Rotationsmatris

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 november 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

Rotationsmatrisen (eller riktningscosinusmatrisen ) är en ortogonal matris [1] , som används för att utföra sin egen ortogonala transformation i det euklidiska rummet . När en vektor multipliceras med en rotationsmatris bevaras vektorns längd. Determinanten för rotationsmatrisen är lika med en.

Man tror vanligtvis att, till skillnad från övergångsmatrisen, när koordinatsystemet (bas) roteras, multipliceras med rotationsmatrisen för en kolumnvektor, transformeras vektorns koordinater i enlighet med rotationen av själva vektorn (och inte rotationen av koordinataxlarna , det vill säga i detta fall erhålls koordinaterna för den roterade vektorn i samma fasta koordinatsystem). Skillnaden mellan de två matriserna är emellertid endast i rotationsvinkelns tecken, och den ena kan erhållas från den andra genom att ersätta rotationsvinkeln med den motsatta; båda är ömsesidigt inversa och kan erhållas från varandra genom transponering.

Rotationsmatris i 2D-rymden

I 2D-rymden kan rotation beskrivas med en enda vinkel med följande linjära transformationsmatris i kartesiska koordinater : $\;\theta$

M(\theta )={\begin{pmatrix}\cos {\theta }&\mp \sin {\theta }\\\pm \sin {\theta}&\cos {\theta }\end{pmatrix))

eller

M(\theta )=\exp \left({\theta}\cdot {\begin{bmatrix}0&\mp 1\\\pm 1&0\end{bmatrix}}\right)

Rotation utförs genom att multiplicera rotationsmatrisen med en kolumnvektor som beskriver den roterade punkten:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\mp \sin \theta \\\pm \sin \theta & \cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.

Koordinaterna ( x ′, y ′) som ett resultat av punktens rotation ( x, y ) är:

x'=x\cos \theta \mp y\sin \theta ,

y'=\pm x\sin \theta +y\cos \theta .

De specifika tecknen i formlerna beror på om koordinatsystemet är höger- eller vänsterhänt, och om rotationen är medurs eller moturs. Det övre tecknet är för den vanliga konventionen av högerhänt koordinatsystem och positiv moturs rotation (samma tecken gäller för vänsterhänt koordinatsystem när positiv medurs rotation är vald; i de återstående två kombinationerna, det undre tecknet).

Rotationsmatris i 3D-rymden

Varje rotation i tredimensionellt utrymme kan representeras som en sammansättning av rotationer runt tre ortogonala axlar (till exempel runt kartesiska koordinaters axlar). Denna sammansättning motsvarar en matris lika med produkten av motsvarande tre rotationsmatriser.

Rotationsmatriserna runt det kartesiska koordinatsystemets axel med en vinkel i tredimensionellt rum med ett fast koordinatsystem är: $\alfa$

Rotation runt axeln : $x$

M_{x}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix)) .

Rotation runt axeln : $y$

M_{y}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix)).

Rotation runt axeln : $z$

M_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix)) .

Rotationsmatris längs axlarna , , :

x

y

z

M_{x}(\alpha )*M_{y}(\beta )*M_{z}(\gamma )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end {pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ cos \beta \cos \gamma &-\sin \gamma \cos \beta &\sin \beta \\\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha &-\sin \ alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &-\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \sin \gamma -\sin \beta \cos \alpha \cos \ gamma &\sin \alpha \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cos \alpha &\cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix}}.

I det här fallet motsvarar positiva vinklar rotationen av vektorn moturs i det högra koordinatsystemet , och medurs i det vänstra koordinatsystemet, om man ser mot motsvarande axels riktning [2] . Till exempel, när du roterar genom en vinkel runt en axel , går axeln till : . På samma sätt och . Rätt koordinatsystem är relaterat till valet av rätt underlag (se gimletregel ). $\alpha =90^{\circ }$ $z$ $x$ $y$ ${\displaystyle M_{z}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{x}=\mathbf {e} _{y))$ ${\displaystyle M_{y}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{z}=\mathbf {e} _{x))$ ${\displaystyle M_{x}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{y}=\mathbf {e} _{z))$

Rotationsmatris i dimensionellt utrymme $n$

Rotationsmatriserna för ett ändligt dimensionellt utrymme av vilken högre dimension som helst kan skrivas på exakt samma sätt.

