En Johnson-polyeder eller en Johnson-kropp är en konvex polyeder , vars varje vända mot är en regelbunden polygon , och samtidigt är det varken ett platoniskt fast eller arkimediskt fast material, eller ett prisma , eller ett antiprisma . Det finns 92 Johnson-kroppar totalt.
Ett exempel på en Johnson-kropp är en pyramid med en kvadratisk bas och sidor i form av regelbundna trianglar ( J 1 (M 2 ) . Den har 1 kvadratisk yta och 4 triangulära.
Som i alla strikt konvexa kroppar har dessa polyedrar minst tre ytor intill varje vertex och summan av deras vinklar (intill vertexen) är mindre än 360º. Eftersom vanliga polygoner har vinklar på minst 60º, kan maximalt fem ytor röra vid en vertex. Den femkantiga pyramiden ( J 2 ) är ett exempel som har en vertex av ordningen fem (det vill säga med fem ytor).
Även om det inte finns några explicita begränsningar för de vanliga polygonerna som kan fungera som ytor av Johnson solids, i själva verket kan ytor bara ha 3, 4, 5, 6, 8 eller 10 sidor, och alla Johnson solids har triangulära ytor (minst. fyra).
Av Johnson solids är den långsträckta fyrlutande roterade bikupolen ( J 37 ), som också kallas pseudorhombicuboctahedron [1] , den enda som har egenskapen lokal vertexenhetlighet - det finns 4 ytor vid varje vertex och deras arrangemang är densamma - 3 rutor och 1 triangel. Kroppen är dock inte vertextransitiv, eftersom den har olika isometrier vid olika hörn, vilket gör den till en Johnson-kropp och inte en arkimedeansk kropp .
1966 publicerade Norman Johnson en lista som inkluderade alla 92 kroppar och gav dem namn och nummer. Han antog att det bara finns 92 av dem, det vill säga att det inte finns några andra.
Tidigare, 1946, skickade L. N. Esaulova ett brev till A. D. Aleksandrov , där hon bevisade att endast ett ändligt antal reguljära polyedrar (förutom 5 reguljära polyedrar, 13 semi-reguljära och två oändliga serier (prismor och antiprismor) kan existera. 1961 Aleksandrov gav detta brev till V. A. Zalgaller, möjligen på grund av Johnsons anteckning från 1960 [2] .
1967 publicerade Victor Zalgaller bevis på att Johnsons lista var komplett. En grupp skolelever från skola nr 239 var inblandade i beslutet . Det fullständiga beviset tog cirka 4 år med inblandning av datorteknik . Beviset gjorde också betydande användning av Aleksandrovs konvexa polyedrarsats .
Namnen på Johnsons kroppar har en stor beskrivande kraft. De flesta av dessa fasta ämnen kan byggas från flera fasta ämnen ( pyramider , kupoler och rotundor ) genom att lägga till platoniska och arkimediska fasta ämnen, prismor och antiprismor .
De tre sista operationerna, inkrementera , trunkera och rotera , kan utföras mer än en gång på tillräckligt stora polyedrar. För operationer som utförs två gånger, läggs till två gånger . ( En kropp som är två gånger vriden har två svarvade kupoler.) För operationer som utförs tre gånger, lägg till tre gånger . ( Tre pyramider eller kupoler har tagits bort från den tre gånger avskurna kroppen.)
Ibland räcker inte ordet två gånger . Det är nödvändigt att särskilja kroppar där två motsatta ytor har modifierats från kroppar där andra ytor har modifierats. När modifierade ytor är parallella läggs motsatsen till i namnet . ( En dubbelt motsatt utsträckt kropp har två parallella ytor (motsatta) med tillagda kroppar.) Om ändringarna gäller ytor som inte är motsatta läggs sned till namnet . ( En dubbelt sned kropp har två ansikten med tillagda kroppar, men ansiktena är inte motsatta.)
Flera namn kommer från polygonerna som Johnsons kropp är sammansatt av.
