Smidig infinitesimal analys

Smidig infinitesimal analys är en matematiskt rigorös omformulering av analys i termer av infinitesimaler . Baserat på idéerna från William Lover och genom att använda kategoriteorins metoder , behandlar den alla funktioner som kontinuerliga och icke-uttryckbara i termer av diskreta element. Som en teori är det en gren av syntetisk differentialgeometri .

Nilpotenta infinitesimaler är tal som uppfyller villkoret ; samtidigt inte nödvändigtvis

Detta tillvägagångssätt avviker från den klassiska logiken som används i vanlig matematik, och överger lagen om det uteslutna mitten , som säger att från följer .Särskilt för vissa infinitesimals kan ingendera bevisas . Att lagen för den uteslutna mitten inte kan hålla framgår av följande huvudsats:

Trots detta kan man försöka definiera en diskontinuerlig funktion, till exempel som

Om lagen om den uteslutna mitten skulle gälla, skulle detta vara en helt definierad, diskontinuerlig funktion. Det finns dock många värden - infinitesimals - för vilka varken , eller , så denna funktion är inte definierad på alla .

I typiska modeller för smidig infinitesimal analys är infinitesimaler inte reversibla, och därför innehåller dessa modeller inte oändliga tal. Det finns dock även modeller med reversibla infinitesimals.

Det finns också andra system som inkluderar infinitesimals, såsom icke-standardiserad analys och surrealistiska tal . Smidig infinitesimal analys liknar icke-standardanalys genom att den är utformad som bas för analys, och infinitesimal har inte specifika värden (till skillnad från surrealistiska tal, där ett typiskt exempel på en infinitesimal är , där är von Neumann ordinal ). Men smidig infinitesimal analys skiljer sig från icke-standardanalys genom att den använder icke-klassisk logik och genom att överföringsprincipen kränks för den . Vissa satser för standard- och icke-standardanalys är falska i smidig infinitesimal analys, exempel är Bolzano-Cauchy-satsen och Banach-Tarski-paradoxen (den senare är bevisbar i klassisk matematik inom ZFC, men obevisbar i ZF). Påståenden på språket för icke-standardanalys kan översättas till påståenden om gränser, men detsamma gäller inte alltid i smidig infinitesimal analys.

Intuitivt jämn infinitesimal analys kan tolkas som att beskriva en värld där linjer består av infinitesimala linjesegment snarare än punkter. Dessa segment kan anses vara tillräckligt långa för att ha en viss riktning, men inte tillräckligt långa för att kröka. Konstruktionen av diskontinuerliga funktioner misslyckas eftersom funktionen identifieras med kurvan, och kurvan inte kan konstrueras punktvis. Man kan föreställa sig att Bolzano-Cauchy-satsen inte håller på grund av förmågan hos ett infinitesimalt segment att "sprida sig" över ett gap. På samma sätt misslyckas Banach-Tarski-paradoxen eftersom regionen inte kan delas upp i punkter.

Se även

• Oändligt liten
• Kategoriteori
• Icke-klassisk analys
• Syntetisk differentialgeometri

För vidare läsning

• John Lane Bell, Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis (PDF-fil)
• Bell, John L., A Primer of Infinitesimal Analysis , Cambridge University Press, 1998. Andra upplagan, 2008.
• Ieke Moerdijk och Reyes, GE, Models for Smooth Infinitesimal Analysis , Springer-Verlag, 1991.

Externa länkar

• Michael O'Connor, en introduktion till smidig infinitesimal analys