Casimir invariant

Casimir-invarianten ( Casimir- operatorn ) är en anmärkningsvärd del av centrum av Lie -algebras universella omslutande algebra . Uppkallad efter den holländska fysikern Hendrik Casimir . Ett exempel är kvadraten på rörelsemängdsoperatorn , som är Casimir-invarianten för den tredimensionella rotationsgruppen . Casimir-operatörerna i Poincare-gruppen har en djup fysisk betydelse, eftersom de används för att definiera begreppen massa och spin av elementarpartiklar [1] .

Definition

Låt oss anta att det är en -dimensionell halvenkel Lie- algebra . Låta vara vilken grund som helst , och vara den dubbla basen konstruerad från en fast invariant bilinjär form (till exempel Killing-formen ) på . Casimir-elementet är ett element i den universella omslutande algebra , definierad av formeln $\mathfrak{g}$ $n$ ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n))$ $\mathfrak{g}$ ${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n))$ $\mathfrak{g}$ $\Omega$

\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.

Även om definitionen av Casimir-elementet hänvisar till ett visst val av grund i Lie-algebra, är det lätt att visa att det resulterande elementet inte beror på det valet. Dessutom innebär invariansen av den bilinjära formen som används i definitionen att Casimir-elementet pendlar med alla element i algebra , och därför ligger i centrum av den universella omslutande algebra $\Omega$ $\mathfrak{g}$ $U({\mathfrak {g}}).$

Varje representation av en algebra på ett vektorrum V , möjligen oändligt dimensionell, har en motsvarande Casimir-invariant , en linjär operator på V , given av $\rho$ $\mathfrak{g}$ $\rho (\Omega )$

\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).

Ett specialfall av denna konstruktion spelar en viktig roll i differentialgeometri och allmän analys . Om en sammankopplad Lie - grupp G med en Lie-algebra verkar på ett differentierbart grenrör M , så representeras elementen av första ordningens differentialoperatorer på M . Representationen verkar på utrymmet för smidiga funktioner på M . I en sådan situation är Casimir-invarianten en G -invariant andra ordningens differentialoperator på M definierad av ovanstående formel. Det (beroende på konventionen, fram till undertecknandet) sammanfaller med Laplace-Beltrami-operatorn på det underliggande grenröret av Lie-gruppen G med avseende på Cartan-Killing-metriken . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $\rho$

Mer generella Casimir-invarianter kan också definieras. De är vanligt förekommande i studien av pseudo-differentiella operatorer och Fredholms teori .

Egenskaper

Casimir-operatorn är en anmärkningsvärd del av centrum av Lie -algebras universella omslutande algebra . Med andra ord är det en medlem av algebra för alla differentialoperatorer som pendlar med alla generatorer i Lie-algebra.

Antalet oberoende element i mitten av den universella omslutande algebra är också rangordningen i fallet med en semisenkel Lie-algebra . Casimir-operatorn ger konceptet Laplacian på allmänna halvenkla Lie-grupper ; men en sådan väg visar att det kan finnas mer än en analog till Laplacian, för rang >1.

I varje irreducerbar representation av Lie-algebra, genom Schurs lemma , pendlar varje medlem av centrum av den universella omslutande algebra med allt och är således proportionell mot identiteten. Denna proportionalitetsfaktor kan användas för att klassificera representationer av en Lie-algebra (och därför även dess Lie-grupp ). Fysisk massa och spinn är exempel på sådana koefficienter, liksom många andra kvanttal som används inom kvantmekaniken . Ytligt sett representerar topologiska kvanttal ett undantag från denna modell; även om djupare teorier tyder på att dessa är två aspekter av samma fenomen.

Exempel: so(3)

Lie-algebra motsvarar SO (3), rotationsgruppen för det 3-dimensionella euklidiska rummet . Det är ett primtal av rang 1, och därför har det den enda oberoende Casimir-invarianten. Dödsformen för en rotationsgrupp är bara Kronecker-symbolen och Casimir-invarianten är helt enkelt summan av kvadraterna av generatorerna för den givna algebra. Det vill säga, Casimir-invarianten ges av formeln ${\mathfrak {so}}(3)$ ${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z))$

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.

I den irreducibla representationen innebär invariansen av Casimir-operatorn dess mångfald till identitetselementet e i algebra, så att

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)e.

Inom kvantmekaniken hänvisar det skalära värdet till det totala vinkelmomentet. För finitdimensionella matrisvärderade representationer av rotationsgruppen, är alltid ett heltal (för bosoniska representationer ) eller ett halvt heltal (för fermioniska representationer ). $\aln$ $\aln$

För ett givet tal är matrisrepresentationen -dimensionell. Så, till exempel, den 3-dimensionella representationen so (3) motsvarar och ges av generatorerna $\aln$ $(2\ell +1)$ $\ell =1$

L_{x}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix)),L_{y}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0 \end{pmatrix}},L_{z}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.

Sedan Casimir-invarianten:

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}},

sedan kl . På samma sätt har den 2-dimensionella representationen en grund som ges av Pauli-matriserna , som motsvarar spin 1/2. $\ell (\ell +1)=2$ $\ell =1$

Se även

Harish-Chandra homomorfism

Anteckningar

↑ Rumer, 2010 , sid. 134.

Länkar

Humphreys, James E. Introduktion till lögnalgebror och representationsteori . — Andra tryckningen, reviderad. Graduate Texts in Mathematics, 9. - New York: Springer-Verlag, 1978. - ISBN 5-9221-0055-6 .

Litteratur

Yu. B. Rumer , AI Fet Teori om grupper och kvantiserade fält. - M. : Librokom, 2010. - 248 sid. - ISBN 978-5-397-01392-5 .