Grunderna för matematik

Matematikens grunder är ett system av begrepp, begrepp och metoder som är gemensamma för all matematik, med hjälp av vilka dess olika avsnitt byggs upp [1] .

Från antiken fram till ungefär slutet av 1600-talet ansågs Euklids avhandling " Begynnelser " (ca 300 f.Kr.) vara en källa som beskriver matematikens grundläggande begrepp och metoder. I den presenterades geometri och talteori som ett enda axiomatiskt system (på den tidens rigoritetsnivå), där man utifrån de initiala antagandena (postulat eller axiom ) med hjälp av en utvald uppsättning logiska medel, drogs slutsatser om egenskaperna hos primära begrepp (punkt, linje, tal, etc.) och objekt konstruerade av dem (geometriska figurer). Trots luckorna i Euklids resonemang som noterades redan i antiken, ansågs hans konstruktioner i allmänhet vara acceptabla för att beskriva hela matematikens byggnad vid den tiden, och orsakade inte konsekvent kritik förrän på New Age. [2]

Situationen började förändras i slutet av 1600-talet i och med Isaac Newtons och Gottfried Wilhelm Leibniz uppfinning av differential- och integralkalkyl , vars logik förblev oklar under lång tid. Den erhölls först i mitten av 1800-talet genom insatser av Augustin Cauchy , Karl Weierstrass , Bernhard Riemann och andra matematiker på grundval av det gränsbegrepp som Cauchy föreslagit , och den analys som genomfördes i samband med detta avslöjade behovet för en mer detaljerad systematisering än Euklids, systematisering av talens elementära egenskaper.

Samtidigt dök det upp bevis för behovet av att revidera en annan del av euklidiska konstruktioner, nämligen konstruktioner som beskriver geometriska objekt. Upptäckten av Nikolai Lobachevsky och andra visade att, förutom den euklidiska geometrin , baserad på, som det verkade tidigare, de mest intuitivt uppenbara axiomatiska antagandena, alternativa geometrier är möjliga , härledda från andra axiom, men som kan beskriva naturfenomen med samma säkerhet.

Den förståelse som uppstod bland matematiker i samband med detta, att grunden för deras vetenskap skulle överföras till dess djupare områden, arbeta med objekt enklare än siffror och geometriska figurer (men sådana att alla andra matematiska objekt kunde byggas med deras hjälp), ledde under det sista kvartalet av 1800-talet av Georg Cantor till skapandet av mängdlära , som snabbt blev populärt som ett nytt matematikspråk. Men motsättningarna i Cantors teori som upptäcktes i början av 1900-talet provocerade fram en kris inom matematiken , vilket avslöjade behovet av att revidera dess grunder. [2]

Efterföljande forskning inom detta område ledde till förfining (formalisering) av begreppen " axiomatiskt system " och " bevis ", omstruktureringen av matematisk logik på denna grund och till konstruktionen av formella axiomatiska mängdteorier , som nu erkänns som grunden för all matematik. [3]

Dessutom utvecklas för närvarande kategoriteori , som har potential att ersätta mängdlära som grunden för matematiken.

Huvudidéer och resultat

Nicola Bourbaki definierar matematik som "vetenskapen om relationer mellan objekt som ingenting är känt om, förutom vissa egenskaper som beskriver dem, just de som sätts som axiom till grund för en eller annan matematisk teori." [fyra]

Den ultimata idealiseringen av matematikens objekt kan tyckas vara ett hinder för deras studier, men även under antiken märktes det att en av konsekvenserna av denna idealisering tvärtom är möjligheten att etablera många kopplingar mellan de föremål som övervägs. till konstruktionen av en hierarki mellan dem med allokering av elementära objekt, från vilka alla är byggda, resten [5] . I forntida matematik var sådana elementära objekt (förstås till stor del intuitivt) siffror och geometriska former ( punkt , linje , yta , etc.) [6] . I modern matematik är de mängder . [3]

Detta faktum kan betraktas som resultatet av två viktiga observationer som gjordes i början av utvecklingen av mängdteorin:

Den kartesiska produkten av två uppsättningar och kan definieras som en uppsättning ordnade par , med och , där de ordnade paren själva definieras som uppsättningar av formen (bestående av två element, och , och det andra elementet är en uppsättning av två element och ). [7] [8] [9] [10] [11] $X\ gånger Y$ $X$ $Y$ $(x,y)$ $x\i X$ $y\i Y$ $(x,y)$ $\{x,\{x,y\}\}$ $x$ $\{x,y\}$ $x$ $y$
En funktion eller set -to-set- mappning kan också definieras som en mängd, nämligen som en delmängd i en kartesisk produkt som uppfyller följande två villkor: [12] [8] [13] [14] $f:X\till Y$ $X$ $Y$ $f\subseteq X\ gånger Y$

$\forall x\in X~\exists y\in Y:(x,y)\in f$	$\quad$	(" för någon existerar , så att " ) $x\i X$ $y\i Y$ $(x,y)\in f$ ,
$\left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\right)\implies y=z$	$\quad$	("om och , då ") $(x,y)\in f$ $(x,z)\in f$ $y=z$ .

Det första villkoret här betyder att varje argument är associerat med något värde för funktionen , och det andra betyder att detta värde är unikt.

x\i X

y\i Y

f

Från dessa observationer följer en slutsats som på allvar påverkade samtidas inställning till Cantors mängdlära : alla matematiska objekt, med undantag för de som används i beskrivningen av själva begreppet en mängd, kan definieras som mängder med lämpliga egenskaper .

♦ Som en illustration kan talteorin representeras som en del av mängdteorin, dess definitionsförlängning , om du märker att objekten den studerar - siffror - kan beskrivas som mängder av en speciell form: [15] [16 ] [17]

Naturliga (icke-negativa heltal) definieras naturligt som ändliga ordtal (med ordningsrelation och additions- och multiplikationsoperationer för ordtal) [18] [19] [20] . $\mathbb {N}$
Heltal definieras sedan som element i faktormängden för den kartesiska kvadraten av mängden naturliga tal, genom ekvivalensrelationen $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} }$ $\mathbb {N}$

(n,m)\sim (n',m')~\iff ~n+m'=n'+m,

med ordningsrelationen [21]

[(n,m)]\leq [(n',m')]~\iff ~n+m'\leq n'+m

och algebraiska operationer

[(n,m)]+[(n',m')]=[(n+n',m+m')],

[(n,m)]\cdot [(n',m')]=[(n\cdot n'+m\cdot m',n\cdot m'+m\cdot n')],

och inbäddningen i beskrivs av formeln

\mathbb {N}

\mathbb {Z}

{\displaystyle k\in {\mathbb {N} }\mapsto [(k,0)]\in {\mathbb {Z} ))

. Ekvivalensklassen tolkas som ett heltal i vanlig notation (med ).

[(n,m)]

nm

n,m\in {\mathbb {N} }

Rationella tal definieras som element i faktormängden av den kartesiska produkten av mängden heltal och mängden naturliga tal utan noll, genom ekvivalensrelationen [22] $\mathbb {Q}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }\times {\big (}{\mathbb {N} }\setminus \{0\}{\big )))$ $\mathbb {Z}$ ${\displaystyle {\mathbb {N} }\setminus \{0\))$

(p,q)\sim (p',q')~\iff ~q'\cdot p=q\cdot p',

med ordningsrelationen [23]

[(p,q)]\leq [(p',q')]~\iff ~q'\cdot p\leq q\cdot p'

och algebraiska operationer

[(p,q)]+[(p',q')]=[(p\cdot q'+p'\cdot q,q\cdot q')],

[(p,q)]\cdot [(p',q')]=[(p\cdot p',q\cdot q')],

och inbäddningen i beskrivs av formeln

\mathbb {Z}

\mathbb {Q}

{\displaystyle k\in {\mathbb {Z} }\mapsto [(k,1)]\in {\mathbb {Q} ))

. Ekvivalensklassen tolkas som ett rationellt tal i den vanliga notationen (med , ).

