Sgn

sgn (signum, från latin signum - tecken) är en styckvis konstant funktion av ett verkligt argument. Utsedda. Definierat enligt följande: $\operatörsnamn{sgn} x$

\operatorname{sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}

Funktionen är inte elementär .

Ofta använd representation

\operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|

I detta fall definieras modulens derivata vid noll, som strängt taget inte är definierad, vidare av det aritmetiska medelvärdet av motsvarande derivator till vänster och höger .

Funktionen har applikationer inom signalbehandlingsteori , matematisk statistik och andra områden inom matematiken där kompakt notation krävs för att indikera ett tals tecken .

Historia och beteckningar

Funktionen introducerades av Leopold Kronecker 1878, först betecknade han den annorlunda: . År 1884 behövde Kronecker i en artikel, tillsammans med , funktionen " heltalsdel ", som också indikerades med hakparenteser. För att undvika förvirring introducerade Kronecker notationen , som (minus pricken framför argumentet) var fixerad i vetenskapen. Ibland kallas en funktion för . $\operatörsnamn{sgn} x$ $[x]$ $\operatörsnamn{sgn}$ $sgn.x$ $\operatörsnamn {tecken} x$

Funktionsegenskaper

Definitionsdomän : . $\mathbb {R}$
Värdeintervall : . $\{-1;0;+1\}$
Jämn på alla punkter utom noll.
Funktionen är udda .
Punkten är en diskontinuitetspunkt av det första slaget, eftersom gränserna till höger och vänster om noll är lika och resp. $x=0$ $+1$ $-ett$
$|x|=\operatörsnamn{sgn} x\cdot x$ och för . Med andra ord, $x=\operatörsnamn{sgn} x\cdot |x|$ $\forall x\in {\mathbb {R}}$

\operatörsnamn {sgn} x={x \over |x|}={|x|  \över x}

kl .

x \ne 0

${\frac {d}{dx}}\operatörsnamn{sgn} x=2\cdot \delta (x)$ , var är Dirac delta-funktionen . $\delta(x)$
$\operatörsnamn{sgn} x\cdot \operatörsnamn{sgn} y=\operatörsnamn{sgn}(x\cdot y)$ .
$\operatorname{sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{{0}}^({\infty }}{\frac {\sin tx}{t}}dt$ .

Funktionsgeneraliseringar för ett komplext argument

Prestanda

\operatorname {sgn} z={\begin{cases}{\frac {z}{|z|}},&z\neq 0\\0,&z=0\end{cases}}

ger en av de möjliga generaliseringarna av signumfunktionen till mängden komplexa tal . I det här fallet , var är argumentet för det komplexa talet . När resultatet av funktionen är den punkt i enhetscirkeln som är närmast talet . Innebörden av denna generalisering är att använda radievektorn för enhetslängd för att visa riktningen på det komplexa planet som motsvarar talet . Samma riktning i polära koordinater definierar vinkeln . Den obestämda riktningen som motsvarar talet uttrycks av funktionens nollvärde. Till exempel är det så här funktionen signum definieras i standardbiblioteket av komplexa tal i Haskell-språket [1] . ${\frac {z}{|z|}}=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }$ $\varphi =\operatörsnamn {Arg} z$ $z$ $z\neq 0$ $\operatörsnamn {sgn} z$ $z$ $z$ $\varphi$ $z=0$

En annan version av funktionen generalisering, betecknad som , definieras enligt följande: $\operatörsnamn {csgn}$

\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operatorname {Re} z>0\\-1,&\operatörsnamn {Re} z<0\\\operatörsnamn {sgn} \operatörsnamn {Im} z&\operatörsnamn {Re} z=0\end{cases}}

Denna generalisering används till exempel i applikationerna Mathcad och Maple [2] .

Se även

Heaviside funktion

Anteckningar

↑ Simon Peyton Jones (redaktör) et al. 13. Komplexa siffror // Haskell 98 Språk och bibliotek: Den reviderade rapporten. – 2002.
↑ Maple V-dokumentation. 21 maj 1998

Litteratur

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Handbok i matematik. — M .: Nauka, 1964. — 608 sid.
Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F. Grundläggande matematiska formler. Katalog. - Minsk: Högre skola, 1988. - 269 sid.