Koalgebra

En koalgebra är en matematisk struktur som är dubbel (i betydelsen av omvända pilar) till en associativ algebra med en enhet . Axiomen för en enhetlig associativ algebra kan anges i form av kommutativa diagram . Koalgebras axiom erhålls genom att vända pilarna. Varje koalgebra med dualitet (av ett vektorrum) genererar en algebra, men inte vice versa. I det finita dimensionella fallet finns det dualitet i båda riktningarna. Koalgebror förekommer i olika fall (till exempel i universella omslutande algebror och gruppscheman ). Det finns också en F-coalgebra , som har viktiga tillämpningar inom datavetenskap .

Definition

En koalgebra över ett fält K är ett vektorrum C över K tillsammans med K -linjära avbildningar och , så att $\Delta : C \to C \otimes_K C$ $\epsilon : C \till K$

$(\mathrm{id}_C \otimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta$
$(\mathrm{id}_C \otimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id}_C = (\epsilon \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta$ .

(Här , och betyder tensorprodukten över K .) $\ ibland$ $\otimes_K$

På motsvarande sätt pendlar följande två diagram :

I det första diagrammet identifierar vi oss med två naturligt isomorfa rum. [1] På liknande sätt, naturligt isomorfa utrymmen , och identifieras i det andra diagrammet . [2] $C\otimes (C\otimes C)$ $(C \ ibland C) \ ibland C$ $C$ $Ibland K$ $K\otimes C$

Det första diagrammet är dubbelt till diagrammet som uttrycker associativiteten för multiplikationsoperationen av en algebra (och kallas koassociativiteten för comultiplication); det andra diagrammet är dubbelt till diagrammet som uttrycker förekomsten av ett multiplikativt neutralt element . Följaktligen kallas kartan Δ comultiplication ( eller coproduct ) i C , och ε är enheten av C.

Exempel

Betrakta en mängd S och bilda ett vektorrum över K med basen S . Elementen i detta vektorrum är funktioner från S till K som mappar alla utom ett ändligt antal element av S till noll; vi identifierar ett element s av S med en funktion som mappar s till 1 och alla andra element i S till 0. Vi kommer att beteckna detta mellanrum som C . Vi kommer att avgöra

\Delta(s) = s\otimes s \quad \mbox{ och } \quad \epsilon(s)=1 \quad \forall s\in S.

Δ och ε kan unikt utökas till alla C genom linjäritet . Vektorutrymmet C blir en koalgebra med comultiplication Δ och count ε (att kontrollera detta är ett bra sätt att vänja sig vid att använda koalgebra-axiomen).

Ändligt dimensionellt fall

I det finitdimensionella fallet är dualiteten mellan algebra och koalgebra närmare: objektet dual till en finitdimensionell (unitär associativ) algebra är en koalgebra, och dual till en finitdimensionell koalgebra är en (unitär associativ) algebra. Generellt sett behöver ett objekt som är dubbelt till en algebra inte vara en koalgebra.

Detta följer av det faktum att, för änddimensionella rum, ( A ⊗ A )* och A * ⊗ A * är isomorfa.

Än en gång: algebra och koalgebra är dubbla begrepp (axiomen som definierar det ena erhålls från det andras axiom genom att vända pilar), medan de för finita dimensionella utrymmen också är dubbla objekt .

Anteckningar

↑ Yokonuma (1992), sid. 12 , Prop. 1.7.
↑ Yokonuma (1992), sid. 10 , prop. 1.4.

Se även

Litteratur

Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras , vol. 235 (1:a upplagan), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .
Yokonuma, Takeo (1992), Tensor spaces and exterior algebra , vol. 108, Översättningar av matematiska monografier, AMS Bookstore, ISBN 9780821845646 .
Bourbaki, Nicolas. Algebra (obestämd) . - Springer-Verlag , 1989. - ISBN 0-387-19373-1 . . III kap 11 §.

Länkar

William Chin: En kort introduktion till koalgebra-representationsteori Arkiverad 24 oktober 2004 på Wayback Machine