Universell omslutande algebra

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 mars 2020; verifiering kräver 1 redigering .

En universell omslutande algebra är en associativ algebra som kan konstrueras för vilken Lie-algebra som helst som antar många viktiga egenskaper hos den ursprungliga algebra, vilket gör att du kan använda bredare verktyg för att studera den ursprungliga algebra.

Byggnad

En associativ algebra över ett fält har den naturliga strukturen av en Lie-algebra över med följande Lie-parentes : , det vill säga från en associativ produkt kan man konstruera en Lie-parentes genom att helt enkelt ta kommutatorn . Vi betecknar denna Lie-algebra med . $A$ $K$ $K$ $[a,b] = ab - ba$ $A_L$

Konstruktionen av en universell omslutande algebra försöker vända denna process: för en given Lie-algebra över , hittar man den "mest allmänna" associativa- algebra så att Lie-algebra innehåller . En viktig begränsning är bevarandet av representationsteori: representationer är relaterade på exakt samma sätt som moduler över . I ett typiskt sammanhang, där de ges av infinitesimala transformationer , fungerar elementen som differentialoperatorer av alla ordningar. $\mathfrak{g}$ $K$ $K$ $U(\mathfrak{g})$ $U_L$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$

Motivation

Ett viktigt ämne i studiet av algebror, och förmodligen det huvudsakliga sättet de visas i applikationer, är representationen av Lie-algebra . Representationen tilldelar varje element x i Lie-algebra en linjär operator . Detta utrymme av linjära operatorer är inte bara en Lie-algebra, utan också en associativ algebra, så det är möjligt att överväga produkter . Kärnan i introduktionen av den universella omslutande algebra är studiet av sådana produkter i olika representationer av Lie-algebra. Ett hinder i ett naivt försök att göra detta är omedelbart uppenbart: produkternas egenskaper beror i grunden på den valda representationen, och inte bara på själva Lie-algebra. Till exempel, för en representation kan du få , medan i en annan representation kan denna produkt vara icke-noll. Vissa egenskaper är dock universella för alla åsikter, det vill säga de gäller för alla åsikter samtidigt. Universal omslagsalgebra är ett sätt att täcka alla sådana egenskaper och bara dem. $\rho$ $\rho(x)$ $\rho(x)\rho(y)$ $\rho(x)\rho(y)=0$

Generisk egenskap

Låt vara en godtycklig Lie algebra över fältet . Givet en associativ algebra med identitet och en homomorfism av Lie-algebra $\mathfrak{g}$ $K$ $U$

h\colon \mathfrak{g} \to U_L,

vi kommer att säga att det är en universell omslutande algebra av en Lie-algebra om den uppfyller följande universella egenskap : för varje associativ algebra med identitet och en homomorfism av Lie-algebra $U$ $\mathfrak{g}$ $A$

f\colon \mathfrak{g} \to A_L

det finns en unik homomorfism av associativa algebror med identitet

g\kolon U\till A

Så att

f = gh.

Denna universella egenskap kan också förstås på följande sätt: funktionsavbildningen till dess universella omslutande algebra lämnas konjugerad till funktionatorn som avbildar den associativa algebra till motsvarande Lie-algebra . $\mathfrak{g}$ $A$ $A_L$

Direkt konstruktion

Från denna universella egenskap kan vi dra slutsatsen att om en Lie-algebra har en universell omslutande algebra, så bestäms denna omslutande algebra unikt av algebra upp till isomorfism. Med hjälp av följande konstruktion, som antyder sig själv från allmänna överväganden (till exempel som en del av ett par adjoint funktiontorer ), fastställs det att i själva verket varje Lie-algebra nödvändigtvis har en universell omslutande algebra. $\mathfrak{g}$

Med utgångspunkt i tensoralgebra på vektorrummet för algebra får vi faktorisering genom relationer $T(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $T(\mathfrak{g})$

a \otimes b - b \otimes a = [a,b]

för alla och i , där parenteserna på höger sida av uttrycket betecknar kommutatorn i . $a$ $b$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

Formellt betyder det det

U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/I

där är ett dubbelsidigt ideal för algebra genererat av element i formen $jag$ $T(\mathfrak{g})$

a\otimes b - b \otimes a - [a,b], \quad a,b \in \mathfrak{g}.