Om en månad definieras som en grupp av två trianglar fästa vid en kvadrat, motsvarar ordet kilkrona en kilformad kronliknande grupp som bildas av två månader. Ordet två -klinoid eller två- klinik betyder två sådana grupper.Den här artikeln använder titlarna från Zalgallers tidning [3] . Tillsammans med de polyedertal som Johnson angett anges sammansättningsnumret från Zalgallers artikel inom parentes. I detta sammansatta nummer
P n betecknar ett prisma med en n -gonal bas. Och n betecknar ett antiprisma med en n -gonal bas. M n betecknar en kropp med index n (det vill säga i det här fallet är kroppen byggd på basis av en annan kropp). Underlinje betyder rotation av kroppenObs : M n är inte samma sak som J n . Sålunda har den kvadratiska pyramiden J 1 (M 2 ) index 1 för Johnson och index 2 för Zalgaller.
De två första Johnson-kropparna, J 1 och J 2 , är pyramider . Den triangulära pyramiden är en vanlig tetraeder , så det är inte ett Johnson-fast ämne.
| korrekt | J 1 (M 2 ) | J 2 (M 3 ) |
|---|---|---|
| Triangulär pyramid ( tetraeder ) |
fyrkantig pyramid | Pentagonal pyramid |
De nästa fyra polyedrarna är tre kupoler och en rotunda .
| Kupoler | Rotundor | |||
|---|---|---|---|---|
| Homogen | J 3 (M 4 ) | J 4 (M 5 ) | J 5 (M 6 ) | J 6 (M 9 ) |
| trekantsprisma | Tri-slope kupol | Fyrkantig kupol | fem sluttningar kupol | fem sluttningar rotunda |
| Besläktade enhetliga polyedrar | ||||
| Cuboctahedron | Rhombicuboctahedron | Rhombicosidodecahedron | icosidodecahedron | |
Följande fem Johnson-polyedrar är långsträckta och vridna långsträckta pyramider. De representerar limningen av två polyedrar. I fallet med en vridningsförlängd triangulär pyramid är tre par intilliggande trianglar i samma plan, så kroppen är inte en Johnson-polyeder.
| Långsträckta pyramider (eller förlängda prismor) |
Vridna långsträckta pyramider (eller förstärkta antiprismor) | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J 7 (M 1 + P 3 ) | J 8 (M 2 + P 4 ) | J 9 (M 3 + P 5 ) | i samma plan | J 10 (M 2 + A 4 ) | J 11 (M 3 + A 5 ) |
| Långsträckt triangulär pyramid | Långsträckt fyrkantig pyramid | Långsträckt femkantig pyramid | Vriden långsträckt triangulär pyramid | Vriden långsträckt fyrkantig pyramid | Vriden långsträckt femkantig pyramid |
| Förlängt triangulärt prisma | förstärkt kub | Förlängt femkantigt prisma | förstärkt oktaeder | Förstärkt fyrkantig antiprisma | Förlängd femkantig antiprisma |
| Kommer från polyedrar | |||||
| tetrahedron triangulärt prisma |
fyrkantig pyramidkub |
Pentagonal pyramid femkantig prisma |
tetraeder oktaeder |
Fyrkantig pyramid fyrkantig antiprisma |
pentagonal pyramid femkantig antiprisma |
Följande Johnson-polyedrar är bipyramider , långsträckta bipyramider och tvinnade långsträckta bipyramider :
| Bipyramider | Avlånga bipyramider | Vridna långsträckta bipyramider | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J 12 (2M 1 ) | Korrekt | J 13 (2M 3 ) | J14 ( M1 + P3 + M1 ) _ | J15 ( M2 + P4 + M2 ) _ | J 16 (M 3 + P 5 + M 3 ) | i samma plan | J 17 (M 2 + A 4 + M 2 ) | korrekt |
| triangulär bipyramid | fyrkantig bipyramid ( oktaeder ) |
Pentagonal bipyramid | Långsträckt triangulär bipyramid | Långsträckt fyrkantig bipyramid | Långsträckt femkantig bipyramid | Vriden långsträckt triangulär bipyramid ( rhombohedron ) |
Vriden långsträckt fyrkantig bipyramid | Vriden långsträckt femkantig bipyramid ( ikosaeder ) |