Det är bara nödvändigt att komma ihåg att för rymddimensioner som inte är lika med tre, är det omöjligt att specificera en enda rät linje vinkelrät mot två givna räta linjer, och därför kan man inte tala om rotation runt någon axel, man kan tala om rotation i något plan [3] . Alla punkter rör sig alltid parallellt med något (tvådimensionellt) plan när de vänder sig i rymden oavsett dimension, med början från 2.

Så, på samma sätt som det tredimensionella fallet (med reservationen ovan), kan vi skriva rotationsmatrisen i vilket koordinatplan som helst för vilken rymddimension som helst.

Till exempel:

M_{1,2}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\ slut{pmatrix}}

är rotationsmatrisen i 5-dimensionell rymd i planet , $x_{1}x_{2}$

M_{2,4}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&\cos \alpha &0&-\sin \alpha &0&0&0\\\0&0&1&0&0&0&0\\0&\sin \alpha &0&\cos \&0 &\\&0 0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}

är rotationsmatrisen i 7-dimensionellt utrymme i planet . $x_{2}x_{4}$

Med detta tillvägagångssätt är tecknen framför sinusen ännu lättare att placera, eftersom de bestäms av den ordning i vilken rotationsplanets axlar är listade: vilken namnges först, på den raden före sinus minus.
Det är lätt att se att rotationsmatrisen i planet sammanfaller (vilket är naturligt) med rotationsmatrisen i planet etc., fram till förändringen av rotationsvinkeln till den motsatta. $x_{1}x_{2}$ $x_{2}x_{1}$
Därför är sådana matriser med permuterade index uppenbarligen inte oberoende, och för att få en godtycklig rotation räcker det att inkludera varje plan i kompositionen endast en gång, det vill säga bara , och inte och . $M_{1,2}(\alpha _{1,2})$ $M_{1,2}(\alpha _{1,2})$ $M_{2,1}(\alpha _{2,1})$

Ändra rotationsaxeln

Låt vara rotationsmatrisen runt en axel med enhetsvektorn med vinkeln , vara rotationsmatrisen runt axeln med enhetsvektorn med samma vinkel, och $\;M$ $\;n$ $\;\alfa$ $\;M'$ $\;n'$

\;n'=M''\cdot \;n,

var är rotationsmatrisen som ändrar enhetsvektorn för rotationsaxeln . Sedan $\;M''$ $\;n$

M'=M''\cdot M\cdot M''^{\;T},

var är den transponerade matrisen . $\;M''^{{\;T))$ $\;M''$

Permuterbarhet av svängar

Om är en rotationsmatris runt en axel med enhet vektor för vinkel , är en rotationsmatris runt en axel med enhet vektor för vinkel , då är en matris som beskriver rotationen som är resultatet av två på varandra följande rotationer ( och ), eftersom $\;M_{1}$ $\;n$ $\;\alfa$ $\;M_{2}$ $\;m$ $\;\beta$ $M_{2}\cdot M_{1}$ $\;M_{1}$ $\;M_{2}$

(M_{2}\cdot M_{1})\cdot r=M_{2}\cdot (M_{1}\cdot r).

I det här fallet kan sekvensen av svängar ändras genom att modifiera svängen : $\;M_{1}$

M_{2}\cdot M_{1}=M'_{1}\cdot M_{2},

där matris är rotationsmatrisen med en vinkel runt axeln c med enhetsvektorn roterad genom rotation : $\;M'_{1}$ $\;\alfa$ $\;n',$ $\;M_{2}$

n'=M_{2}\cdot n,\qquad M'_{1}=M_{2}\cdot M_{1}\cdot M_{2}^{T},

eftersom , eftersom rotationsmatrisen är en ortogonal matris ( är identitetsmatrisen ). Observera att det inte finns någon kommutativitet av rotationer i vanlig mening, det vill säga $M_{2}^{T}\cdot M_{2}=E$ $\;E$

M_{2}\cdot M_{1}\neq M_{1}\cdot M_{2}.

Uttryck av rotationsmatrisen i termer av Euler-vinklar

Successiva rotationer kring axlarna med precessionsvinkeln ( ) , nutationsvinkeln ( ) och med den korrekta rotationsvinkeln ( ) leder till följande uttryck för rotationsmatrisen: $\;Z,X',Z''$ $\alfa$ $\beta$ $\gamma$

M(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\ sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma & \cos \beta \end{pmatrix}}.