[(p,q)]

p/q

p\in {\mathbb {Z} }

{\displaystyle q\in {\mathbb {N} }\setminus \{0\))

Reella tal definieras som Dedekind-sektioner av mängden rationella tal (med algebraiska operationer inducerade från och ordningsrelation). $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$
Komplexa tal - som element i den kartesiska kvadraten av mängden reella tal med algebraiska operationer $\mathbb {C}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} ))$ $\mathbb {R}$

(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')

(x,y)\cdot (x',y')=(x\cdot x'-y\cdot y',x\cdot y'+y\cdot x'),

och inbäddningen i beskrivs av formeln

\mathbb {R}

\mathbb {C}

{\displaystyle a\in {\mathbb {R} }\mapsto (a,0)\in {\mathbb {C} ))

. Den imaginära enheten definieras i denna konstruktion som ett par , och tillsammans med föregående notation ger detta identiteten

i=(0,1)

(x,y)=x+iy,\quad x,y\in {\mathbb {R} },

tolkas som den vanliga algebraiska representationen av ett komplext tal. ♦ En annan illustration: kalkyl , som en teori som beskriver egenskaperna hos funktioner på reella tal [24] , kan betraktas som en definitionsförlängning av mängdlära, eftersom båda dess huvudkonstruktioner - en funktion (mappning) och ett reellt tal - som redan som nämns ovan, är uppsättningar. ♦ Följande illustration: i algebra beskrivs begreppet grupp som en mängd med en operation definierad på den som mappar en kartesisk kvadrat till , och har de önskade egenskaperna (associativitet, förekomsten av ett neutralt element 1 och ett inverst element för varje ). Eftersom, som redan förklarats, mappningar är ett specialfall av mängder, kan hela konstruktionen av en grupp tolkas som en mängd med en ytterligare struktur i form av en annan mängd med vissa egenskaper.

G

m:(x,y)\mapsto m(x,y)=x\cdot y

G\ gånger G

G

x^{-1}\in G

x\i G

G

m

♦ Den grundläggande konstruktionen av topologi , begreppet ett topologiskt utrymme definieras som en godtycklig mängd med en fast uppsättning delmängder i , innehållande och , och stängd under fackföreningar och finita skärningspunkter (en sådan uppsättning delmängder i kallas en topologi på set , och elementen kallas öppna uppsättningar i ).

X

{\mathcal {U}}

X

X

\varnothing

{\mathcal {U}}

X

X

{\mathcal {U}}

X

♦ På liknande sätt, i resten av matematiken (exklusive endast vissa områden av matematisk logik som fungerar som en grund för själva konstruktionen av mängdteorin och/eller studerar formellt mer allmänna frågor) definieras begreppen som används som mängder (kanske av något speciellt slag) ) med ytterligare strukturer definierade på dem (som också definieras som uppsättningar av den obligatoriska formen) [25] . Dessa är i synnerhet

gitter , ringar , moduler , fält , vektorrum , mer allmänt, alla algebraiska system i algebra ,
grenrör med alla möjliga tilläggsstrukturer såsom metrik , anslutning , krökning , etc. inom geometri ,
mäter med utrymmen av funktioner och operatorer som genereras av dem i analys ,
sannolikhetsutrymmen och stokastiska variabler i sannolikhetsteorin ,
föremål med morfismer i kategoriteori , etc.

Faktum är att alla matematiska teorier nu beskrivs som definitionsförlängningar av någon mängdteori från standardlistan [26] som utvecklats för detta ändamål (och i den överväldigande majoriteten av fallen är vilken teori som helst från denna lista lämplig), och det är för detta anledningen till att mängdlära i vår tid anses vara matematikens språk. [3]

Matematikens utveckling har visat att begreppet en mängd i sig kräver en noggrann definition så att underdrift i förståelsen av dess egenskaper inte leder till motsägelser . För att lösa detta problem var reglerna för att konstruera teorier, såsom de där egenskaperna hos mängder ska beskrivas, strikt formaliserade, och i de nuvarande (axiomatiska) teorierna byggda enligt dessa nya regler, och kallade första ordningens teorier [27 ] [28] elimineras inslag av tvetydighet, och de valda axiomen genomgår en primär kontroll för att se uppenbara absurditeter. [29]

Detta gjorde det möjligt att få bort alla motsägelser i matematiken som dök upp i början av 1900-talet (dock utan garantier för att nya motsättningar inte kommer att dyka upp i framtiden [30] ). Å andra sidan upptäcktes det snabbt att matematiker hade olika preferenser när det gäller att välja axiom, och detta ledde till uppkomsten av många icke-ekvivalenta axiomatiska mängdteorier [31] . De mest populära bland dem är nu

Zermelo-Fraenkel- teorin ZF [32] [33] med dess olika modifikationer, i synnerhet med valets axiom kopplat till den (denna version av ZF betecknas ZFC), och/eller Grothendieck-universumet ,
NBG - teorin om von Neumann-Bernays-Gödel [34] och
MK Morse-Kelly teori [35] .

Man tror att var och en av dem har sina egna fördelar och nackdelar. [36] ZF-teorin dök upp historiskt först, och för de flesta matematiska problem är den vanligtvis tillräcklig, därför är den, när det gäller användning, långt före de andra. Men inom moderna abstrakta matematikområden, i synnerhet där kategoriteorin används , som till exempel i algebra eller funktionsanalys , kan det vara önskvärt att överväga formationer mer generella än mängder, de så kallade klasserna , som inte finns i ZF, och för dessa ändamål brukar NBG eller MK väljas. [36] Fördelen med NBG i denna lista är dess ändliga axiomatiserbarhet. [37] [34] Men både ZF och NBG är underlägsna MK när det gäller elegans och utbud av möjligheter. [36] Nackdelen med MK (som NBG) är dock att det i denna teori inte är möjligt att betrakta formationer som är bredare än klasser som innehåller godtyckliga klasser som element (vilket också är önskvärt i vissa matematiska discipliner, som t.ex. kategoriteori ). [38] Detta problem med möjligheternas gräns löses ibland genom att till MK (och på samma sätt fungerar detta trick i ZF och NBG) lägga till axiomet för existensen av Grothendieck-universumet och sedan byta namn på objekten. [39]

Tillsammans bildar moderna axiomatiska mängdteorier ett system med ett gemensamt språk och metoder (och skillnader endast i listor över axiom), vars syfte är att ge matematiker verktygen för att bygga alla andra matematiska objekt som finns och de som kan vara behövs i framtiden, och detta system av teorier, tillsammans med det område av matematik inom vilket de är byggda, matematisk logik , är det vanligt att kalla grunderna för matematik . Som en del av matematisk logik inkluderar detta även alternativa teorier, där istället för mängder andra former föreslås som matematikens primära begrepp, i synnerhet objekt av abstrakta kategorier , som inte beskrivs av tradition (som konstruktioner i ZF, NBG eller MK) , men direkt, som oberoende första ordningens teori. [40]

Historik

Verken av egyptiska och babyloniska matematiker som har överlevt till denna dag innehåller endast beräkningsalgoritmer förklarade med praktiska exempel. Det finns inga bevis i dem; det är inte klart hur resultaten upptäcktes och motiverades, eller om de överhuvudtaget var motiverade. I verk av matematiker i det antika Kina finns det separata bevis för algebraiska och geometriska påståenden, men de bildar inte ett enda system av logiskt sammankopplad kunskap [41] [42] .

