Karakteristisk undergrupp

En karakteristisk undergrupp är en undergrupp som är invariant under alla automorfismer i gruppen.

Relaterade definitioner

Om bilden av en undergrupp under verkan av någon endomorfism ligger inuti undergruppen, kallas undergruppen helt karakteristisk . Det är tydligt att vilken helt karakteristisk grupp som helst är karakteristisk.
Varje grupp har 2 karakteristiska undergrupper, kallade triviala : själva gruppen och identitetsundergruppen. En grupp som inte har icke-triviala karakteristiska undergrupper kallas elementär .

Varje karakteristisk undergrupp är normal (eftersom konjugering är en automorfism), är det omvända inte sant i allmänhet. Om gruppen av automorfismer i en grupp sammanfaller med gruppen av inre automorfismer, så är vilken normal undergrupp av gruppen som helst karakteristisk. $\operatorname {Aut} G$ $\operatorname {Int} G,$
Egenskapen "att vara en karakteristisk undergrupp" är transitiv, det vill säga om A är karakteristisk (helt karakteristisk) i B och B är karakteristisk (fullständigt karakteristisk) i C , så är A karakteristisk (helt karakteristisk) i C.
Skärningspunkten mellan karakteristiska (helt karakteristiska) undergrupper är en karakteristisk (helt karakteristisk) undergrupp.
En undergrupp genererad av en uppsättning karakteristiska (helt karakteristiska) undergrupper är en karakteristisk (helt karakteristisk) undergrupp.