Obestämd ortogonal grupp

En obestämd ortogonal grupp är Lie-gruppen av alla linjära transformationer av ett n - dimensionellt reellt vektorrum som lämnar en icke degenererad symmetrisk bilinjär form med signatur , där . Gruppens dimension är . $\mathrm {O} (p,q)$ $(p,q)$ $n=p+q$ $n(n-1)/2$

Den obestämda speciella ortogonala gruppen är undergruppen som består av alla element med determinant 1. Till skillnad från det bestämda fallet är gruppen inte sammankopplad: den har två komponenter och ytterligare två undergrupper med ett ändligt index, nämligen sammankopplade och , som har två komponenter - se avsnitt Topologi , som definierar och bevisar detta faktum. $\mathrm {SO} (p,q)$ $\mathrm {O} (p,q)$ $\mathrm {SO} (p,q)$ $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$ $\mathrm {O} ^{+}(p,q)$

Formens signatur definierar gruppen upp till en isomorfism . Att byta p och q gör att punktprodukten ändrar tecken, vilket ger samma grupp. Om p eller q är noll är gruppen isomorf till den vanliga ortogonala gruppen O( n ). I det följande antar vi att p och q är positiva.

Gruppen definieras för vektorrum över realerna . För komplexa utrymmen är alla grupper isomorfa till den vanliga ortogonala gruppen , eftersom transformationen ändrar formens signatur. $\mathrm {O} (p,q)$ $\mathrm {O} (p,q;\mathbb {C} )$ $\mathrm {O} (p+q;\mathbb {C} )$ ${\displaystyle z_{j}\mapsto iz_{j))$

I ett jämnt dimensionellt utrymme är en grupp känd som en delad ortogonal grupp . $n=2p$ $\mathrm {O} (p,p)$

Exempel

Huvudexemplet är gruppen (identitetskomponenten) av linjära transformationer som bevarar identitetshyperbolen . Specifikt är detta matriser som kan tolkas som hyperboliska rotationer, precis som SO(2)-gruppen kan tolkas som cirkulära rotationer. $\mathrm {SO} ^{+}(1,1)$ $\left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],$

Inom fysiken spelar Lorentz-gruppen en viktig roll, eftersom den är grunden för teorin om elektromagnetism och speciell relativitet . $\mathrm {O} (1,3)$

Matrisdefinition

Kan definieras som en matrisgrupp , precis som för den klassiska ortogonala gruppen . Betrakta den diagonala matrisen som ges av: $\mathrm {O} (p,q)$ $\mathrm {O} (n)$ $(p+q)\times (p+q)$ $g$

g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).

Nu kan vi definiera en symmetrisk bilinjär form på formeln ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q))$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q))$

[x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1} y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}

var är standardinnerprodukten på . $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q))$

Vi definierar sedan , som en grupp matriser som bevarar denna bilinjära form [1] : $\mathrm {O} (p,q)$ $(p+q)\times (p+q)$

\mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y] _{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}

Består mer explicit av matriser så att [2] : $\mathrm {O} (p,q)$ $A$

{\displaystyle gA^{\mathrm {T} }g=A^{-1))

var är den transponerade matrisen för . $A^{\mathrm {T} }$ $A$

Vi får en isomorf grupp (desutom en konjugerad undergrupp av gruppen ) genom att ersätta g med valfri symmetrisk matris med p positiva egenvärden och q negativa värden. Diagonalisering av denna matris ger konjugationen av denna grupp med standardgruppen . $\mathrm {GL} (p+q)$ $\mathrm {O} (p,q)$

Topologi

Om både p och q är positiva, är ingen av dem anslutna , eftersom de har fyra respektive två komponenter. är en fyrdubbel Klein-grupp där varje faktor antingen bevarar eller vänder orienteringen på de p- och q -dimensionella utrymmen på vilka formen är definierad. Observera att om du vänder om orienteringen på endast ett av dessa delutrymmen vänder du orienteringen på hela utrymmet. Den speciella ortogonala gruppen har komponenter som antingen bevarar båda orienteringarna eller ändrar båda orienteringarna, i båda fallen bevarar den fullständiga orienteringen. $\mathrm {O} (p,q)$ $\mathrm {SO} (p,q)$ ${\displaystyle \pi _{0}(\mathrm {O} (p,q))\cong \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2))$ ${\displaystyle \pi _{0}(\mathrm {SO} (p,q))=\{(1,1),(-1,-1)\))$

