Samvariant metod

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 juni 2011; kontroller kräver 8 redigeringar .

Den kovarianta metoden är ett tillvägagångssätt inom teoretisk fysik utvecklat av F. I. Fedorov baserat på linjär algebra och direkt tensorkalkyl . Det har blivit utbrett i tillämpningen för beskrivning av optiska fenomen och, delvis, inom elementarpartikelfysik.

Kärnan i metoden

Den kovarianta metoden är en kortfattad matematisk formulering av fysikaliska teorier med hjälp av tensoralgebra. Metodens huvudsakliga tillämpningsområde är teoretisk optik och akustik . Den kovarianta metoden förenklar avsevärt de besvärliga uttrycken som visas när man beskriver utbredningen av fält i komplexa ( anisotropa , gyrotropa , bianisotropa ) medier. Med hjälp av denna metod introduceras en vektorparametrisering av Lorentz-gruppen , bekväm i applikationer, som kan tillämpas ytterligare i teorin om elementarpartiklar .

I allmänhet beskrivs elektromagnetiska och akustiska fält av vektorer . Om utrymmet där vågen utbreder sig har symmetri , kan fältvektorn och tensorerna som beskriver mediet specificeras av deras komponenter i något koordinatsystem , i överensstämmelse med symmetrin i systemet, som vanligtvis används inom optik och akustik. Vektorer och tensorer kan dock skrivas utan hänsyn till koordinatsystemet, helt enkelt som geometriska objekt, vilket är det som används i den kovarianta metoden. Av denna anledning kallas den kovarianta metoden även koordinatlös (när man löser problemet anges inte ett specifikt koordinatsystem ). Beskrivningen av vågutbredning i en kristall reduceras till att utföra operationer på tensorer och vektorer , för vilka metoder har utvecklats som förenklar arbetet med tensorer och explicit använder deras invarianter (i tredimensionellt utrymme för tensorer av den andra valensen är dessa trace , tensorns determinant och den ömsesidiga tensorns determinant ). Kristallsymmetrier i detta tillvägagångssätt uttrycks som vissa relationer mellan invarianter, och tensorerna som beskriver kristallen har bekväma uttryck.

Typer av tensorer

Huvudtyperna av tensorer i det tredimensionella utrymmet som används i den kovarianta metoden är

är enhetens tensor , ${\textbf {1}}$

— projektionsoperator i enhetsvektorns riktning — dyad , ${\textbf {n))$ ${\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}$

är en projektionsoperator på ett plan vinkelrätt mot enhetsvektorn , $I={\textbf {1}}-{\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}=-{\mathbf {n} ^{\times }}^{2}$ ${\textbf {n))$

är tensordual till vektorn : . ${\textbf {n}}^{\times }$ $\mathbf {n}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{ij}^{\times }=\epsilon _{ilj}n_{l))$

Optiska kristaller kan vara isotropa , enaxliga eller biaxliga . Kristallernas anisotropi bestäms av permittivitetstensorn , som kan representeras i axiell form:

1. isotropiskt medium , $\varepsilon =\varepsilon {\textbf {1}}$

2. enaxlig kristall (vektorn anger riktningen för den optiska axeln ), $\varepsilon =\varepsilon _{1}{\textbf {1}}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}){\textbf {c}}\otillfällen {\textbf {c} }$ ${\textbf {c))$

3. biaxiell kristall . $\varepsilon =a{\textbf {1}}+b({\textbf {c}}'\otimes {\textbf {c}}''+{\textbf {c}}''\otimes {\ textbf{c}}')$

Vektorerna som definierar riktningarna för de optiska axlarna är helt bestämda i termer av egenvärdena och huvudaxlarna för motsvarande tensorer [1], [3], [4].

Vektorparametrisering av Lorentz-gruppen

Den allmänna Lorentz-gruppen kan representeras som en grupp av transformationer av formen ${\textbf {}}L$

$L=\left({\begin{array}{cc}\alpha &i{\textbf {u}}\\i{\textbf {v}}&k\end{array}}\right)$ ,

som uppfyller villkoren , . Lorentz-matrisen kan parametriseras av en tredimensionell komplex vektor och har formen ${\textbf {}}(\det L)^{2}=1$ ${\textbf {}}LL^{T}=L^{T}L=1$ ${\textbf {}}L$ ${\textbf {q))$