Forntida period

De ideologiska motiven för antik grekisk matematik utvecklades av Pythagoras skola , som introducerade logiska bevis som en nödvändig komponent i matematisk teori och utvecklade en bevismetodik, inklusive " bevis genom motsägelse " [43] . Pytagoreernas grundläggande objekt var naturliga tal ( de betraktade bråk inte som tal, utan som proportioner ). Den filosofiska grunden för den pythagoreiska matematiken var tron att universum skapades enligt en matematisk plan, "allt är ett tal", av vilken det följde att naturlagarna är kännbara, det finns bara en matematik och den innehåller ett system av absoluta, eviga sanningar. Framsteg i tillämpningen av matematik på astronomi (särskilt förutsägelse av förmörkelse ), musik, optik och landmätare sågs som en bekräftelse på dessa åsikter. Platon gick längre och förklarade att matematiska objekt är verkliga i någon ideal "idévärld", vars skugga är världen som uppfattas av våra sinnen [44] .

Pythagoras geometriska studier, baserade på de idealiserade begreppen punkter , linjer och andra figurer, orsakade så tidigt som på 500-talet f.Kr. e. kritik från Zeno av Elea , som med sina aporias ställde frågan: hur kan en verklig rörelsebana bestå av oförlängda punkter? Detta problem (diskret eller kontinuitet i rum och tid) diskuteras fortfarande i vetenskapsfilosofin [45] [46] .

På 500-talet f.Kr e. inträffade en händelse som i modernt språk kan bedömas som den första krisen i matematikens grunder [47] - pytagoreerna upptäckte att en kvadrats diagonal är omöjlig med dess sida, det vill säga att deras förhållande ( ) inte heller kan uttryckas med ett naturligt tal eller med ett bråktal. Han lyckades hitta en utväg på 300-talet f.Kr. e. Eudoxus av Cnidus , som tillsammans med siffror introducerade begreppet geometriska storheter (längder, ytor, volymer). För homogena kvantiteter definierades aritmetiska operationer som liknar numeriska [2] . ${\sqrt {2}}$

Det första integrerade systemet för matematikens grunder var Euklids " principer " (III-talet f.Kr.), som under lång tid blev en modell för matematisk teori och grunden för efterföljande prestationer (praktiskt taget ingenting är känt om Euklids föregångare, som utan tvekan existerade). Detta arbete, efter Eudoxus, satte geometri istället för aritmetik som grund för matematik. Reglerna för logisk slutledning fanns tidigare, på 300-talet f.Kr. e., detaljerad av Aristoteles . I den första boken av Elementen ger Euklid 14 axiom för geometri och aritmetik (de första fem kallas ofta postulat), sedan härleds många satser logiskt från dem. Varje sats härrör antingen från axiom eller från andra satser (vars sanning redan har bevisats tidigare), och enligt lagarna i Aristoteles logik är den nya satsen också sann. Teorin om kvantiteter av Eudoxus (i huvudsak en kort version av den moderna teorin om reella tal ) lades fram av Euclid i den femte boken av hans element och användes i Europa fram till 1600-talet. Aritmetiken av kvantiteter modellerades av Euklid på basis av operationer med segment , rektanglar och parallellepipeder [2] [48] .

Redan i antiken noterades bristerna i euklidiskt arbete kritiskt, särskilt påpekade Arkimedes behovet av att lägga till ett axiom, nu kallat " Arkimedes axiom " (det formulerades av Eudoxus). Med tiden ökade antalet uppmärksammade brister gradvis [49] . Antalet axiom i Euklid visade sig vara otillräckligt, många av hans resonemang är baserade på underförstådda eller visuella bevis. Först och främst handlar det om begreppet rörelse , som implicit används på många ställen - till exempel när trianglar överlagras för att bevisa tecken på deras likhet. Proclus noterade redan detta faktum som en betydande metodologisk lucka. Euklid gav inte rörelsens axiom, kanske för att inte förväxla hög geometri med "låg" mekanik. Moderna författare av axiomatik tillhandahåller en speciell grupp av "kongruensaxiom " . Euklids axiomatik tillåter inte att man styrker fakta som är viktiga för bevis - till exempel att det inte finns någon rät linje som går genom alla tre sidorna av en triangel, eller att två cirklar med radien R , vars centrum är på avstånd R , skär varandra vid två poäng [50] .

Därefter övergav matematiker idén att konstruera aritmetik på basis av geometri, och ersatte den med den motsatta: från Descartes analytiska geometri (XVII-talet) löses geometriska problem med numeriska ekvationer [48] [51] .

Europa under 1600- och 1700-talen

Europeiska vetenskapsmän från medeltiden och början av den nya tiden delade de gamla idéerna om att naturlagarna som etablerats ovanifrån var baserade på matematiska principer . Detta förstods på så sätt att människor inte skapar matematiska teorier, utan upptäcker de som ursprungligen byggdes in i universum [52] . Rene Descartes skrev 1637: "Av alla som någonsin har sökt efter sanning inom vetenskapen har bara matematiker kunnat få några bevis, det vill säga att ange skäl som är uppenbara och tillförlitliga"; han kallade matematiken "essensen av alla vetenskaper". Liknande åsikter hölls av Galileo Galilei , Blaise Pascal , Isaac Newton och andra grundare av fysiken. Vid den här tiden hade matematiken växt ur det gamla ämnet - nya teorier, nya typer av siffror, andra matematiska objekt dök upp, vars motivering till en början presenterades på en intuitiv nivå eller var helt frånvarande [53] .

I slutet av 1600-talet inträffade en viktig händelse: Newton och Leibniz skapade matematisk analys , då kallad "analys (eller kalkyl) av infinitesimals ". Omfattningen av matematik inom olika vetenskaper har utökats många gånger, och metoderna har fördjupats avsevärt. Tekniken för den dåvarande analysen baserades dock på algebraiska operationer med ett nytt matematiskt objekt - oändliga kvantiteter - vars innebörd förklarades i ganska vaga uttryck [54] , och procedurerna för att arbeta med dem såg ganska motsägelsefulla ut: i kursen av beräkningar behandlades infinitesimaler först som icke-nolltal (till exempel dividerade med varandra), i slutändan likställdes de med noll. Den nya grenen av matematik behövde hitta en lika rigorös motivering som Euklids, men den dök inte upp förrän ett och ett halvt sekel senare, på 1800-talet [55] .

1784 lanserade Berlins vetenskapsakademi en tävling för den bästa förklaringen av "hur så många korrekta satser härleddes från det motsägelsefulla antagandet" om existensen av infinitesimaler. Inget tillfredsställande svar erhölls på denna fråga. Voltaire , ironiskt nog över denna bild ännu tidigare, definierade analys som "konsten att räkna och noggrant mäta det, vars existens är obegriplig för sinnet" [56] .

Kontinuiteten för en funktion under denna period förstods rent intuitivt, teorin om reella tal saknades. Otydligheten i analysens grunder, som det visade sig på 1800-talet, ledde till många fel - felaktiga satser uttrycktes och till och med bevisades, i andra fall formulerades satsernas villkor för brett. Till exempel, André Marie Ampère och Joseph Louis François Bertrand bevisade att varje kontinuerlig funktion är differentierbar , konvergensen av den använda serien testades inte. Niels Henrik Abel klagade till och med 1826 i ett brev: "I analysens högre sektioner finns endast ett fåtal satser bevisade med mer eller mindre acceptabel rigor" [57] .

1800-talet

I början av 1800-talet var det bara den euklidiska geometrin som hade en relativt strikt motivering, även om dess stringens redan vid den tiden ansågs vara otillräcklig. Med tillkomsten av icke-euklidisk geometri skakades emellertid också tron på systemet med initiala begrepp och premisser som var gemensamma för all matematik. Som Edward Kasner och James Newman har noterat , tvingade det "icke-euklidiska kätteriet" en att engagera sig i matematisk introspektion , det vill säga en analys av hur olika delar av matematiken relaterar till varandra och till matematiken som helhet [58] [59 ] .

