Gruppring

En gruppring är en ring som samtidigt är en fri modul som kan konstrueras av en given ring och en given grupp . Informellt sett är en gruppring en fri modul över en ring vars bas är i bijektiv överensstämmelse med gruppens element ; multiplikationen av baselementen definieras som multiplikationen av elementen i gruppen, och multiplikationen "sträcker sig längs med" linjäritet" till de återstående elementen. $K[G]$ $K,$ $g,$

Apparaten för gruppringar är särskilt användbar i grupprepresentationsteori .

Definition

Låt vara en ring och låt vara en grupp. Sedan är en gruppring en uppsättning ändliga formella summor av formen , som adderas och multipliceras enligt följande: $K$ $G$ $K[G]$ $\alpha =\summa _{{g\in G}}a_{g}g,\quad a_{g}\in K$

Om , då $\alpha =\summa _{{g\in G}}a_{g}g,\ \beta =\summa _{{g\in G}}b_{g}g$

\alpha +\beta =\summa _{{g\in G}}(a_{g}+b_{g})g

\alpha \cdot \beta =\summa _{{g\in G}}\left(\summa _{{xy=g, \atop x,y\in G}}a_{x}b_{y}\right )g

Egenskaper

Om och är kommutativa, så är det kommutativa. $K$ $G$ $K[G]$
Om det är en ring med enhet, så är det en ring med enhet. $K$ $K[G]$
Inbäddningen i utgör grunden för gruppringen. $G$ $K[G]$
Om är en undergrupp av , då är en underring av ringen . $H$ $G$ $K[H]$ $K[G]$
Låt är ett fält , då kan varje element associeras med en linjär transformation av vektorrummet - multiplikation med motsvarande basvektor till vänster. Denna mappning anger den vanliga representationen av gruppen . $K$ $G$ $K[G]$

Litteratur

B.L. van der Waerden. Algebra. — M .: Nauka, 1976.
Naimark M. Teori om representationer av grupper. — M .: Nauka, 1976.