| Kommer från polyedrar | ||||||||
| tetraeder | fyrkantig pyramid | Pentagonal pyramid | tetrahedron triangulärt prisma |
fyrkantig pyramidkub |
Pentagonal pyramid femkantig prisma |
tetraeder oktaeder |
Fyrkantig pyramid Fyrkantig antiprisma |
Pentagonal pyramid Pentagonal antiprisma |
| Förlängda kupoler | Långsträckt rotunda | Vridna långsträckta kupoler | Vriden långsträckt rotunda | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| i samma plan | J 18 (M 4 + P 6 ) | J 19 (M 5 + P 8 ) | J 20 (M 6 + P 10 ) | J 21 (M 9 + P 10 ) | Konkav | J 22 (M 4 + A 6 ) | J 23 (M 5 + A 8 ) | J 24 (M 6 + A 10 ) | J 25 (M 9 + A 10 ) |
| Förlängd gavelkupol | Långsträckt triangulär kupol | Förlängd höftkupol | Förlängd femsidig kupol | Långsträckt rotunda med fem lutning | Vriden långsträckt gavelkupol | Vriden långsträckt triangulär kupol | Vriden långsträckt fyrkantig kupol | Vriden långsträckt kupol med fem höjdpunkter | Vriden långsträckt femlutningsrotunda |
| Kommer från polyedrar | |||||||||
| Fyrkantigt prisma Triangulärt prisma |
Sexkantigt prisma |
Åttakantigt prisma |
Dekagonalt prisma Femsidig kupol |
Dekagonalt prisma |
Fyrkantigt antiprisma Triangulärt prisma |
Hexagonal antiprisma |
Octagonal antiprism Fyrkantig kupol |
Decagonal antiprism Kupol med fem lutning |
Decagonal antiprism Femsidig rotunda |
Roterade triangulära bikupoler är halvregelbundna polyedrar (i detta fall arkimedeiska fasta ämnen ), så de tillhör inte Johnson-polytopklassen.
| raka kupoler | Roterade kupoler | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| i samma plan | J 27 (2M 4 ) | J 28 (2M 5 ) | J 30 (2M 6 ) | J 26 (P 3 + P 3 ) | halvkorrekt | J 29 (M 5 + M 5 ) | J 31 (M 6 + M 6 ) |
| Gavel rak bi-dome | Tre lutning rak bi-dome | Fyra lutning rak bi-dome | Fem lutning rak bi-dome | Gavel svarvad bikupol ( gyrobifastigium ) |
Triangulär roterad bikupol ( kuboktaeder ) |
Fyra lutning svarvad bi-dome | Fem sluttande bi-dome |
| Kommer från polyedrar | |||||||
| Cupolorotunda | birotundas | ||
|---|---|---|---|
| J 32 (M 6 + M 9 ) | J 33 (M 6 + M 9 ) | J 34 (2M 9 ) | halvkorrekt |
| Fem lutning rak kupol | Fem sluttningar svängd kupol-orotonda | Fem sluttningar raka birotunda | Femsidigt roterad birotunda icosidodecahedron |
| Kommer från polyedrar | |||
| Femlutande kupol Femlutande rotunda |
fem sluttningar rotunda | ||
| Avlånga raka bikupoler | Långsträckta roterade bi-domes | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| i samma plan | J 35 (M 4 + P 6 + M 4 ) | halvkorrekt | J 38 (M 6 + P 10 + M 6 ) | i samma plan | J 36 (M 4 + P 6 + M 4 ) | J 37 (M 5 + P 8 + M 5 ) | J 39 (M 6 + P 10 + M 6 ) |
| Avlång gavel rak bi-kupol | Långsträckt tri-slope rak bi-dome | Långsträckt fyrkantig rak bikupol ( rhombicuboctahedron ) |
Långsträckt femlutande rak bi-dome | Långsträckt dubbellutande roterad bi-dome | Långsträckt tri-slope roterad bi-dome | Långsträckt fyrlutande roterad bi-dome | Långsträckt femlutande svarvad bi-dome |
| långsträckt kupol-orotonda | Avlånga birotunda | ||
|---|---|---|---|
| J 40 (M 6 + P 10 + M 9 ) | J 41 (M 6 + P 10 + M 9 ) | J 42 (M 9 + P 10 + M 9 ) | J 43 (M 9 + P 10 + M 9 ) |
| Långsträckt femlutande rak kupol | Långsträckt kupol med fem lutning | Långsträckt femlutande rak birotunda | Långsträckt femlutningssvängd birotunda |
Följande Johnson-fastämnen har två kirala former.