Enhetskomponenten i en gruppbetecknas ofta somoch kan identifieras med den uppsättning elementsom bevarar orienteringar. Notationen är relaterad till notationenför den ortokroniska Lorentz-gruppen , där + indikerar bevarandet av orienteringen på den första dimensionen (motsvarande tid). $\mathrm {O} (p,q)$ $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$ $\mathrm {SO} (p,q)$ $\mathrm {O} ^{+}(1,3)$

Gruppen är inte heller kompakt utan innehåller kompakta undergrupper och agerar på underrymden där formen är definierad. I själva verket är den maximala kompakta undergruppen i gruppen medan den är den maximala kompakta undergruppen i gruppen . På samma sätt är den maximala kompakta undergruppen av gruppen . Sedan, upp till rymdhomotopi , är dessa undergrupper produkten av (speciella) ortogonala grupper från vilka algebraisk-topologiska invarianter kan beräknas. $\mathrm {O} (p,q)$ $\mathrm {O} (p)$ $\mathrm {O} (q)$ $\mathrm {O} (p)\times \mathrm {O} (q)$ $\mathrm {O} (p,q)$ $\mathrm {S} (\mathrm {O} (p)\times \mathrm {O} (q))$ $\mathrm {SO} (p,q)$ $\mathrm {SO} (p)\ gånger \mathrm {SO} (q)$ $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$

I synnerhet är den grundläggande gruppen i en grupp produkten av de grundläggande grupperna av komponenterna och ges av: $\mathrm {SO} ^{+}(p,q)$ $\pi _{1}(\mathrm {SO} ^{+}(p,q))=\pi _{1}(\mathrm {SO} (p))\ gånger \pi _{1} (\mathrm {SO} (q))$

$\pi _{1}(\mathrm {SO} ^{+}(p,q))$	p = 1	p = 2	$p\geqslant 3$
q = 1	$\mathrm {C} _{1}$	$\mathrm {Z}$	$\mathrm {C} _{2}$
q = 2	$\mathrm {Z}$	$\mathrm {Z} \times \mathrm {Z}$	$\mathrm {Z} \times \mathrm {C} _{2}$
q ≥ 3	$\mathrm {C} _{2}$	$\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {Z}$	${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2))$

Dela ortogonala grupper

I utrymmen med jämn dimension är mittgrupper kända som delade ortogonala grupper , som är av särskilt intresse. Detta är den delade Lie-gruppen som motsvarar den komplexa Lie-algebran så 2 n (Lie-gruppen i den delade reella formen av Lie-algebra). Mer exakt är identitetskomponenten en uppdelning av Lie-gruppen, eftersom icke-identitetskomponenter inte kan återställas från Lie-algebra. I denna mening är det motsatsen till definitionen av en ortogonal grupp , som är den kompakta reella formen av en komplex Lie-algebra. $\mathrm {O} (n,n)$ $\mathrm {O} (n):=\mathrm {O} (n,0)=\mathrm {O} (0,n)$

Fall (1, 1) motsvarar den multiplikativa gruppen av delade komplexa tal .

När det gäller en grupp av Lie-typ , det vill säga konstruktionen av en algebraisk grupp från en Lie-algebra, är delade ortogonala grupper Chevalley-grupper , medan icke-delade ortogonala grupper är något mer komplexa konstruktioner och är Steinberg-grupper .

Delade ortogonala grupper används för att konstruera en generaliserad flaggvariation över icke-algebraiskt slutna fält.

Se även

Ortogonal grupp
Lorentz grupp
Poincaré-gruppen
Symmetrisk bilinjär form

Anteckningar

↑ Hall, 2015 , sid. Avsnitt 1.2.3.
↑ Hall, 2015 , sid. Kapitel 1, Övning 1.

Litteratur

Brian C Hall. Lögngrupper, lögnalgebror och representationer: en grundläggande introduktion. - Springer, 2015. - V. 222. - (Examinerade texter i matematik). — ISBN 978-3319134666 .
Anthony Knapp. Lie Groups Beyond an Introduction // Framsteg i matematik. - Andra upplagan. - Boston: Birkhäuser, 2002. - Vol. 140. - ISBN 0-8176-4259-5 . - se sidan 372 för en beskrivning av den obestämda ortogonala gruppen
V. L. Popov. Ortogonal grupp // Matematisk uppslagsverk. - M . : "Sovjetisk uppslagsverk", 1977. - T. 4.
Joseph en varg. Utrymmen med konstant krökning. — 6:a. - Providence, Rhole Island: AMS Chelsea publishing, 2011. - P. 335. - ISBN 978-0-8218-5282-8 .