Morse teori

Morseteori är en matematisk teori som utvecklades på 1920-1930-talet av Marston Morse , som kopplar samman de algebraiska-topologiska egenskaperna hos grenrör och beteendet hos jämna funktioner på det vid kritiska punkter .

En av de historiskt första tillämpningarna av metoder för differentiell topologi i analys . Morse kallade teorin för "variationskalkyl i stort" ( engelska variation calculus in large ), medan morse-teorin började på 1960-talet, med generaliseringen av resultaten till oändliga dimensionella grenrör, att betraktas som en underavdelning av global analys - analys av grenrör [1] . I sin tur, i Raoul Botts verk under andra hälften av 1950-talet, tillämpades morseteorins metoder på rent topologiska problem, och de erhållna resultaten (först och främst periodicitetssatsen ) tjänade till stor del som grunden. för en oberoende sektion av matematik -K-teorier .

Tre huvudsakliga successivt utvecklade områden inom morseteorin särskiljs: den klassiska teorin om kritiska punkter på ett jämnt grenrör , morseteorin för geodetik på ett riemannskt grenrör , som var en tillämpning av den klassiska teorins konstruktioner, och morseteorin . teori om Banachs mångfald , som naturligtvis utvidgar teorin om geodetik och är direkt generalisering av den klassiska teorin [2] .

Teorin om kritiska punkter på ett jämnt grenrör

Nyckelresultatet av teorin om kritiska punkter på ett jämnt grenrör är Morses lemma , som beskriver beteendet hos en verklig funktion på ett grenrör vid en icke-degenererad kritisk punkt : enligt lemmat finns det en karta för grannskapet så att för alla och på det hela taget har vi : $f:M\to \mathbb{R}$ $b\in M$ $(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ $U\nb$ $x_{i}(b)=0$ $i$ $U$

f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{{\alpha }}^{2}+x_{{\alpha +1}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

(Här , indexet vid punkten .) En generalisering av lemma till Hilbert-utrymmen är Morse-Pale lemma . $\alfa$ $f$ $b$

Ett annat viktigt resultat är relaterat till tillämpningen av Morse-transformationen : om en uppsättning är kompakt, inte skär gränsen för grenröret och innehåller exakt en kritisk punkt som har Morseindex , så är den diffeomorf till grenröret som erhålls genom limning indexhandtaget . $f^{{-1}}([a,b])$ $M$ $k$ $f^{{-1}}(b)$ $f^{{-1}}(a)$ $k$

Varje morsefunktion på ett jämnt grenrör utan gräns (så att alla uppsättningar är kompakta) motsvarar ett CW-komplex homotopiskt ekvivalent med grenröret vars celler är i en-till-en-överensstämmelse med funktionens kritiska punkter , och dimensionen av cellen är lika med morseindex för motsvarande kritiska punkt. Viktiga konsekvenser av detta resultat är Morse-ojämlikheterna . Detta resultat ger också ett kraftfullt verktyg för att studera topologin för grenrör, och inte bara index är viktiga, utan också antalet kritiska punkter. Till exempel, om en morsefunktion ges på ett slutet grenrör som har exakt kritiska punkter (vars index är okända), då: $f$ $M$ $f^{{-1}}(a)$ $M$ $f$ $f:M\till R$ $m$

fallet är omöjligt enligt morseojämlikheterna; $m=1$
i fallet med : Reebs sfärsats säger att det är homeomorft (men generellt sett inte diffeomorft ) till en sfär ; $m=2$ $M$ $S^{n}$
fallet är endast möjligt i några små dimensioner, samtidigt som det är homeomorft till Eales-Kuiper-grenröret . $m=3$ $M$

Anteckningar

↑ Smale S. Vad är global analys? (engelska) // American Mathematical Monthly. - 1969. - Vol. 76 , nr. 1 . - S. 4-9 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2316777 .
↑ Morse teori - Encyclopedia of Mathematics artikel . M. M. Postnikov , Yu. B. Rudyak

Litteratur

Milnor, J. Morse Teori / Per. från engelska. V. I. Arnold . - 1965. - 184 sid.
V. A. Sharafutdinov. Föredrag. Kapitel 3: Fundamentals of Morse Theory