| Vridna långsträckta bi-domes | Vriden långsträckt kupol | Vriden långsträckt birotunda | |||
|---|---|---|---|---|---|
| icke-konvexa | J 44 (M 4 + A 6 + M 4 ) | J 45 (M 5 + A 8 + M 5 ) | J 46 (M 6 + A 10 + M 6 ) | J 47 (M 6 + A 10 + M 9 ) | J 48 (M 9 + A 10 + M 9 ) |
| Vriden långsträckt gavel bi-kupol | Vriden långsträckt tri-slope bi-dome | Vriden långsträckt fyrkantig bi-dome | Vriden långsträckt femlutande bi-dome | Vriden långsträckt kupol med fem lutning | Vriden långsträckt femlutningsbirotunda |
| Kommer från polyedrar | |||||
| Triangulärt prisma Fyrkantigt antiprisma |
Tri-slope kupol Hexagonal antiprisma |
Fyrkantig kupol Octagonal antiprism |
Fem sluttningar kupol Decagonal antiprism |
Femlutande kupol Femlutande rotunda Dekagonal antiprism |
Fem-lutande rotunda Decagonal antiprism |
| J 7 (M 1 + P 3 ) (upprepade gånger) |
J 49 ( P3 + M2 ) | J 50 (P 3 + 2 M 2 ) | J 51 (P 3 + 3M 2 ) | |
|---|---|---|---|---|
| Långsträckt triangulär pyramid | Förlängt triangulärt prisma | Dubbelt förlängt triangulärt prisma | Trippelförlängt triangulärt prisma | |
| Kommer från polyedrar | ||||
| triangulär prisma tetraeder |
Triangulärt prisma Fyrkantig pyramid | |||
| Förlängda femkantiga prismor | Förlängda hexagonala prismor | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J 52 ( P5 + M2 ) | J 53 (P 5 + 2M 2 ) | J 54 ( P6 + M2 ) | J 55 (M 2 + P 6 + M 2 ) | J 56 (P 6 + 2M 2 ) | J 57 (P 6 + 3M 2 ) |
| Förlängt femkantigt prisma | Dubbelt förlängt femkantigt prisma | Förlängt hexagonalt prisma | Dubbelt motsatt förlängt hexagonalt prisma | Dubbelt snett utdraget sexkantigt prisma | Trippelt förlängt hexagonalt prisma |
| Kommer från polyedrar | |||||
| Femkantigt prisma Fyrkantig pyramid |
Sexkantigt prisma Fyrkantig pyramid | ||||
| Höger | J 58 (M 15 + M 3 ) | J 59 (M 3 + M 15 + M 3 ) | J 60 (M 15 + 2M 3 ) | J 61 (M 15 + 3M 3 ) |
|---|---|---|---|---|
| Dodekaeder | förstärkt dodekaeder | Dodekaedern dubbelt utsträckt | Dodekaedern dubbelt utsträckt | Triple Augmented Dodecahedron |
| Kommer från polyedrar | ||||