Axiomatisering av matematik

Under den första hälften av 1800-talet gav Augustin Louis Cauchy slutligen en tydlig motivering för analys baserad på föreställningen om en gräns ; samtidigt förvandlades infinitesimals från en speciell sorts tal till variabler som tenderar mot noll. Cauchys tillvägagångssätt var dock ännu inte helt rigorös, eftersom den inte inkluderade teorin om reella tal . Kanske var det därför Cauchy själv inte undvek misstag - han var till exempel säker på att den punktvisa summan av en serie kontinuerliga funktioner är kontinuerlig och att sådana serier alltid kan integreras term för term. Analysens grunder färdigställdes ett halvt sekel senare av Karl Weierstrass . År 1837 legaliserade William Rowan Hamilton fullständigt negativa och komplexa tal genom att beskriva deras strikta modeller i termer av talpar. Upptäckten och beläggandet av icke-euklidisk geometri som ett fullfjädrat alternativ till euklidisk [60] [61] hade också ett starkt inflytande på matematikens filosofi .

Under andra hälften av 1800-talet ägde två viktiga händelser rum - skapandet av mängdlära och matematisk logik . År 1879 publicerade Frege ett system av axiom för matematisk logik, på 1880 -talet föreslog Peano ett rigoröst system av axiom för naturliga tal , och Dedekind för reella tal [62] [63] . År 1899 publicerades Hilberts klassiska monografi "The Foundations of Geometry", där alla brister i den euklidiska axiomatiken eliminerades. Som ett resultat, i slutet av 1800-talet, byggdes nästan all matematik på grundval av strikt axiomatik ( sannolikhetsteorins axiomatik dök upp först 1929).

Mängdteori och grundernas kris

1873 introducerade Georg Cantor begreppet en godtycklig (ändlig eller oändlig ) taluppsättning, och sedan det allmänna begreppet en mängd , ett extremt abstrakt begrepp inom matematik. Med hjälp av en-till-en-mappningar introducerade han begreppet ekvivalens av mängder, definierade sedan jämförelsen av kardinaliteter för mer eller mindre, och, slutligen, klassificerade mängder enligt deras kardinalitet: finita, countable , continual , etc.

Till en början möttes mängdteorin ett välvilligt mottagande från många matematiker. Det hjälpte till att generalisera jordansk måttteori , användes framgångsrikt i teorin om Lebesgue-integralen och sågs som den framtida grunden för all matematik. Efterföljande händelser visade dock att den vanliga logiken inte är lämplig för studier av oändliga objekt, och intuition hjälper inte alltid till att göra rätt val. Den första motsägelsen kom fram när man betraktade den största mängden, mängden av alla uppsättningar (1895). Det måste uteslutas från matematiken som oacceptabelt. Men andra motsägelser ( antinomier ) dök också upp [64] .

Henri Poincare , som först accepterade mängdteorin och till och med använde den i sin forskning, avvisade den senare kraftigt och kallade den "en allvarlig matematiksjukdom". En annan grupp matematiker, inklusive Russell och Hilbert , kom fram, med vissa reservationer, till försvar för "Cantorism" [65] . För att undvika paradoxer krävde Russell (1905), Poincaré (1906), och efter dem Hermann Weyl (1918), att alla matematikens definitioner och axiom skulle vara predikativa , det vill säga att det matematiska objektet X som definieras inte ska ges eller beskrivas i termer av en klass av objekt som innehåller X, för då erhålls en ond cirkel och motsägelser är möjliga. En analys av detta krav visade dock att det å ena sidan inte är tillräckligt, eftersom det inte helt förhindrar uppkomsten av paradoxer, och å andra sidan gör vissa klassiska definitioner olagliga, t.ex. övre och nedre gränserna för en uppsättning [66] [67] .

Färger lades till bilden genom upptäckten av " valets axiom " (1904, Zermelo ), som, som det visade sig, omedvetet tillämpades i många matematiska bevis (till exempel i teorin om reella tal). Det utökar möjligheterna att konstruera uppsättningar i en sådan utsträckning att några av dess konsekvenser börjar motsäga intuitionen ( Banach-Tarski-paradoxen , etc.). Denna omständighet ledde till att vissa matematiker (i synnerhet Émile Borel och Felix Bernstein ) ifrågasatte lagligheten av dess tillämpning.

Debatten om existensen av mängder konstruerade med hjälp av valets axiom ställde en annan grundläggande fråga för matematiker: vad betyder begreppet "existens" i matematik?

1900-talet

På 1900-talet var det möjligt att konstruera axiomatiska mängdteorier fria från tidigare upptäckta motsägelser, och av denna anledning accepterade de flesta matematiker så småningom mängdteori. Diskussionen om detaljer och alternativ fortsatte dock fram till 1950-talet och är i viss mån aktuell än i dag [2] . Inledningsvis dök tre huvudansatser upp i dessa diskussioner, kallade logicism, intuitionism och formalism.

Logicism

Bertrand Russell beskrev logicismens idéer i sin gemensamma trevolymsmonografi Principia Mathematica (1910-1913) med Alfred Whitehead , som gjorde ett betydande bidrag till utvecklingen av matematisk logik . Logicismen hävdar att matematik och logik är en enda helhet, det vill säga logikens begrepp och lagar är tillräckliga inte bara för härledning av satser, utan också för definition av matematiska objekt. Gottlob Frege (1884) var den första som uttryckte liknande åsikter . I Russells och Whiteheads bok ger författarna logikens axiom, de primära (odefinierade) begreppen är propositioner , sanning , logiska operationer , propositionella funktioner [68] .

Författarna härleder konsekvent huvudinnehållet i matematisk logik från axiomen och går sedan vidare till klasser (mängder). Genom att sätta en viss egenskap med hjälp av en propositionsfunktion kan du bestämma en specifik mängd (bärare av denna egenskap). Med avseende på mängder inkluderar Russells och Whiteheads axiom valets axiom och oändlighetens axiom (det senare säkerställer att det finns oändliga mängder). För att undvika paradoxer förbjuder författarna omedelbart uppsättningar att innehålla sig själva med hjälp av en " typteori " speciellt konstruerad av dem . Uppsättningar och uttalanden är strikt åtskilda efter nivån på deras typer; godtycklig blandning av typer är omöjlig. En sådan organisation utesluter alla kända paradoxer, men det komplicerar formuleringarna avsevärt, eftersom till exempel naturliga och reella tal har olika typer. För att lösa detta problem introducerade Russell och Whitehead ett speciellt axiom för reducerbarhet (med andra ord, reduktionsaxiom), som gör att man kan sänka typen av funktioner för en eller två variabler och därigenom sätta objekt på en jämförbar nivå [69] .

Definitionen av tal (finita och transfinita ) och beviset på deras egenskaper utförs av författarna på en mängdteoretisk grund: ett tal är en klass av mängder (mer exakt en klass av klasser) av samma kardinalitet . Efter det är det inte längre svårt att härleda satser för aritmetik, elementär geometri, analys och andra grenar av matematiken.

Nyare förespråkare för logicism inkluderar Willard Quine och Alonzo Church . 1983 föreslog den brittiske logikern Crispin Wright en ny version av matematikens logistiska grunder med förenklad axiomatik och fri från paradoxer. Wrights version är baserad på en korrigering av Freges tidiga felaktiga axiomatik. Med hjälp av andra ordningens logik och Humes princip (vars konsekvens snart bevisades), härledde Wright all aritmetik från logisk axiomatik. Detta tillvägagångssätt har kallats neo-logicism .

Intuitionism

Den ideologiska motpolen till logicismen var intuitionismen , vars anhängare satte intuition som en källa till sanning över logik. Bland intuitionismens föregångare finns Leopold Kronecker och Henri Poincaré , och en detaljerad beskrivning av denna matematikfilosofi gavs på 1910-talet av Leutzen Egbert Jan Brouwer . Brouwers idéer försvarades aktivt av Hermann Weyl och Arend Heyting [70] .

