En ortogonal transformation är en linjär transformation av det euklidiska rummet som bevarar längder eller (motsvarande) prickprodukten av vektorer. Detta betyder att för två godtyckliga vektorer är likheten
där triangulära parenteser betecknar den skalära produkten i rymden .
När det gäller det euklidiska planet är varje korrekt ortogonal transformation en rotation genom någon vinkel , och dess matris i vilken ortonormal grund som helst har formen
Matrisen för felaktig ortogonal transformation har formen
Den är symmetrisk, har egenvärden 1 och −1, och är därför en involution. På en lämplig ortonormal basis har den felaktiga ortogonala transformationsmatrisen formen
det vill säga det är en reflektion kring någon linje. Den korrekta ortogonala transformationen är produkten av två reflektioner:
I det tredimensionella rymden är varje korrekt ortogonal transformation en rotation runt en axel, och vilken som helst felaktig är en sammansättning av rotation runt en axel och reflektion i ett vinkelrät plan.
Följande allmänna sats gäller:
För varje ortogonal transformation av ett euklidiskt dimensionellt utrymme är följande expansion giltig där alla delrum och är parvis ortogonala och är invarianta delrum av transformationen , och:
|
När det gäller transformationsmatrisen kan denna sats formuleras enligt följande:
För varje ortogonal transformation finns det en sådan ortonormal grund där dess matris har en blockdiagonal form: var är rotationsmatrisen (se formeln ovan), antalet ettor är lika med dimensionen av delrummet och antalet minus ettor är lika med dimensionen av delrummet . |
Denna notation av den ortogonala transformationsmatrisen kallas ibland kanonisering.