| Dodekaeder och femkantig pyramid | ||||
| Höger | J 11 (M 3 + A 5 ) (upprepade gånger) |
J 62 (M 7 + M 3 ) | J 63 (M 7 ) | J 64 (M 7 + M 1 ) |
|---|---|---|---|---|
| icosahedron | Klipp av icosahedron ( tvinnad långsträckt femkantig pyramid ) |
Dubbel snett skuren icosahedron | Trippelskuren icosahedron | Förstärkt triple cut icosahedron |
| Kommer från polyedrar | ||||
| Triple cut icosahedron , femkantig pyramid och tetrahedron | ||||
| J 65 (M 10 + M 4 ) | J 66 (M 11 + M 5 ) | J 67 (M 5 + M 11 + M 5 ) |
|---|---|---|
| Förstärkt trunkerad tetraeder | Förstärkt trunkerad kub | Dubbelt förstärkt trunkerad kub |
| Kommer från polyedrar | ||
| Trunkerad tetraeder |
Trunkerad kub | |
| halvkorrekt | J 68 (M 6 + M 12 ) | J 69 (M 6 + M 12 + M 6 ) | J 70 (M 12 + 2M 6 ) | J 71 (M 12 + 3M 6 ) |
|---|---|---|---|---|
| stympad dodekaeder | Förstärkt stympad dodekaeder | Dodekaeder stympad dodekaeder dubbelt utsträckt | Dodekaeder dodekaeder | Triple-Augmented Trunkated Dodecahedron |
| J 72 ( M 6 + M 14 + M 6 = M 6 + M 13 + 2M 6 ) | J 73 ( M 6 + M 14 + M 6 ) | J 74 (2 M 6 + M 13 + M 6 ) | J 75 (3 M 6 + M 13 ) |
|---|---|---|---|
| Vriden rhombicosidodecahedron | Dubbelt vriden rhombicosidodecahedron | Dubbelt vriden rhombicosidodecahedron | Tri-twisted rhombicosidodecahedron |
| J 76 ( M6 + M14 = 2M6 + M13 ) | J 77 (M 14 + M 6 ) | J 78 (M 13 + M 6 + M 6 ) | J 79 (M 13 +2 M 6 ) |
|---|---|---|---|
| Skär av rhombicosidodecahedron | Motsatt vriden stympad rhombicosidodecahedron | Snett vriden stympad rhombicosidodecahedron | Dubbelt vriden stympad rhombicosidodecahedron |
| J 80 (M 14 ) | J 81 (M 13 + M 6 ) | J 82 (M 14 + M 6 ) | J 83 (M 13 ) |
| Dubbelt motsatt skuren rhombicosidodecahedron | Den två gånger snett skurna rhombicosidodecahedronen | Vriden dubbelskuren rhombicosidodecahedron | Tredelad rhombicosidodecahedron |
Snub antiprismor kan konstrueras genom att ändra trunkerade antiprismor. Två kroppar är Johnson polyhedra, en kropp är regelbunden, och resten kan inte byggas med vanliga trianglar.