Enligt Brouwer och andra intuitionister är matematik helt och hållet skapandet av mänskligt tänkande och är inte beroende av den yttre världen. Utövandet av mänsklig aktivitet är användbart för utvecklingen av nya matematiska idéer, men är i princip inte nödvändigt för deras uppkomst.

De grundläggande sanningarna i intuitionistisk matematik är intuitivt uppenbara mänskliga representationer, varav de viktigaste är begreppen naturligt tal och matematisk induktion . Matematiskt tänkande i alla dess yttringar är också djupt intuitivt, och logiken för det är inget annat än ett testverktyg; logik bygger på matematik, och inte matematik på logik (dock ingår vissa logiska principer som en integrerad del av matematisk intuition). Axiomatisering och konsistensbevis är ett slöseri med tid, intuition innehåller inga motsägelser. Brouwer tillskrev geometri till fasta tillståndets fysik och eliminerade den från matematikens grunder; icke-euklidiska geometrier, enligt Brouwer, bevisar bräckligheten och tvetydigheten hos rumslig intuition [71] [72] .

Brouwer krävde eliminering av alla intuitivt tveksamma aspekter från logik och matematik, gjorde en motsvarande omvärdering av grunderna och begränsade matematik och logik väsentligt i flera riktningar. Han konstaterade att mänsklig intuition alltid handlar om ändliga mängder, så faktiskt oändliga mängder existerar inte och måste uteslutas från matematiken. "Existenssatser" bör förbjudas om de inte innehåller en konstruktiv konstruktionsalgoritm, användningen av "lagen om utesluten mitt" (i bevis "genom motsägelse" ) bör förbjudas, etc. En betydande del av tidigare matematiska prestationer århundraden med en sådan revidering visar sig vara felaktig eller inte bevisad; försök gjordes att rekonstruera åtminstone elementär matematik på intuitionistiska principer, men bevisen visade sig vara "olidligt besvärliga". Sådana känsliga begränsningar passade inte de flesta matematiker. Snart splittrades intuitionisterna i flera skolor, vilket ställde olika radikala krav på revidering av matematiken [73] .

Kritiker pekade på det faktum att intuition är olika för olika människor, och det mänskliga sinnet är kapabelt att göra misstag, och därför kan det inte finnas intuitiva sanningar som är gemensamma för alla människor [74] .

Hilbert bedömde ironiskt nog matematiken omstrukturerad av intuitionisterna som "ömkliga rester, få, ofullständiga, orelaterade enstaka resultat"; enligt hans åsikt försöker intuitionismen lemlästa och förstöra matematiken. Bourbaki betraktade intuitionistisk filosofi som en historisk kuriosa. I Sovjetunionen populariserades en trevlig skola för " konstruktiv matematik ", ledd av A. A. Markov [75] [76] .

Formalism

Det mest aktiva arbetet med matematikens grunder utfördes under första hälften av 1900-talet av Hilbert-skolan, vars idéer kallades " formalism ". Uppmuntrad av framgången med hans Foundations of Geometry tillkännagav Hilbert målet att bygga all matematik (och i framtiden fysik) på en enda logisk grund. Han trodde att för de discipliner som ligger till grund för matematiken, såsom mängdlära och aritmetik, kan man hitta ett system av axiom från vilka det, genom rent syntaktiska transformationer, kommer att vara möjligt att härleda vilken sats som helst i denna teori (och i framtiden, alla resultat allmänt fastställda i matematik). Dessutom trodde han att för dessa discipliner skulle det vara möjligt att bevisa deras konsistens och fullständighet (den första skulle göra det möjligt att bli av med motsägelserna som finns i matematik och säkerställa att inga nya motsägelser uppstår i framtiden).

Detta program ledde snabbt till viss framgång: Hilbert och hans elever definierade ett system för att formellt registrera matematiska påståenden och regler för att härleda vissa påståenden från andra på detta språk (flera sådana system utvecklades, ett av de mest illustrativa är G. Gentzens sekvenskalkyl ) , med sådan beräkning, så att alla kända matematiska resultat kan översättas till detta språk; detta gjorde det möjligt att härleda dem senare från de lämpliga axiomen i den teori som ligger till grund för matematiken (såsom mängdlära). Samtidigt, genom en sådan formell förfining av matematiska begrepp och tekniker, var det möjligt att bli av med alla motsättningar som ackumulerats vid den tiden i matematik. [77] [78]

Gödels ofullständighetsteorem , som dök upp 1931, visade dock oväntat att Hilberts program är orealiserbart bokstavligt: för det första fann man att fullständigheten hos en tillräckligt bred formell teori (mer exakt, varje teori som inkluderar aritmetiken av naturliga tal). ) är oförenlig med dess överensstämmelse, och för det andra är det omöjligt att bevisa överensstämmelsen hos någon teori som innehåller aritmetik, och man kan bara tala om den relativa överensstämmelsen hos sådana teorier. [79] [80]

Som en illustration bevisade Gentzen 1936 konsekvensen av Peano-aritmetiken inom ramen för den teori han konstruerade, som medger en viss trunkerad version av transfinit induktion [81] - detta resultat är dock endast giltigt under antagandet att Gentzens teori är sig själv konsekvent (vilket förblir obevisat och dessutom inte kan bevisas med Gödels sats ). En annan illustration: efter Hilberts död, för Peanos axiomatik , hittades konkreta exempel på påståenden som är obevisbara i Peanoteorin, men bevisbara i standardmängdsteorier som innehåller Peanos aritmetik - Goodstein-satsen [82] , Paris-Harrington-satsen [83] och andra, och dessa observationer bevisar ofullständigheten i Peanos system av axiom oberoende av Gödels satser.

Det kan inte sägas att Hilberts tillvägagångssätt i sig mötte entydigt stöd bland matematiker. Hans tes att alla konsekventa matematiska objekt skulle behandlas som existerande var oacceptabel för intuitionister. Vissa matematiker trodde att ersättningen av sanning med deducerbarhet, det formella syntaktiska "spelet med formler" berövar matematiska sanningar mening, gör matematik meningslös och kan inte återspegla matematikens koppling till den verkliga världen [84] .

Ändå var det studierna av Hilbert och hans skola som satte de djupaste avtrycken på matematikens grunder och i grunden formade denna vetenskaps moderna ansikte. Efter Gödels resultat var anhängarna av formalismen tvungna att göra vissa justeringar av de mål som Hilbert satt upp (nämligen att ge upp hoppet om att bevisa mängdlärans konsekvens och fullständighet, som Hilbert förstod dem), men predikatkalkylen skapad av Hilbert och hans elever i matematisk logik fungerade som grunden för konstruktionen av moderna axiomatiska mängdteorier, på vilka i sin tur all modern matematik är uppbyggd [85] [86] .

Nuvarande tillstånd

En analys av problemen med naiv mängdlära har visat att matematikens språk, i synnerhet begreppet mängd som används i det som huvudkonstruktion, kräver en korrekt, formaliserad beskrivning för att undvika missförstånd och paradoxer. Under första hälften av 1900-talet ledde detta till utvecklingen, på grundval av den logiska predikatkalkyl som skapats av Hilbert och hans elever, av begreppet första ordningens teori , som uttrycker matematikernas moderna förståelse om axiomatiska teorier och teorier. slutledningsreglerna i dem. Sedan dess har ett betydande antal icke-ekvivalenta första ordningens teorier konstruerats, som gör anspråk på att beskriva matematikens grundläggande begrepp, inte bara i mängdteorin utan även i kategoriteorin . Grundläggande resultat på detta område är

Gödels ofullständighetsteorem (det vill säga omöjligheten att bevisa konsistens eller fullständighet) av någon (rekursivt axiomatiserad) teori som tolkar Peanos aritmetik PA [87] och
Gödels fullständighetsteorem , som fastställer ett samband mellan härledning och logisk sanning av en formel [88] .

