Nilpotent element

Ett nilpotent element är ett element i ringen , vars kraft försvinner.

Övervägandet av nilpotenta element visar sig ofta vara användbart i algebraisk geometri , eftersom de tillåter en att få rena algebraiska analoger av ett antal begrepp som är typiska för analys och differentialgeometri ( oändligt små deformationer, etc.).

Termen introducerades av Benjamin Pierce i hans arbete med klassificeringen av algebror [1] .

Definition

Ett element x i en ring R sägs vara nilpotent om det finns ett positivt heltal n så att [2] . $x^{n}=0$

Det lägsta värdet för vilket denna likhet är sant kallas elementets nilpotensindex . $n$ $a$

Exempel

Denna definition kan särskilt tillämpas på kvadratiska matriser . Matris

A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

är nilpotent eftersom . Mer detaljer i artikeln Nilpotent matris .

A^{3}=0

I kvotringen Z /9 Z är ekvivalensklassen 3 nilpotent, eftersom 3 2 är kongruent med 0 modulo 9.
Antag att två element a och b i ringen R uppfyller villkoret . Då är elementet nilpotent eftersom . Exempel på matriser (som a och b ): $ab=0$ $c=ba$ $c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0$

A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix)),\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)).

Här .

AB=0,BA=B

Den delade kvaternionringen [ innehåller en kon av nilpotenta element.

Per definition är alla element i nil- semigruppen nilpotent.

Egenskaper

Inget nilpotent element kan vara inverterbart (förutom den triviala ringen {0}, som har det enda elementet 0 = 1 ). Alla nilpotenta element som inte är noll är nolldelare .

En n-för-n- matris A med element från fältet är nilpotent om och endast om dess karakteristiska polynom är . $t^{n}$

Om ett element x är nilpotent, är det ett inverterbart element, eftersom det följer av: $1-x$ $x^{n}=0$ $(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.$

Mer generellt är summan av ett inverterbart element och ett nilpotent element ett inverterbart element om de pendlar.

Kommutativa ringar

De nilpotenta elementen i en kommutativ ring bildar ett ideal , som är en följd av Newtons binomial . Detta ideal är ringens nollradikal . Varje nilpotent element i en kommutativ ring ingår i alla prime ideal för denna ring, eftersom . Alltså finns i skärningspunkten mellan alla främsta ideal. $R$ ${\mathfrak {N}}$ $x$ $\mathfrak{p}$ $x^{n}=0\in {\mathfrak {p))$ ${\mathfrak {N}}$

Om elementet inte är nilpotent kan vi lokalisera med potenserna : för att få en ring som inte är noll . De primära idealen för en lokaliserad ring motsvarar exakt dessa främsta ideal för ringen c [3] . Eftersom vilken kommutativ ring som helst som inte är noll har ett maximalt ideal som är prime, ingår inte något icke-nilpotent element i något primideal. Då är exakt skärningspunkten mellan alla primära ideal [4] . $x$ $x$ $S=\{1,x,x^{2},...\}$ $S^{-1}R$ $\mathfrak{p}$ $R$ ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ $x$ ${\mathfrak {N}}$

En egenskap som liknar Jacobson-radikalen och förintelsen av primmoduler är tillgänglig för nilradikalen - de nilpotenta elementen i ringen R är exakt de som förintar alla domäner av integritet in i ringen R . Detta följer av det faktum att nollradikalen är skärningspunkten mellan alla främsta ideal.

Nilpotenta element i Lie Algebra

Låt vara Lie Algebra . Då kallas ett element nilpotent om det är i och är en nilpotent transformation. Se även Jordans nedbrytning i Lie algebra . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $\operatörsnamn {ad} x$

Nilpotens i fysik

Operanden Q som uppfyller villkoret är nilpotent. Grassmann-tal , som tillåter representation av fermioniska fält i termer av vägintegraler , är nilpotenta eftersom deras kvadrat försvinner. BRST-laddningen är ett viktigt exempel inom fysiken . $Q^{2}=0$

Linjära operatorer bildar en associativ algebra , och sedan en ring, detta är ett specialfall av den ursprungliga definitionen [5] [6] . Mer generellt, med hänsyn till definitionerna ovan, är en operator Q nilpotent om det finns en sådan (en nollfunktion). Då är en linjär mappning nilpotent om och endast om den har en nilpotent matris på någon grund. Ett annat exempel är den yttre derivatan (igen med ). Båda exemplen är sammankopplade genom supersymmetri och morseteori [7] som visas av Edward Witten i en hyllad artikel [8] . $n\in \mathbb {N}$ $Q^{n}=0$ $n=2$

Det elektromagnetiska fältet för en plan våg utan källor är nilpotent om det uttrycks i termer av det fysiska rummets algebra [9] . Mer generellt använder mikroadditivitetstekniken nilpotenta infinitesimals och är en del av smidig infinitesimal analys .

Algebraiska nilpotenter

Tvådimensionella dubbla tal innehåller ett nilpotent utrymme. Andra algebror och siffror som innehåller nilpotenta mellanslag inkluderar split quaternions (coquaternions), split octanions , biquaternions och komplexa octanions . $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$

Se även

Idempotent element
Unipotent element
Reducerad ring
Noll-ideal

Anteckningar

↑ Milies, Sehgal, 2002 , sid. 127.
↑ Encyclopedia of Mathematics, 1977-1985 .
↑ Matsumura, 1970 , sid. 6.
↑ Atiyah, MacDonald, 1994 , sid. 5.
↑ Peirce, 1870 .
↑ Milies, Sehgal, 2002 .
↑ Rogers, 2000 , sid. 3703–3714.
↑ Witten, 1982 , sid. 661–692.
↑ Rowlands, 2007 .

Litteratur

Matematisk uppslagsverk / I. M. Vinogradov. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.

Cesar Polcino Milies, Sudarshan R. Sehgal. En introduktion till gruppringar. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. - ISBN 978-1-4020-0238-0 .
Hideyuki Matsumura. Kapitel 1: Elementära resultat // Kommutativ algebra. - W. A. Benjamin, 1970. - ISBN 978-0-805-37025-6 .
Atiyah MF, MacDonald IG Kapitel 1: Ringar och ideal // Introduktion till kommutativ algebra. - Westview Press, 1994. - ISBN 978-0-201-40751-8 .
- Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. - Moskva: Mir, 1972.
Peirce B. Linjär associativ algebra. — 1870.
A. Rogers. Den topologiska partikeln och morseteorin // Klass. Quantum Grav. - 2000. - Utgåva. 17 . - doi : 10.1088/0264-9381/17/18/309 .
E. Witten. Supersymmetri och morseteori // J.Diff.Geom. - 1982. - Utgåva. 17 .
Rowlands P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics. - London: World Scientific, 2007. - ISBN 978-981-270-914-1 .