| J 84 (M 25 ) | Höger | J 85 (M 28 ) | Fel |
|---|---|---|---|
| Johnsons kropp | Höger | Johnsons kropp | Konkav |
Snub biklinoid ss{2,4} |
icosahedron ss{2,6} |
Snub square antiprism ss{2,8} |
ss{2,10} |
| omöjligt att bygga från vanliga trianglar |
| J 86 (M 22 ) | J 87 (M 22 + M 3 ) | J 88 (M 23 ) | |
|---|---|---|---|
| kilkrona | Förlängd kilkrona | Stor kilkrona | |
| J 89 (M 21 ) | J 90 (M 24 ) | J 91 (M 8 ) | J 92 (M 20 ) |
| Tillplattad stor kilkrona | Biclinic med bälte | Dubbel Serporotonda | Tillplattad triangulär clinorohonde |
De fem Johnson-polyedrarna är deltaedrar , vilket betyder att alla deras ansikten är regelbundna trianglar:
| J 12 (2M 1 ) Triangulär bipyramid J 13 (2M 3 ) Pentagonal bipyramid J 17 (M 2 + A 4 + M 2 ) Vriden långsträckt fyrkantig bipyramid | J 51 (P 3 + 3M 2 ) Trippelt förlängt triangulärt prisma J 84 (M 25 ) Plattnosig tvåklinoid |
Tjugofyra Johnson-polytoper har bara triangulära och fyrsidiga ytor:
Elva Johnson solids har bara triangulära och femkantiga ytor:
|
J 2 (M 3 ) Pentagonal pyramid J 11 (M 3 + A 5 ) Vriden långsträckt femkantig pyramid J 34 (2M 9 ) Fem sluttningar raka birotunda J 48 (M 9 + A 10 + M 9 ) Vriden långsträckt femlutande birotunda J 58 (P 15 + M 3 ) Förlängd dodekaeder J 59 (M 3 + M 15 + M 3 ) Dodekaeder fördubblats motsatt |
J 60 (M 15 + 2M 3 ) Dodecahedron dubblerad snett J 61 (M 15 + 2M 3 ) Trippel förlängd dodekaeder J 62 (M 7 + M 3 ) Dubbelt snett skuren ikosaeder J 63 (M 7 ) Tre gånger skuren ikosaeder J 64 (M 7 + M 1 ) Förlängd trippelskuren icosahedron |
De åtta Johnson-polyedrarna har bara triangulära, kvadratiska och sexkantiga ytor:
|
J 3 (M 4 ) Trehårig kupol J 18 (M 4 + P 6 ) Långsträckt tri-slope kupol J 22 (M 4 + A 6 ) Vriden långsträckt kupol med tre sluttningar J 54 (P 6 + M 2 ) Förlängt hexagonalt prisma |
J 55 (M 2 + P 6 + M 2 ) Dubbelt motsatt förlängt hexagonalt prisma J 56 (P 6 +2M 2 ) Dubbelt snett utdraget hexagonalt prisma J 57 (P 6 + 3M 2 ) Trippelt förlängt hexagonalt prisma J 65 (M 10 + M 4 ) Förlängd trunkerad tetraeder |
De fem Johnson-polyedrarna har bara triangulära, fyrkantiga och åttakantiga ytor:
|
J 4 (M 5 ) Fyrkantig kupol J 19 (M 5 + P 8 ) Långsträckt fyrkantig kupol J 23 (M 5 + A 8 ) Vriden långsträckt fyrkantig kupol |
J 66 (M 11 + M 5 ) Förlängd trunkerad kub J 67 (M 5 + M 11 + M 5 ) Dubbelt förlängd trunkerad kub |
25 Johnson-polytoper har hörn som ligger på samma sfär: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Alla dessa polyedrar kan erhållas från vanliga eller enhetliga polyedrar genom rotation (kupol) eller skärning (kupol eller pyramid) [4] .
| Oktaeder | Cuboctahedron | Rhombicuboctahedron | |||
|---|---|---|---|---|---|
| J 1 (M 2 ) |
J 3 (M 4 ) |
J 27 (2M 4 ) |
J 4 (M 5 ) |
J 19 (M 5 + P 8 ) |
J 37 (M 5 + P 8 + M 5 ) |
| icosahedron | icosidodecahedron | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J 2 (M 3 ) |
J 63 (M 7 ) |
J 62 (M 7 + M 3 ) |
J 11 (M 3 + A 5 ) |
J 6 (M 9 ) |
J 34 (2M 9 ) |
| J 5 (M 6 ) |
J 76 (M 6 + M 14 ) |
J 80 (M 14 ) |
J 81 (M 13 + M 6 ) |
J 83 (M 13 ) |