Bland moderna axiomatiska mängdteorier, förutom de redan nämnda ZF, NBG och MK, betraktar logiker som alternativ teorin om Tarski-Grothendieck (TG), "New Foundations" av W. Quine (NF), positiv mängdteori av O. Esser ( ), konstruktiva mängdteorier, mängdteorier för icke-standardiserad analys , "pocket set theories" och andra [31] . ${\text{GPK}}_{\infty }^{+}$

På 1960-talet föreslog W. Lover [40] en första ordningens teori som beskriver begreppet en kategori autonomt, utan traditionell hänvisning till mängdteori. Informellt förstås en kategori i matematik som en uppsättning objekt med ett system av transformationer (morfismer) av ett objekt till ett annat. I mängdlärans språk tolkas begreppet ett objekt som en mängd med en ytterligare struktur, och en morfism tolkas som en relation (oftast en kartläggning) som bevarar en sådan struktur. Exempel på kategorier är

uppsättningar med mappningar,
grupper med homomorfismer,
topologiska utrymmen med kontinuerliga avbildningar,
gitter med monotona mappningar,

etc. Lovers teori tillåter en att tolka axiomatiska mängdteorier som speciella fall av kategorier, så det formella språket han konstruerade kan göra anspråk på rätten att betraktas som ett alternativt matematiskt språk. För närvarande utvecklas detta område av matematik aktivt. [89]

I samband med utvecklingen av datorer runt 1970 började det på olika håll självständigt dyka upp idéer om att matematiska bevis automatiskt skulle kunna verifieras av datorer [90] . Ett stort antal bevisverifieringssystem började utvecklas . Detta återupplivade intresset för frågan om matematikens grunder: om tidigare logiker var intresserade av att bli av med paradoxer, nu har huvudfrågan blivit utvecklingen av ett bekvämt språk och logiskt system som skulle vara lämpligt för att skriva teorem och bevis och deras vidare verifiering på en dator. Det praktiska behovet av detta uppstod i samband med behovet av formell verifiering av riktigheten av datoralgoritmer och programmeringsspråk [91] .

Dessutom har två nya problem med att underbygga matematiska resultat dykt upp, som enligt Brian Davis förtjänar namnet på ännu en kris: vissa bevis på satser har hundratals sidor komplex text och är extremt svåra att verifiera, och några av resultaten (till exempel lösningen av fyrfärgsproblemet eller Kepler-hypotesen ) erhålls genom datorberäkning, och deras tillförlitlighet beror på korrektheten i beräkningsprogrammet. Davis förutspådde: "Till 2075 kommer många områden av ren matematik att byggas på användningen av teoremer, vars bevis inte kan förstås fullt ut av någon matematiker som lever på jorden, varken ensam eller kollektivt," och huvudkriteriet för riktigheten av nya resultat kommer att vara konsensus från den matematiska gemenskapen [92] .

Den mest effektiva grunden för de flesta datoriserade korrekturkontrollsystem har varit varianter av beroendetyp av λ-kalkylen , som utnyttjar Curry-Howard-korrespondensen , enligt vilken ett konstruktivt matematiskt bevis består i att fastställa beboeligheten för någon typ. Det första av dessa system var Automath- språket skapat 1967 av Nicolas de Bruijn , och de breda uttrycksmöjligheterna för sådana system tillhandahålls tack vare konstruktionen av den intuitionistiska teorin om typer av Per Martin-Löf 91] .

Dessa idéer fick en betydande impuls i programmet för skapandet av univalenta grunder för matematik , som lanserades i slutet av det första decenniet av 2000-talet på initiativ av V. A. Voevodsky . Som ett resultat erhölls ett formellt matematiskt språk där alla välformade uttalanden är oföränderliga under isomorfism - ett mål som Mihai Mackai [91] strävade efter . Homotopi typteori [93] , en variant av intuitionistisk typteori, utrustad med begrepp från kategoriteori, algebraisk topologi och homologisk algebra , valdes som grund för programmet . Om i det klassiska förhållningssättet till grunder, som kommer från Hilbert och Tarski , logiken är epistemologiskt primär - först bestäms ett logiskt system, och sedan formaliseras vissa delar av matematiken med hjälp av dess medel, så är logik och matematik i fallet med univalenta grunder. på samma nivå: samma konstruktioner kan ha både logisk och till exempel geometrisk tolkning [94] . Voevodsky lyckades lösa ett antal interna motsägelser i sådana system och tillämpa dem på abstrakta grenar av matematiken.