$L={\frac {(1+{\textbf {q}}_{+})(1+{\textbf {q}}_{-}^{\ast })}{|1+{ \textbf {q}}^{2}|}}$ ,

där och är fyrdimensionella antisymmetriska matriser , som är tilldelade den komplexa tredimensionella vektorn . Ovanstående matriser bestäms av vektorn respektive dess komplexa konjugerade vektor och är lika med ${\textbf {q}}_{+}$ ${\textbf {q}}_{-}^{\ast }$ ${\textbf {q))$ ${\textbf {q))$ ${\textbf {q}}^{\ast }$

${\textbf {q}}_{+}=\left({\begin{array}{cc}{\textbf {q}}^{\times}&{\textbf {q}}\\- {\textbf {q}}&0\end{array}}\right),\qquad {\textbf {q}}_{-}^{\ast }=\left({\begin{array}{cc}{ \textbf {q}}^{\ast \times }&-{\textbf {q}}^{\ast }\\{\textbf {q}}^{\ast}&0\end{array}}\right )$ .

För vektorparametrarna för Lorentz-gruppen är följande kompositionslag giltig

${\textbf {q}}''={\frac ({\textbf {q}}+{\textbf {q}}'+{\textbf {q}}\times {\textbf {q}} '}{1-{\textbf {q}}{\textbf {q}}'}}$ .

Vektorparameterisering kan också införas för rotationsgruppen , och i detta fall kommer vektorparametrarna att tillhöra det verkliga tredimensionella utrymmet, och lagen för deras sammansättning kommer att vara densamma.

Tillämpning av metoden

Den kovarianta metoden låter dig utföra beräkningar med vektorer och tensorer i deras direkta form, utan att tillgripa indexnotation. I detta fall uppnås kompakthet och enkelhet hos de resulterande uttrycken.

Till exempel har polarisationskriterierna följande form:

$\mathbf {E} ^{2}=0$ - cirkulär polarisering

$[\mathbf {E} ,\mathbf {E} ^{*}]=0$ - linjär polarisering

Det finns flera varianter av kriteriet cirkulär och linjär polarisation [3]. Om inget av ovanstående kriterier uppfylls, har vi att göra med det allmänna fallet med elliptisk polarisation, och dimensionerna och orienteringen av polarisationsellipsens axlar återfinns i en mycket mer kompakt form än vad som görs i det kartesiska koordinatsystemet [ 7].

Extra

Anställda vid institutionen för teoretisk fysik vid det vitryska statsuniversitetet är engagerade i generaliseringen av den kovarianta metoden. En sådan generaliserad metod kallades operator [6], eftersom den är baserad på tillämpningen av evolutionsoperatorer som förbinder fält vid två punkter i rymden. Operatörsmetoden är tillämpbar för att beskriva skiktade system (inklusive de med cylindrisk och sfärisk symmetri).
Den kovarianta metoden användes framgångsrikt inte bara i vitryska fysikers verk, utan också i studier av anställda vid Institute of Crystallography vid USSR Academy of Sciences [1] [2] .

Se även

Differentiella former inom elektromagnetism

Anteckningar

↑ Yu.I. Sirotin, M.P. Shaskolskaya. Grunderna i kristallfysiken. - M.: Nauka, 1975.
↑ A.F. Konstantinova, B.N. Grechushnikov, B.V. Bokut, E.G. Valjasjko. Optiska egenskaper hos kristaller. - Minsk: Vetenskap och teknik, 1995.

Litteratur

[1] F.I. Fedorov. Optik av anisotropa medier. - Minsk: Från BSSR:s vetenskapsakademi, 1958; 2:a uppl. M.: URSS, 2004.
[2] F.I. Fedorov. Teori om elastiska vågor i kristaller. - M.: Nauka, 1965; New York: Plenum Press, 1968.
[3] F.I. Fedorov. Teori om gyrotropi. - Minsk: Vetenskap och teknik, 1976.
[4] F.I. Fedorov, V.V. Filippov. Reflektion och brytning av ljus av transparenta kristaller. - Minsk: Vetenskap och teknik, 1976.
[5] F.I. Fedorov. Lorentz grupp. - M.: Nauka, 1979; 2:a uppl. M.: URSS, 2003.
[6] L.M. Barkovsky, A.N. Pälsar. Operatörsmetoder för att beskriva optiska fält i komplexa medier. - Minsk: Vitryssisk vetenskap, 2003.
[7] M. Born, E. Wolf Fundamentals of Optics
[8] IS Res. Oexemplet plagiat i teorin om elektromagnetiska vågor. - Kristall. Res. Technol., 1988, vol. 23, nr 4, K77-K79.