Pyramid (geometri)
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 september 2022; kontroller kräver 3 redigeringar .Pyramid (från annan grekisk πυραμίς , släktet p. πυραμίδος ) är en polyeder , vars ena ytor (kallad bas ) är en godtycklig polygon , och de återstående ytorna (kallade sidoytorna som har a ) är trianglar [1] ] . Enligt antalet basvinklar är pyramiderna triangulära ( tetraeder ), fyrkantiga etc. Pyramiden är ett specialfall av en kon [2] .
Historien om utvecklingen av pyramiden i geometri
Början av pyramidens geometri lades i det gamla Egypten och Babylon , men den utvecklades aktivt i antikens Grekland . Pyramidens volym var känd för de gamla egyptierna. Den första grekiska matematikern som fastställde pyramidens volym var Demokrit [3] , och Eudoxus från Cnidus bevisade det . Den antika grekiske matematikern Euklid systematiserade kunskap om pyramiden i volymen XII av hans "Begynnelser" och tog också fram den första definitionen av pyramiden: en solid figur avgränsad av plan som konvergerar från ett plan vid en punkt (bok XI, definition 12 [4] ).
Element i pyramiden
- toppen av pyramiden är en gemensam punkt på sidoytorna som inte ligger i basens plan;
- bas - ett ansikte som inte tillhör toppen av pyramiden;
- sidoytor - triangulära ytor som konvergerar i toppen;
- sidokanter - kanter som är sidor av två sidoytor (och följaktligen inte är sidor av basen);
- höjden på pyramiden är vinkelrät från toppen av pyramiden till dess bas;
- apotem - höjden på sidoytan på en vanlig pyramid , ritad från dess topp;
- diagonal sektion av en pyramid - en sektion av en pyramid som passerar genom dess topp och diagonal av basen.
Pyramid utspelar sig
En utveckling är en platt figur som erhålls genom att kombinera ytan på en geometrisk kropp med ett plan (utan att lägga ytor eller andra ytelement ovanpå varandra). För att börja studera ytutvecklingen är det tillrådligt att betrakta den senare som en flexibel, outtöjbar film. Vissa av ytorna som presenteras på detta sätt kan kombineras med ett plan genom bockning. Dessutom, om ett ytfack kan kombineras med ett plan utan brott och limning, kallas en sådan yta utvikning, och den resulterande platta figuren kallas dess utvikning.
Egenskaper
Om alla sidokanter är lika , då:
- en cirkel kan beskrivas runt basen av pyramiden, och toppen av pyramiden projiceras in i dess centrum;
- laterala ribbor bildar lika vinklar med basplanet;
- motsatsen är också sant, det vill säga om sidokanterna bildar lika vinklar med basplanet, eller om en cirkel kan beskrivas nära pyramidens bas, och toppen av pyramiden projiceras in i dess centrum, då alla sidokanterna på pyramiden är lika.
Om sidoytorna lutar mot basplanet i en vinkel , då:
- en cirkel kan inskrivas vid basen av pyramiden, och toppen av pyramiden projiceras in i dess mitt;
- höjderna på sidoytorna är lika;
- arean på sidoytan är lika med hälften av produkten av basens omkrets och höjden på sidoytan.
Satser som relaterar pyramiden till andra geometriska fasta ämnen
Sphere
- en sfär kan beskrivas nära pyramiden när vid basen av pyramiden ligger en polygon, runt vilken en cirkel kan beskrivas (ett nödvändigt och tillräckligt villkor) [5] . Sfärens centrum kommer att vara skärningspunkten för planen som passerar genom mittpunkterna på pyramidens kanter vinkelrätt mot dem. Det följer av denna sats att en sfär kan beskrivas både om vilken triangulär som helst och om vilken regelbunden pyramid som helst;
- en sfär kan inskrivas i en pyramid när halvledarplanen för pyramidens inre dihedrala vinklar skär varandra vid en punkt ( nödvändigt och tillräckligt villkor ). Denna punkt kommer att vara mitten av sfären.
Cone
- En kon kallas inskriven i en pyramid om deras hörn sammanfaller och dess bas är inskriven i pyramidens bas. Dessutom är det möjligt att inskriva en kon i en pyramid endast när pyramidens apotemer är lika med varandra (ett nödvändigt och tillräckligt villkor); [6]
- En kon kallas inskriven nära pyramiden när deras hörn sammanfaller och dess bas är inskriven nära pyramidens bas. Dessutom är det möjligt att beskriva konen nära pyramiden endast när alla sidokanter av pyramiden är lika med varandra (ett nödvändigt och tillräckligt villkor);
- Höjden på sådana koner och pyramider är lika med varandra.
Cylinder
- En cylinder kallas inskriven i en pyramid om en av dess baser sammanfaller med omkretsen av ett plan inskrivet i sektionen av pyramiden, parallellt med basen, och den andra basen tillhör pyramidens bas.
