Ergodicitet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 november 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Ergodicitet är en speciell egenskap hos vissa dynamiska system , som består av det faktum att i evolutionsprocessen nästan varje tillstånd med en viss sannolikhet passerar nära vilket annat tillstånd som helst i systemet.

För ergotiska system måste den matematiska förväntan på tidsserier sammanfalla med den matematiska förväntan på rymdserier. Det vill säga för att bestämma systemets parametrar kan man observera beteendet hos ett av dess element under lång tid, eller det är möjligt att överväga alla dess element (eller ganska många element) på mycket kort tid. Om systemet har egenskapen ergodicitet kommer i båda fallen samma resultat att erhållas.

Fördelen med ergodiska dynamiska system är att sådana system med tillräcklig observationstid kan beskrivas med statistiska metoder. Till exempel är temperaturen på en gas ett mått på medelenergin för en molekyl. Vi måste först bevisa ergodiciteten i detta system.

Ergodisk teori är en av grenarna av allmän dynamik.

Definition

Låt vara ett sannolikhetsutrymme och vara en måttbevarande kartläggning. $(X,\;\Sigma ,\;\mu \,)$ $T:X\to X$

Kartläggningen T är ergod med avseende på om följande villkor är uppfyllt: $\mu$

för någon T -invariant delmängd (det vill säga sådan att ) antingen , eller . $E\in \Sigma$ $T^{-1}(E)=E$ $\mu (E)=0$ $\mu (E)=1$

Anteckningar

Definitionen motsvarar följande villkor,

För varje delmängd av positiva mått har vi $E\in \Sigma$ $\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty}T^{-n}E\right)=1$ ;
För två godtyckliga uppsättningar E och H av positivt mått, finns det n > 0 så att *: ; $\mu ((T^{-n}E)\cap H)>0$
Varje T -invariant mätbar funktion är konstant nästan överallt. $f:X\to \mathbb {R}$

Se även

Litteratur

V. I. Arnold , A. Avets . Ergotiska problem i klassisk mekanik . - Moskva-Izhevsk: RHD, 1999.
I.P. Kornfeld, Ya.G. Sinai , S.V. Fomin Ergodisk teori. — M.: Nauka, 1980.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion till den moderna teorin om dynamiska system / övers. från engelska. A. Kononenko med deltagande av S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 sid. — ISBN 5-88688-042-9 .
Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion till den moderna teorin om dynamiska system med en genomgång av senaste prestationer / Per. från engelska. ed. A.S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 sid. — ISBN 5-94057-063-1 .
Khinchin A. Ya. Mathematical Foundations of Statistical Mechanics , M. - L., 1943.
Nemytsky V. V. , Stepanov V. V. Kvalitativ teori om differentialekvationer , 2:a upplagan, M. - L., 1949.
Halmos P. Föreläsningar om ergodisk teori: per. från engelska. - M., 1959.
GD Birkhoff , Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci USA, 17 s 656-660.
J. von Neumann , Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 s 70-82.
J. von Neumann , Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 sid. 263-266.

Länkar

Ergodisk teori // Stora sovjetiska uppslagsverket : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.