Den naturliga kartläggningen definierar kartläggningen , och det är denna homomorfism av Lie-algebras som används i ovanstående universella egenskap. $\mathfrak{g} \to T(\mathfrak{g})$ $h\colon \mathfrak{g} \to U_L$

Den beskrivna konstruktionen överför nästan ordagrant till fallet med Lie superalgebra .

Exempel

Om den är abelsk (det vill säga kommutatorn är alltid 0), så är den kommutativ; om en vektorrymdbas väljs , kan den betraktas som en polynomalgebra över med en variabel för varje baselement . $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $K$

Om är Lie-algebra för Lie - gruppen , då kan den betraktas som en algebra av vänsterinvarianta differentialoperatorer (av alla ordningsföljder) på , som innehåller som första ordningens differentialoperatorer (som är i ömsesidig överensstämmelse med vänsterinvarianta vektorfält på ). $\mathfrak{g}$ $G$ $U(\mathfrak{g})$ $G$ $\mathfrak{g}$ $G$

Algebrans centrum betecknas med och består av differentialoperatorer som är invarianta både under gruppens vänstra aktion och under den högra; i fallet med icke-kommutativitet genereras centret ofta inte av första ordningens operatorer (till exempel Casimir-operatorn för en halvenkel Lie-algebra). $U(\mathfrak{g})$ $Z(\mathfrak{g})$ $G$

Det kan också karakteriseras som en algebra av generaliserade funktioner som stöds på identitetselementet i en grupp med faltningsoperationen . $U(\mathfrak{g})$ $e$ $G$

Weylalgebra av differentialoperatorer ivariabler med polynomkoefficienter kan erhållas från Lie-algebra i Heisenberg-gruppen . För att göra detta är det nödvändigt att faktorisera det så att de centrala elementen i den givna Lie-algebra fungerar som skalärer. $n$

Ytterligare beskrivning av strukturen

Grundsatsen för Poincaré - Birkhoff - Witt ger en exakt beskrivning ; den viktigaste konsekvensen av det är att det kan betraktas som ett linjärt delrum av . Mer exakt: den kanoniska kartläggningen är alltid injektiv . Dessutom genereras den som en associativ algebra med identitet. $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $h\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$

$\mathfrak{g}$ agerar på sig själv genom en adjoint representation av Lie-algebra , och denna åtgärd kan utökas till en representation i endomorphisms : fungerar som en algebra av derivator på , och denna åtgärd bevarar de påtvingade relationerna, så den verkar faktiskt på . (Detta är ett rent infinitesimalt sätt att se på ovanstående invarianta differentialoperatorer.) $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $T(\mathfrak{g})$ $U(\mathfrak{g})$

Med denna representation kallas element som är invarianta under åtgärden (det vill säga verkan av något element på dem är trivial) invarianta element . De genereras av Casimir-invarianterna . $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

Som nämnts ovan är konstruktionen av universella envelopperande algebror en del av ett par adjoint funktiontorer. är en funktor från kategorin Lie-algebror över till kategorin associativa -algebror med identitet. Denna funktion lämnas intill funktionsmappningen av algebra till algebra . Det bör noteras att konstruktionen av den universella omslutande algebra inte är precis det motsatta av bildningen av : om vi utgår från den associativa algebra , så är den inte lika med ; den är mycket större. $U$ $K$ $K$ $A$ $A_L$ $A_L$ $A$ $U(A_L)$ $A$

Informationen om representationsteori som nämnts tidigare kan förfinas enligt följande: den abelska kategorin av alla representationer är isomorf till den abelska kategorin för alla vänstermoduler . $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$

Konstruktionen av en gruppalgebra för en given grupp är på många sätt analog med konstruktionen av en universell omslutande algebra för en given Lie-algebra. Båda konstruktionerna är universella och överför teorin om representationer till teorin om moduler. Dessutom har både gruppalgebror och universella enveloping-algebror en naturlig comultiplication- struktur som förvandlar dem till Hopf-algebror .

Litteratur

Dixmier, Jacques. Omslutande algebror. Reviderad nytryck av 1977 års översättning. . - Providence, RI: American Mathematical Society, 1996. - V. 11. - 379 sid. — (Forskarstudier i matematik). — ISBN 0-8218-0560-6 .
Serre J.-P. Lie algebror och Lie grupper. - Moskva: Mir, 1969. - 376 sid. - ISBN 978-5-458-50774-5 .
Zhelobenko D. P. Compact Lie-grupper och deras representationer. - 2:a uppl., tillägg. - Moskva: MTSNMO, 2007. - 552 s. — ISBN 978-5-94057-302-9 .