Lemma Schura

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 december 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

Schurs lemma är ett påstående som är ett av de viktigaste i konstruktionen av grupprepresentationsteorin .

Uttalande av lemma

En representation av en grupp genom automorfismer av något vektorrum sägs vara irreducerbar om det inte finns något delrum som är invariant med avseende på 0 och sig själv . $G$ $GL(V)$ $\sigma :G\till GL(V)$ $\sigma$ $V$

Schurs Lemma : Låta vara en linjär kartläggning av vektorutrymmen över något fält så att det finns två irreducerbara representationer och , Så att för alla . Sedan: $f$ $f:V_{1}\till V_{2}$ $K$ $\sigma :G\to GL(V_{1})$ $\tau :G\to GL(V_{2})$ ${\displaystyle \tau _{g}f=f\sigma _{g))$ $g$

1) Om det inte är en isomorfism , är det en nollmappning. $f$ $f$

2) Om är ändlig-dimensionella över ett algebraiskt stängt fält och , då är en multiplikation med något element i fältet . $V_{1}=V_{2}$ $K$ $\sigma=\tau$ $f$ $f:x\till \lambda x$

Bevis

Grunden för beviset är följande allmänna påstående, som också ofta kallas "Schur-lemma":

Låta och vara moduler som är enkla (d.v.s. har inga andra undermoduler än noll och sig själv). Då är all homomorfism antingen noll eller en isomorfism på . $E$ $F$ $f:E\högerpil F$ $F$

I själva verket, eftersom och är undermoduler, då om en icke-noll homomorfism, vi har , och , det vill säga en isomorfism till hela modulen . ${\mathrm {Ker}}\,f$ ${\mathrm {Im}}\,f$ $f$ ${\mathrm {Ker}}\,f=0$ ${\mathrm {Im}}\,f=F$ $f$ $F$

Låt oss nu definiera gruppringen . Elementen i denna ring kommer att vara linjära kombinationer . Multiplikationen bestäms vidare av linjäritet. Det är klart att ringen. På utrymmet definierar vi multiplikationen av ett element från med ett element : . Således förvandlas vi till en modul över ringen . Att kontrollera axiomen för en modul är trivialt, eftersom är en representation. på samma sätt kommer att ersätta med en modul över , och likheten är att mappningen är en homomorfism av moduler. Eftersom och är irreducible, vilket betyder att och är enkla som moduler över , är den första delen av lemma bevisad. $K[G]$ $k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n}$ $(k_{1}g_{1})(k_{2}g_{2})=(k_{1}k_{2})(g_{1}g_{2})$ $K[G]$ $V_{1}$ $K[G]$ $x\in V_{1}$ $(k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n})x=k_{1}\sigma _{{g_{1}}}x +k_{2}\sigma _{{g_{2}}}x+...+k_{n}\sigma _{{g_{n}}}x$ $V_{1}$ $K[G]$ $\sigma$ $V_{2}$ $\sigma$ $\tau$ $K[G]$ $\tau _{g}f=f\sigma _{g}$ $f$ $\sigma$ $\tau$ $V_{1}$ $V_{2}$ $K[G]$

För att bevisa den andra delen använder vi det välkända uttalandet av linjär algebra om förekomsten av en egenvektor för ett ändligt dimensionellt utrymme över ett algebraiskt slutet fält som motsvarar egenvärdet , . För alla element vi har , och för egenvektorn , är därför , enligt den första delen av lemma, en nollhomomorfism, och är därför en multiplikation med några . $x\neq 0$ $\lambda$ $f(x)=\lambda x$ $g\in G$ $\sigma _{g}(f-\lambda \operatörsnamn {id})=(f-\lambda \operatörsnamn {id})\sigma _{g}$ $(f-\lambda \operatörsnamn {id} )(x)=0,$ $f-\lambda \operatörsnamn {id}$ $f$ $\lambda$

Litteratur

Kostrikin A.I. Introduktion till algebra. Del III. Grundläggande strukturer. - 3:e upplagan - M . : FIZMATLIT, 2004.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.
Serre J.-P. Linjära representationer av ändliga grupper. — M .: Mir, 1969.