Anteckningar

↑ Grunder för matematik . Great Soviet Encyclopedia, 3:e upplagan, Volym 18, S. 1685. Hämtad: 2 augusti 2019. (obestämd)
↑ 1 2 3 4 5 Britannica .
↑ 1 2 3 Kunen, 1980 , sid. xi: ”Mängdlära är grunden för matematik. Alla matematiska begrepp definieras i termer av de primitiva föreställningarna om mängd och medlemskap. I axiomatisk mängdteori formulerar vi några enkla axiom om dessa primitiva föreställningar i ett försök att fånga de grundläggande "uppenbart sanna" mängdteoretiska principer. Från sådana axiom kan all känd atematik härledas. (Mängdlära är grunden för matematik. Alla matematiska begrepp definieras i termer av de primitiva föreställningarna om mängd och medlemskap. I axiomatisk mängdlära formulerar vi några enkla axiom om dessa primitiva föreställningar i ett försök att fånga de grundläggande "uppenbart sanna "mängdsteoretiska principer. Sådana axiom kan vara alla kända matematik härleds.)".
↑ Bourbaki N. Arkitektur av matematik. Uppsatser om matematikens historia / Översatt av I. G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
↑ Sennhauser, Walter. Platon och matematik. - St Petersburg. : RKHGA Publishing House, 2016. - S. 71-91; 315-331.
↑ Euklids början. Böcker I-VI. M.: OGIZ, 1948.
↑ Kunen, 1980 , sid. 12.
↑ 12 Monk , 1969 , sid. 21.
↑ Jech, 1997 , sid. 7.
↑ Kelly, 1981 , sid. 330.
↑ Definitionen som en mängd tillhör den polske matematikern Kazimierz Kuratowski , men före honom uttrycktes idén att definiera ett ordnat par och med det den kartesiska produkten (med andra, mer komplexa konstruktioner än Kuratowskis) som mängder av en speciell typ av olika matematiker, i synnerhet, Norbert Wiener . $(x,y)$ $\{x,\{x,y\}\}$
↑ Kunen, 1980 , sid. fjorton.
↑ Jech, 1997 , sid. elva.
↑ Kelly, 1981 , sid. 332.
↑ Enderton, 1977 , kapitel 4.5.
↑ Roitman, 1990 , kapitel 4.
↑ Ciesielski, 1997 , kapitel 3.
↑ Monk, 1969 , sid. 97-115.
↑ Jech, 1997 , sid. 23.
↑ Kelly, 1981 , sid. 344.
↑ Här förstås med ekvivalensklassen som paret tillhör . $[(n,m)]$ $(n,m)$
↑ Produkter av formuläret , där och definieras med ovanstående inbäddning i . $q'\cdot p$ $q'\in {\mathbb {N} }$ $p=[(n,m)]\in {\mathbb {Z} }$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$
↑ Här förstås med ekvivalensklassen som paret tillhör . $[(p,q)]$ $(p,q)$
↑ Eller mappningar med en definitionsdomän i och en uppsättning värden i (där med förstås den -e kartesiska graden ). ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{m))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$ $n$ ${\mathbb {R} }$
↑ Ett förtydligande behövs här: ibland uppstår situationer när en matematiker istället för begreppet "mängd" måste använda ett något vidare begrepp " klass ", som beskrivs i teorierna av von Neumann - Bernays - Gödel NBG och Morse - Kelly MK. Vi skriver om det nedan.
↑ Se förklaring nedan.
↑ J. Shenfield. Matematisk logik. M.: Nauka, 1975. s. 42-43.
↑ Mendelson E. Introduktion till matematisk logik. M.: Nauka, 1984. s. 63-67.
↑ Matematisk logik. Matematisk uppslagsverk. V.3, M.: Soviet Encyclopedia, 1982.
↑ Se avsnittet om Hilbert formalism nedan.
↑ 1 2 Alternativa axiomatiska uppsättningsteorier. Stanford Encyclopedia of Philosophy
↑ Kunen, 1980 .
↑ J. Shenfield. Matematisk logik. M.: Nauka, 1975. 9 kap.
↑ 1 2 Mendelson E. Introduktion till matematisk logik. M.: Nauka, 1984. 4 kap.
↑ Kelly, 1981 , sid. 321-355.
↑ 1 2 3 Kunen, 1980 , sid. 35-36.
↑ Kunen, 1980 , sid. 35.
↑ Kunen, 1980 , sid. 36: "Ingen av de tre teorierna, ZF, NBG och MK, kan göra anspråk på att vara den "rätta". ZF verkar oelegant, eftersom det tvingar oss att behandla klasser, som vi gjorde i §9, via en omskrivning i metateorin. När vi väl ger klasser en formell existens är det svårt att motivera begränsningen i NBG på att förekomma i klassförståelseaxiomet, så MK verkar vara den rätta teorin. Men när vi väl har bestämt oss för att ge klasser deras fulla rättigheter, är det naturligt att överväga olika egenskaper hos klasser, och att försöka bilda superklasser, som t.ex. I MK kan sådana föremål endast hanteras via en inelegant omskrivning i metateorin." $\phi$ $\{R\subseteq \operatörsnamn {PÅ} \times \operatörsnamn {PÅ} :R{\text{ well-orders }}\operatörsnamn {PÅ} \}$
↑ Se detaljer i artikeln "Konglomerat" .
↑ 1 2 F. William Lawvere. The Category of Categories as a Foundation for Mathematics // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. - Springer, Berlin, Heidelberg, 1966. - S. 1-20 . — ISBN 9783642999048 , 9783642999024 . - doi : 10.1007/978-3-642-99902-4_1 .
↑ Panov V.F., 2006 , sid. 21.
↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 178.
↑ Panov V.F., 2006 , sid. 32.
↑ Kline M., 1984 , sid. 20-25.
↑ Yanovskaya S.A. Har de svårigheter som kallas "Zenos Aporius" övervunnits inom modern vetenskap? // Logikproblem . - M. , 1963. - S. 116 -136.
↑ Zeno of Elea // Stanford Encyclopedia of Philosophy.
↑ Plisko V. E., Khakhanyan V. Kh. Intuitionistisk logik . — Sida 10. Hämtad 24 november 2017. (obestämd)
↑ 1 2 History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 78-80.
↑ Rashevsky P. K. Hilberts "Foundations of Geometry" och deras plats i den historiska utvecklingen av frågan // Hilbert D. Foundations of Geometry. - L . : GITTL, 1948. - S. 13-15 .
↑ Vygodsky M. Ya. "Begynnelser" av Euclid // Historiska och matematiska studier . - M. - L. : GITTL, 1948. - Nummer. 1 . - S. 257-264 .
↑ Bashmakova I. G. Föreläsningar om matematikens historia i antikens Grekland // Historisk och matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr 11 . - S. 309-323 .
↑ Kline M., 1984 , sid. 45-46.
↑ Kline M., 1984 , sid. 55-59, 63-71.
^ Tidigare använde Archimedes , Cavalieri , Vallis och andra matematiker metoden för infinitesimals som en heuristik (se Metoden för odelbara delar ), och angav att resultatet kan bevisas med en "legitim" utmattningsmetod . Newton och Leibniz gjorde inte en sådan reservation, de ansåg infinitesimals som ett juridiskt objekt.
↑ Kline M., 1984 , sid. 152-156, 172-173.
↑ Kline M., 1984 , sid. 164-165, 174-176.
↑ Kline M., 1984 , sid. 187, 197.
↑ Kasner, Edward och Newman, James Roy. Matematik och fantasin . - Dover Pubns, 2001. - S. 359 . - ISBN 0-486-41703-4 .
↑ Papadimitriou, 2011 : "Icke-euklidiska geometrier hade avslöjat farorna med att göra matematik utan en grundlig förståelse av dess axiomatiska grund. (Icke-euklidisk geometri avslöjade farorna med att göra matematik utan att helt förstå dess axiomatiska grundval.)”.
↑ Panov V.F., 2006 , sid. 477-482.
↑ Kline M., 1984 , sid. 204-206.
↑ Panov V.F., 2006 , sid. 485-486.
↑ Kline M., 1984 , sid. 207.
↑ Panov V.F., 2006 , sid. 506-510.
↑ Kline M., 1984 , sid. 236-237.
↑ Philosophy of Mathematics , 2.4.
↑ Kline M., 1984 , sid. 240-242.
↑ Kline M., 1984 , sid. 252-255.
↑ Kline M., 1984 , sid. 257-260.
↑ Kline M., 1984 , sid. 267-271.
↑ Kline M., 1984 , sid. 271-274.
↑ Metafysik och matematik, 2011 , sid. 152, 442.
↑ Kline M., 1984 , sid. 274-279.
↑ Kline M., 1984 , sid. 280-281.
↑ Panov V.F., 2006 , sid. 524.
↑ Kline M., 1984 , sid. 278-279, 284, 418.
↑ Yu. L. Ershov, E. A. Palyutin, Mathematical Logic, M.: Nauka, 1987, s. 92-93: ”Inga motsägelser har ännu hittats inom ZFC. Å andra sidan har det bevisats att om ZFC är konsekvent, så kan detta faktum inte fastställas med hjälp av denna teori.
↑ H.-D.Ebbinghaus, J.Flum, W.Thomas, Mathematical Logic, 1984, s.112: "Icke desto mindre vittnar det faktum att ZFC har undersökts och använts i matematik i decennier och ingen inkonsekvens har upptäckts. konsistensen hos ZFC."
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary, Moscow: Soviet Encyclopedia, 1988, s.410, artikel "Konsistens": "Varje matematiskt bevis på konsistens är relativt: det reducerar bara frågan om en teoris konsistens till frågan om en annans konsistens. "
↑ Mathematical Encyclopedia, Moscow: Soviet Encyclopedia, 1982, s.995, artikel "Konsistens": "Varje bevis på överensstämmelse använder medel från en eller annan matematisk teori, och reducerar därför bara frågan om överensstämmelse till frågan om konsistensen av en annan teori. Det sägs också att den första teorin överensstämmer med den andra teorin. Av stor betydelse är Gödels andra sats, som säger att konsistensen av en formell teori som innehåller aritmetik inte kan bevisas med hjälp av själva teorin (förutsatt att denna teori verkligen är konsekvent)."
↑ Formell aritmetik . Stora sovjetiska encyklopedin . Hämtad: 20 januari 2013. (obestämd)
↑ Penrose R. Stort, litet och mänskligt sinne. - M . : Mir, 2004. - S. 180-184.
↑ Paris J.; Harrington L. (1977). En matematisk ofullständighet i Peano Aritmetik. I Barwise, J. Handbook of Mathematical Logic. Amsterdam, Nederländerna: Nord-Holland.
↑ Kline M., 1984 , sid. 291-293.
↑ Med undantag för endast vissa delar av matematisk logik, som noterats ovan.
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary, Moscow: Soviet Encyclopedia, 1988, s.683, artikel "Hilbert": "Hilberts första förhoppningar på detta område förverkligades inte: problemet med matematiska teoriers konsekvens visade sig vara djupare och svårare än Hilbert tänkte först. Men allt vidare arbete med matematikens logiska grunder följer i stor utsträckning de vägar som Hilbert skisserade och använder de begrepp han skapade.
↑ PT Johnstone. Anteckningar om logik och mängdlära. Cambridge University Press, 1996. Theorems 9.1, 9.2.
↑ Ershov Yu. L. , Palyutin E. A. Matematisk logik. — M .: Nauka, 1987. — 336 sid.
↑ A. Rodin. Kategoriteori och sökandet efter nya matematiska grunder för fysiken.
↑ Bevisassistenter: Historia, idéer och framtid // Sadhana . — 2009-02-01. — Vol. 34 , iss. 1 . - S. 3-25 . - doi : 10.1007/s12046-009-0001-5 .
↑ 1 2 3 Daniel R. Grayson. En introduktion till univalenta grunder för matematiker // arXiv:1711.01477 [matte]. — 2017-11-04.
↑ Davies B. Oavsett matematik? (engelska) // Notices of the American Mathematical Society. - 2001. - Vol. 52 , nr. 11 . - P. 1350-1356 .
↑ Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics . - Princeton : Institute for Advanced Study , 2013. - 603 sid.
↑ Andrey Rodin. Logisk och geometrisk atomism från Leibniz till Voevodsky // Filosofiens problem . - 2016. - Nr 6 . - S. 134-142 . (ryska)

