fall ändras axeln till . $\gamma$ $Z$ $N$ $X$

Ibland kallas en sådan sekvens 3,1,3 (eller Z,X,Z), men denna notation kan leda till tvetydighet.

Formler

Eulervinklar beskriver en sekventiell kombination av passiva rotationer runt axlarna för ett roterande koordinatsystem. Matriserna för dessa rotationer har formen:

$R_{Z}(\alpha )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )&0\\\sin(\alpha )&\cos (\alpha )&0\\0&0&1\\\end{array}}\right),\quad R_{X}(\beta )=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos( \beta )&-\sin(\beta )\\0&\sin(\beta )&\cos(\beta )\\\end{array}}\right),\quad R_{Z}(\gamma )= \left({\begin{array}{ccc}\cos(\gamma )&-\sin(\gamma )&0\\\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0\\0&0&1\\\end {array}}\höger).$

Att sekventiellt utföra dessa rotationer ger matrisen:

$R=R_{Z}(\gamma )\cdot R_{X}(\beta )\cdot R_{Z}(\alpha )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\ alpha )\cos(\gamma )-\cos(\beta )\sin(\alpha )\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )\sin(\alpha )-\cos(\alpha )\cos (\beta )\sin(\gamma )&\sin(\beta )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\cos(\gamma )\sin(\alpha )+\cos(\alpha ) \sin(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )\sin(\ beta )\\\sin(\alpha )\sin(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )&\cos(\beta )\\\end{array}}\right).$

Produkten , där är koordinaterna för punkten före rotationen, kommer att ge koordinaterna för punkten i det rörliga koordinatsystemet efter rotationen. Före och efter rotation är koordinaterna för en punkt i ett fast koordinatsystem oförändrade. $R\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ $x,y,z$

Se även

Lista över föremål uppkallade efter Leonhard Euler
Roll , pitch och yaw är vinkelrörelserna hos ett flygplan eller annat fordon
Rotationsmatris
Sex frihetsgrader

Litteratur

Berezkin E. N. Kursen för teoretisk mekanik - 2nd ed., Per. - M .: Moscow State Universitys förlag. 1974. - 641 sid.
Zhuravlev VF Fundamentals of Theoretical Mechanics - 2nd ed. — M.: Fizmatlit , 2001. S. 23.
Whittaker E. Analytisk dynamik P.25