Kommutator

En kommutant i en allmän algebra är ett undersystem av algebror som innehåller en gruppstruktur ( undergrupp , subring , i det mest allmänna fallet en undergrupp till en multioperatorgrupp ), som visar graden av icke- kommutativitet för en gruppoperation.

Kommutanten för gruppen är den minsta normala undergruppen så att kvoten av den är en abelisk grupp . Ringens är det ideal som genereras av alla möjliga produkter av element.

Kommutatorn för multioperatorgruppen

Kommutatorn är mest universellt definierad för multioperatorgruppen . Kommutatorn för en multioperatoralgebra är dess ideal genererad av dess kommutatorer, det vill säga element i formen: ${\mathfrak G}=(G,+,-,0,\Sigma )$

[g_{1},g_{2}]=-g_{1}-g_{2}+g_{1}+g_{2}

samt elementen:

-\sigma (g_{1},\dots ,g_{n})-\sigma (h_{1},\dots ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\dots ,g_{n}+h_{n})

för varje -är operation från den ytterligare signaturen för multi-operatorgruppen. $n$ $\sigma \in \Sigma$

Gruppkommutator

Kommutatorn för en grupp [1] ( en härledd grupp eller den andra medlemmen av den nedre centrala raden i en grupp ) är en undergrupp som genereras av uppsättningen av alla möjliga produkter av ett ändligt antal kommutatorer av par av element i en grupp . Följande notation används för den härledda undergruppen av gruppen : , . (Samtidigt skrivs växlarna olika i olika källor: det förekommer (i den multiplikativa notationen) både och ). $G$ ${\displaystyle \{[g_{1},g_{2}]\mid g_{1},g_{2}\i G\))$ $G$ $G$ $[G,G],\;G',\;T_{2}(G)$ $K(G)$ $[g_{1},g_{2}]=g_{1}g_{2}g_{1}^{{-1}}g_{2}^{{-1}}$ $[g_{1},g_{2}]=g_{1}^{{-1}}g_{2}^{{-1}}g_{1}g_{2}$

Kommutatorundergruppen i en grupp är en helt karakteristisk undergrupp , och alla undergrupper som innehåller kommutatorundergruppen är normala .

Commutator ranks

Kommutatorkonstruktionen kan itereras:

G^{{(0)}}:=G

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

för .

n\in \mathbb {N}

Grupperna , , ... kallas den andra härledda gruppen , den tredje härledda gruppen , och så vidare. Fallande rad med grupper: $G^{(2)}$ $G^{(3)}$

G=G^{{(0)}}\vartriangleright G^{{(1)}}\vartriangleright G^{{(2)}}\vartriangleright \ldots

kallas en härledd serie , eller en serie av kommutatorer [2] .

För en finit grupp stabiliserar den härledda serien förr eller senare på en grupp vars kommutant sammanfaller med sig själv . Om denna grupp är trivial sägs den ursprungliga gruppen vara lösbar . För en oändlig grupp stabiliserar den härledda serien inte nödvändigtvis i ett ändligt antal steg, men den kan utökas med transfinit induktion , vilket ger en transfinit härledd serie , som förr eller senare kommer att leda till en perfekt grupp. $G$

Abelisering

En kvotgrupp med avseende på någon normal undergrupp är abelian om och endast om denna undergrupp innehåller kommutatorundergruppen för gruppen. Faktoriseringen av en grupp genom dess kommutant kallas abelisering och betecknas med eller eller . $G$ $Pladdra}}$ $G^{{ab}}$ $\operatörsnamn {Ab}(G)$

Det finns en kategorisk tolkning av kartläggningen . Det är nämligen universellt med avseende på alla homomorfismer från till en Abelisk grupp: för varje sådan homomorfism finns det en unik homomorfism sådan att . På motsvarande sätt har en förglömmande funktor från kategorin abelska grupper till kategorin alla grupper en vänsteradjoint , abeliseringsfunktorn, som tilldelar en grupp dess kvot per kommutator och agerar på morfismer på ett uppenbart sätt. $\varphi :G\to G^{{ab}}$ $\varphi$ $G$ $f:G\till H$ $F:G^{{ab}}\till H$ $f=F\circ \varphi$

Abelisering av en grupp kan beräknas som den första heltalsgrupphomologin : . $G$ $G_{{ab}}=H_{1}(G,{\mathbb {Z}})$

Gurevichs teorem i algebraisk topologi säger att för ett anslutet CW-komplex . Således teorin om homologi i topologi kan ses som en abelization av teorin om homotopy . Detta påstående kan göras exakt ( Dold-Thomas teorem ). $H_{1}(X)=\pi _{1}(X)_{{ab}}$

Ömsesidig kommutator

Den ömsesidiga kommutatorn av delmängder av stödet för en grupp är den undergrupp som genereras av alla kommutatorer av formuläret . Den ömsesidiga kommutatorundergruppen av normala undergrupper är en normal undergrupp. $L,M$ $G$ $[L,M]$ $[l,m]:l\i L,m\in M$

För godtyckliga delar av gruppen gäller följande relation: $g\in G$

g[L,M]g^{{-1}}=[gLg^{{-1}},gMg^{{-1}}]

Ringens kommutator

Ringens kommutator (även ringens kvadrat ) [3] är den ideal som genereras av alla produkter: , betecknad med eller . En sådan förenkling i jämförelse med den universella definitionen av kommutatorn uppstår på grund av kommutativiteten hos ringens additivgrupp - kommutatorn av element försvinner alltid, och villkoret för den extra signaturen (ringmultiplikation) uttrycks av behovet av att inkludera alla element i följande form i generatorset: $R$ $\{ab\mid a,b\in R\}$ $[R, R]$ $R^2$ $r_{1},r_{2}\i R$

-r_{1}r_{2}-s_{1}s_{2}+(r_{1}+s_{1})(r_{2}+s_{2})=r_{1}s_ {2}+r_{2}s_{1}

Anteckningar

↑ På engelska kallas kommutatorn för en grupp en "commutator subgroup" - Eng. kommutatorundergrupp , så det kan finnas förvirring med begreppet en gruppmedlemskommutator .
↑ Denna konstruktion ska inte förväxlas med den nedre mittraden i gruppen , som definieras som , inte $G_{n}:=[G_{{n-1}},G]$ $G^{{(n)}}:=[G^{{(n-1)}},G^{{(n-1)}}]$
↑ I teorin om ringar kallas en annan kombination en kommutator av element: , och ett kommutatorideal är ett ideal (ringar, algebror) som genereras av alla kommutatorer; i litteraturen kallas ibland ett sådant kommutatorideal också för kommutator av en ring (algebra). $[a,b]=ab-ba$

Litteratur

A.G. Kurosh . Grupper med multioperatorer // Föreläsningar om allmän algebra. - 2:a uppl. - M . : Nauka, 1973. - S. 114-124. — 400 s. — 30 000 exemplar.
Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory. - 5:e uppl. - Lan, 2009. - 288 sid. — ISBN 978-5-8114-0894-8 .
Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitel II. Grupper // Allmän Algebra / Under det allmänna. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .
I. M. Vinogradov. Commutant // Mathematical Encyclopedia. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1977-1985. (ryska)