Kongruens

Kongruens är en ekvivalensrelation på ett algebraiskt system som bevaras under grundläggande operationer. Konceptet spelar en viktig roll i universell algebra : varje kongruens genererar ett motsvarande faktorsystem - en uppdelning av det ursprungliga algebraiska systemet i ekvivalensklasser med avseende på kongruensen.

Definition

En relation på en mängd kallas stabil med avseende på -är operation definierad på denna mängd, om för några element ( ) i mängden följer sanningen av relationen ( ) från sanningen i relationen . $\theta(x_1, \ldots, x_m)$ $A$ $n$ $f$ $a_{i1}, \ldots, a_{im}$ $i = 1, \ldots, n$ $A$ $\theta(a_{i1}, \ldots, a_{im})$ $i = 1, \ldots, n$ $\theta(f(a_{11}, \ldots, a_{n1}), \ldots, f(a_{1m}, \ldots, a_{nm}))$

En relation kallas en kongruens på ett algebraiskt system om det är stabilt med avseende på varje huvudoperation av systemet . (Med denna definition beror begreppet kongruens inte på de underliggande relationerna i systemet .) $\theta$ $\mathfrak A$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}$

Faktorsystem

För ett algebraiskt system på en kvotmängd , genom kongruens för alla operationer och relationer , introduceras operationer och relationer över motsvarande cosets naturligt: $\mathfrak A = (A, \mathit\Phi, \mathit\Rho)$ $A / \theta$ $\theta \subseteq A^2$ $f_i \in \mathit\Phi$ $r_i \in \mathit\Rho$

f_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_n]_\theta) = [f_i(a_1, \dots, a_n)]_\theta

r_i^\stjärna ([a_1]_\theta, \dots, [a_m]_\theta) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\theta, \dots, b_m\in[a_m]_\theta) r_i(b_1, \prickar, b_m)

Det resulterande systemet betecknas och kallas ett faktorsystem, och kartan som definieras av regeln kallas en kanonisk epimorfism . $\mathfrak{A} / \theta$ $h_\theta \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A} / \theta$ $h_\theta(a) = [a]_\theta$

Uppsättningen av alla kongruenser i detta system bildar ett komplett gitter med avseende på unions- och korsningsoperationerna och definierar även inkluderingsrelationen: $\mathrm{Con}(\mathfrak{A})$

\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b

För varje uppsättning kongruenser av ett givet algebraiskt system gäller följande resultat ( Remaks sats ): ett faktorsystem över skärningspunkten mellan en uppsättning kongruenser bäddas in i en direkt produkt av faktorsystem över var och en av mängdens kongruenser: $\{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathfrak{A})$

\mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i} \hookrightarrow \prod_{i \in I}{\mathfrak{A} / \theta_i}

Litteratur

Artamonov V. A. . Kapitel VI. Universal Algebras // Allmän algebra / Ed. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referens matematiskt bibliotek). — 25 000 exemplar. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Maltsev, A. I. Algebraiska system. — M .: Nauka , 1970. — 392 sid. - 17 500 exemplar.