Axel - X -axeln roterad av det första varvet (med ), - Z -axeln roterat av den första och andra rotationen (med och ). På grund av rotations permuterbarhet motsvarar den reducerade matrisen rotationer genom vinklar , , runt Z-, X-, Z -axlarna : $\;X'$ $\;\alfa$ $\;Z''$ $\;\alfa$ $\;\beta$ $\;\gamma$ $\;\beta$ $\;\alfa$

M(\alpha ,\beta ,\gamma )=M_{Z}(\alpha )\cdot M_{X}(\beta )\cdot M_{Z}(\gamma )

Om rotationerna anges i en annan sekvens, hittas rotationsmatrisen genom att multiplicera matriserna för rotation runt motsvarande kartesiska koordinataxlar, till exempel:

1) Rotation kring axlar: $X,Y,X$
2) Följaktligen: $X,Y,Z$
3) $X,Z,X$
fyra) $X,Z,Y$
5) $Y,X,Y$
6) $Y,X,Z$
7) $Y,Z,X$
åtta) $Y,Z,Y$
9) $Z,X,Y$
tio) $Z,X,Z$
elva) $Z,Y,X$
12) $Z,Y,Z$

Rotationsmatris runt en godtycklig axel

Låt rotationsaxeln ges av en enhetsvektor och rotationsvinkeln . ${\hat {\mathbf {v} }}=(x,y,z)$ $\theta$

Då är rotationsmatrisen i kartesiska koordinater:

M({\hat {\mathbf {v} )),\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta +(1-\cos \theta )x^{2}&(1-\cos \theta )xy-(\sin \theta )z&(1-\cos \theta )xz+(\sin \theta )y\\(1-\cos \theta )yx+(\sin \theta )z&\cos \theta +( 1-\cos \theta )y^{2}&(1-\cos \theta )yz-(\sin \theta )x\\(1-\cos \theta )zx-(\sin \theta )y&( 1-\cos \theta )zy+(\sin \theta )x&\cos \theta +(1-\cos \theta )z^{2}\end{pmatrix}}

Att uttrycka rotationsmatrisen i termer av en quaternion

Om en quaternion ges är motsvarande rotationsmatris: $q=(w,x,y,z)$

Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz- 2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.

Rotationsmatrisegenskaper

Om är en matris som anger en rotation runt axeln med en vinkel , då: $\mathbf {M}$ ${\vec {n}}$ $\varphi$

$|\mathbf {M} {\vec {v}}|=|{\vec {v}}|$ $\forall {\vec {v}}$
$\mathbf {M} {\vec {n}}={\vec {n}}$
$(\mathbf {M} {\vec {v)),{\vec {v)))=(1-\cos \varphi )({\vec {n))\cdot {\vec {v)))^ {2}+({\vec {v)))^{2}\cos \varphi$
$\operatörsnamn {Tr} (\mathbf {M} )=n-2+2\cos \varphi$ ( spår av rotationsmatrisen), där n är rummets dimension (matrisens storlek).
$\det \mathbf {M} =1$ (matrisen har enhetsdeterminant ) .
Den omvända rotationsmatrisen erhålls genom den vanliga transponeringen av framåtrotationsmatrisen, dvs. . $\mathbf {M} ^{\mathrm {-1} }=\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }$
För ett tredimensionellt utrymme (matriser ): om raderna (eller kolumnerna i en matris) betraktas som koordinater för vektorer , då är följande relationer sanna: $3 gånger 3$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$
- $|{\vec {a}}|=|{\vec {b}}|=|{\vec {c}}|=1$
- ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0,{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=0,{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}=0$
- ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {c}},{\vec {b}}\times {\vec {c}}={\vec {a}}, {\vec {c}}\times {\vec {a}}={\vec {b}}$
De två första egenskaperna [4] , som betyder matrisens ortogonalitetsvillkor , är också sanna för en godtycklig rymddimension (matrisstorlek).

Anteckningar

↑ Ortogonaliteten hos en matris betyder att dess inversa matris är lika med den transponerade matrisen : A −1 = A T .
↑ Det vill säga om du tittar på rotationsplanet från sidan av halvrummet, där värdena på koordinaterna för axeln runt vilken rotationen utförs är positiva.
↑ Vi kan också tala om rotation i ett plan för tredimensionellt rymd, till exempel är rotation runt en axel rotation i ett plan ; för tredimensionellt rum är dock båda representationerna möjliga, och därför, om frågan reduceras till fallet med endast denna dimension, väljs representationen (och notationen) av rotation runt en axel som intuitivt något enklare. $z$ $xy$
↑ För alla n rader (kolumner).