- En cylinder kallas inskriven nära pyramiden om toppen av pyramiden tillhör en av dess baser, och dess andra bas är inskriven nära pyramidens bas. Dessutom är det möjligt att beskriva en cylinder nära pyramiden endast när det finns en inskriven polygon vid basen av pyramiden (ett nödvändigt och tillräckligt villkor).
Pyramidformler
- Pyramidens volym kan beräknas med formeln:
- Dessutom kan volymen av en triangulär pyramid (tetraeder) beräknas med formeln [8] :
- Sidoytan är summan av ytorna på sidoytorna:
- Den totala ytan är summan av den laterala ytan och basarean:
- För att hitta den laterala ytan i en vanlig pyramid kan du använda formlerna:
Specialfall av pyramiden
Rätt pyramid
En pyramid kallas regelbunden om dess bas är en regelbunden polygon , och vertexet projiceras in i mitten av basen. Då har den följande egenskaper:
- sidokanterna på en vanlig pyramid är lika;
- i en vanlig pyramid är alla sidoytor kongruenta likbenta trianglar;
- i vilken vanlig pyramid som helst kan du både skriva in och beskriva en sfär runt den;
- om mitten av de inskrivna och omskrivna sfärerna sammanfaller, då är summan av de plana vinklarna i toppen av pyramiden , och var och en av dem, respektive , , där n är antalet sidor av baspolygonen [9] ;
- arean av den laterala ytan av en vanlig pyramid är lika med hälften av produkten av omkretsen av basen och apotem.
Rektangulär pyramid
En pyramid kallas rektangulär om en av pyramidens sidokanter är vinkelrät mot basen. I det här fallet är denna kant höjden på pyramiden.
Tetrahedron
En triangulär pyramid kallas en tetraeder. I en tetraeder kan vilken som helst av ansiktena tas som basen i pyramiden. Dessutom finns det en stor skillnad mellan begreppen "vanlig triangulär pyramid" och " vanlig tetraeder ". En vanlig triangulär pyramid är en pyramid med en regelbunden triangel vid basen (ytorna måste vara likbenta trianglar). En vanlig tetraeder är en tetraeder där alla ytor är liksidiga trianglar.
Se även
Anteckningar
- ↑ Aleksandrov A. D., Werner A. L. Geometry. Lärobok för årskurs 10-11 av läroanstalter. - 2:a uppl. - M . : Education, 2003. - 271 sid. — ISBN 5-09-010773-4 .
- ↑ Matematik i begrepp, definitioner och termer. Del 1. En guide för lärare. Ed. L. V. Sabinina. M., Utbildning, 1978. 320 sid. S. 253.
- ↑ B. L. van der Waerden. Uppvaknande vetenskap. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland. - 3:e uppl. - M . : KomKniga, 2007. - 456 sid. - ISBN 978-5-484-00848-3 .
- ↑ M.E. Vashchenko-Zakharchenko . Euklids början, med en förklarande inledning och kommentar . - Kiev, 1880. - S. 473. - 749 sid.
- ↑ Saakyan S. M., Butuzov V. F. Att studera geometri i årskurs 10-11: en bok för läraren. - 4:e uppl., reviderad .. - M . : Education, 2010. - 248 sid. — (Matematik och datavetenskap). - ISBN 978-5-09-016554-9 .
- ↑ Pogorelov A. V. Geometry: En lärobok för årskurserna 10-11 på utbildningsinstitutioner. - 8:e uppl. - M . : Utbildning, 2008. - 175 sid. — 60 000 exemplar. — ISBN 978-5-09-019708-3 .
- ↑ Geometri enligt Kiselyov Arkiverad 1 mars 2021 på Wayback Machine , §357 .
- ↑ Kushnir I. A. Skolgeometrins triumf. - K . : Vår timme, 2005. - 432 sid. - ISBN 966-8174-01-1 .
- ↑ Gotman E. Egenskaper för en vanlig pyramid inskriven i en sfär Arkiverad 22 januari 2012 på Wayback Machine // Kvant. - 1998. - Nr 4.
Litteratur
- Alexandrov A. D., Werner A. L. Geometry. Lärobok för årskurs 10-11 av läroanstalter. - 2:a uppl. - M . : Education, 2003. - 271 sid. — ISBN 5-09-010773-4 .
- Kalinin A. Yu., Tereshin D. A. Stereometry. Årskurs 11. - 2:a uppl. - M . : Fizmatkniga, 2005. - 332 sid. — ISBN 5-89155-134-9 .
- A. P. Kiselev, Geometry enligt Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
- Pogorelov A. V. Geometry: En lärobok för årskurs 10-11 på utbildningsinstitutioner. - 8:e uppl. - M . : Utbildning, 2008. - 175 sid. — 60 000 exemplar. — ISBN 978-5-09-019708-3 .
Länkar
- Pappersmodeller av pyramiderna Arkiverade 4 januari 2010 på Wayback Machine
- "Början" av Euklid .
 Ordböcker och uppslagsverk |
|
|---|---|
| I bibliografiska kataloger |