Litteratur

Beginnings of Euclid / Översättning från grekiska och kommentarer av D. D. Mordukhai-Boltovsky med redaktionellt deltagande av M. Ya. Vygodsky och I. N. Veselovsky. - M. - L .: GTTI, 1949-1951. - (Klassiker inom naturvetenskap).
Whitehead A., Russell B. Foundations of Mathematics: I 3 volymer / Ed. G.P. Yarovoy, Yu.N. Radaeva. - Samara: Samara University, 2005-2006. — ISBN 5-86465-359-4 .
Hilbert D. , Bernays P. Foundations of Mathematics. M.: Vetenskap.
- Volym I. Logisk kalkyl och formalisering av aritmetik. 1979, 560 s.
- Volym II. Bevisteorin. 1982, 656 sid.
Brouwer, Luitzen Egbertus Jan. Over de grundslagen der matematik. Academisch proefschrift, Maas & van Suchtelen, Amsterdam 1907 im Internet-Archiv , dito ). Brouwers avhandling "On the Foundations of Mathematics" (n.d.) .
- Engelsk översättning: Brouwer LEJ Collected Works. Vol. 1: Filosofi och matematikens grunder. - Amsterdam-Oxford, 1975. - 734 sid. — ISBN 9781483257549 .
Kleene S.K. Introduktion till metamatematik. - M .: Förlag för utländsk litteratur , 1957. - 526 sid.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Mängdlärans grunder. — M.: Mir, 1966. — 555 sid.
Matematikens grunder . - Great Soviet Encyclopedia, 3:e upplagan, Volym 18, S. 1685 ..
Kunen, Kenneth Mängdlära: En introduktion till oberoende bevis . - North-Holland, 1980. - ISBN 0-444-85401-0 .
Bourbaki N. Matematikens grunder. Logik. Mängdlära // Uppsatser om matematikens historia / I. G. Bashmakova . - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1963. - S. 37-53. — 292 sid. — (Matematikens element).
Bourbaki, N. Matematikens arkitektur. Uppsatser om matematikens historia (Maced.) . - Moskva: Förlag för utländsk litteratur, 1963. - (Elements of mathematics).
Sennhauser, Walter. Platon och matematik. - St Petersburg. : RKHGA Publishing House, 2016.
Euklids början. Böcker I - VI. - Moskva: OGIZ, 1948.
Monk, JD Introduktion till mängdteori. — McGraw-Hill Education , 1969.
Jech, T. Uppsättningsteori. — Springer, 1997.
Kelly, J.Allmän topologi. - Moskva: Nauka, 1981.
Enderton, H. B. Element av mängdlära . — Akademisk press, 1977.
Roitman, J. Introduktion till modern mängdlära. – Wiley, 1990.
Papadimitriou, Christos H. Computation and Intractability: Echoes of Kurt Gödel // Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth / Matthias Baaz et al. - Cambridge University Press , 2011. - 515 s.
Ciesielski, K. Mängdlära för den arbetande matematikern. — Cambridge University Press, 1997.
Mendelson E. Introduktion till matematisk logik. - Moskva: Nauka, 1984.
Adyan S. I. Matematisk logik // Matematisk uppslagsverk. - Moskva: Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3.

Shenfield J. Matematisk logik. - Moskva: Nauka, 1975.

F. William Lawvere. The Category of Categories as a Foundation for Mathematics // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. - Springer, Berlin, Heidelberg, 1966. - S. 1-20 . — ISBN 9783642999048 , 9783642999024 . - doi : 10.1007/978-3-642-99902-4_1 .

Matematikens historia. Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Kline M. Matematik. Förlust av säkerhet . — M .: Mir, 1984. — 446 sid. Arkiverad12 februari 2007 påWayback Machine
1800-talets matematik. Volym I: Matematisk logik, Algebra, Talteori, Sannolikhetsteori / Ed. Kolmogorova A. N. , Yushkevich A. P. . — M .: Nauka, 1978. — 256 sid.
Metafysik. Århundradet XXI. Almanacka. Problem. 4: Metafysik och matematik. — M. : BINOM. Kunskapslaboratoriet, 2011. - 463 sid. — ISBN 978-5-9963-0551-3 . En samling klassiska (Riemann, Poincaré, Brouwer, Gödel, Cohen, G. Weyl) och samtida artiklar om berättigandet av matematik och andra problem inom matematik och fysik.
Mostovsky A. Det aktuella forskningsläget om matematikens grunder // Framsteg inom matematiska vetenskaper . - M .: Ryska vetenskapsakademin , 1954. - T. 9 , nummer. 3(61) . - S. 3-38 . (ryska)Detta är en utökad presentation av en rapport som levererades vid VIII-kongressen för polska matematiker (Warszawa, 1953).
Panov VF Matematik gammal och ung. - ed. 2:a. - M . : MSTU im. N.E. Bauman, 2006. - 648 sid. — ISBN 5-7038-2890-2 .
Perminov V. Ya. Filosofi och matematikens grunder. - M . : Progress-Tradition, 2001. - 320 sid. — ISBN 5-89826-098-6 .
Yarovoy G., Radaev Yu Förord // Whitehead A., Russell B. Mathematics grunder: i 3 volymer - Samara: Samara University, 2005-2006. — ISBN 5-86465-359-4 .
Yashin B. L. Matematik i samband med filosofiska problem. - M. : Prometheus, 2012. - S. 69. - 110 sid. — ISBN 978-5-4263-0111-5 .

Yanov Yu. I. Matematik, metamatematik och sanning . Hämtad: 10 januari 2018. (obestämd)
Friedman Harvey M. Matematikens grunder: dåtid, nutid och framtid (engelska) . Tillträdesdatum: 16 november 2017.
Horsten, Leon. Mathematics Philosophy (engelska) . — Stanford Encyclopedia of Philosophy. Hämtad: 15 november 2017.
Kunen, Kenneth. The Foundations of Mathematics (engelska) (29 oktober 2007). Hämtad: 15 november 2017.
Lambek, Joachim. Matematikens grunder (engelska) . - Encyclopedia Britannica. Hämtad: 15 november 2017.
Simpson , Stephen G. Logik och matematik . Tillträdesdatum: 16 november 2017.

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	NDL : 00571525

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"