Kupol (geometri)
| Pentagonal kupol (exempel) | |
|---|---|
| Sorts | Många kupoler |
| Schläfli symbol | { n } || t{ n } |
| ansikten | n trianglar , n kvadrater , 1 n - gon , 1 2 n - gon |
| revben | 5n _ |
| Toppar | 3n _ |
| Symmetrigrupp | C n v , [1, n ], (* nn ), ordning 2n |
| Rotationsgrupp | C n , [1, n ] + , ( nn ), ordning n |
| Dubbel polyeder | ? |
| Egenskaper | konvex |
En kupol är en kropp som bildas genom att sammanfoga två polygoner , där den ena (basen) har dubbelt så många sidor som den andra (översidan). Polygoner är förbundna med likbenta trianglar och rektanglar . Om trianglarna är regelbundna och rektanglarna är kvadrater , medan basen och vertexen är regelbundna polygoner , är kupolen en Johnson-polyeder . Dessa kupoler, tre- , fyr- och femlutande , kan erhållas genom att ta sektioner av cuboctahedron , rhombicuboctahedron och rhombicosidodecahedron , respektive.
Kupolen kan ses som ett prisma , där en av polygonerna är halvt sammandragna genom att sammanfoga hörnen i par.
Kupolen kan tilldelas den utökade Schläfli-symbolen { n } || t{ n } representerar en vanlig polygon {n} kopplad till dess parallella trunkerade kopia, t{n} eller {2n}.
Kupoler är en underklass av prismatoider .
Exempel
| n | 2 | 3 | fyra | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| namn | {2} || t{2} | {3} || t{3} | {4} || t{4} | {5} || t{5} | {6} || t{6} |
| Kupol | Diagonal kupol |
Tri-slope kupol |
Fyrkantig kupol |
fem sluttningar kupol |
Sexkantig kupol (platt) |
| Besläktade enhetliga polyedrar |
trekantsprisma   
|
Cuboctahedron
|
Rombikuboktaeder _ 
|
Rhombicos dodekaeder 
|
Rhombotry - hexagonal mosaik 
|
De tre polyedrarna som nämns ovan är icke-triviala konvexa kupoler med regelbundna ansikten. En " hexagonal kupol" är en platt figur, och ett triangulärt prisma kan betraktas som en "kupol" av grad 2 (kupolen av ett segment och en kvadrat). Kupoler med många polygonsidor kan dock endast byggas med oregelbundna triangulära och rektangulära ytor.
Vertexkoordinater
Definitionen av en kupol kräver inte korrektheten av basen och toppytan, men det är bekvämt att överväga fall där kupoler har maximal symmetri, C n v . I det här fallet är toppytan en vanlig n -gon, medan basen är en vanlig 2n -gon, eller en 2n -gon med två olika sidolängder (till en) och samma vinklar som en vanlig 2n -gon . Det är lämpligt att placera kupolen i koordinatsystemet så att dess bas ligger i xy- planet med den övre ytan parallell med detta plan. Z - axeln är en symmetriaxel av ordningen n , spegelplanen passerar genom denna axel och delar basens sidor. De delar också sidorna eller hörnen av den övre ytan, eller båda. (Om n är jämnt delar hälften av speglarna sidorna och hälften av hörnen. Om n är udda delar varje spegel en sida och ett hörn av den övre ytan.) Vi numrerar basens hörn med siffror från V 1 till V 2 n , och hörn av de övre sidorna - talen från V 2 n +1 till V 3 n . Hönskoordinaterna kan sedan skrivas på följande sätt:
- V 2 j −1 : ( r b cos[2π( j − 1) / n + α], r b sin[2π( j − 1) / n + α], 0)
- V 2 j : ( r b cos(2π j / n − α), r b sin(2π j / n − α), 0)
- V 2 n + j : ( r t cos(π j / n ), r t sin(π j / n ), h ),
där j = 1, 2, …, n .
Eftersom polygonerna V 1 V 2 V 2 n +2 V 2 n +1 , etc. är rektanglar, finns det begränsningar för värdena på r b , r t och α. Avstånd V 1 V 2 är
r b {[cos(2π / n − α) − cos α] 2 + [sin(2π / n − α) − sin α] 2 } 1 ⁄ 2 = r b {[cos 2 (2π / n − α) − 2cos(2π / n − α)cos α + cos 2 α] + [sin 2 (2π / n − α) − 2sin(2π / n − α) sin α + sin 2 α]} 1 ⁄ 2 = r b {2[1 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α)sin α]} 1 ⁄ 2 = r b {2[1 − cos(2π / n − 2α)]} 1 ⁄ 2och avståndet V2n + 1 V2n + 2 är _
r t {[cos(π / n ) − 1] 2 + sin 2 (π / n )} 1 ⁄ 2 = r t {[cos 2 (π / n ) − 2cos(π / n ) + 1] + sin 2 (π / n )} 1 ⁄ 2 = r t {2[1 − cos(π / n )]} 1 ⁄ 2 .De måste vara lika, så om denna gemensamma kant har längden s ,
r b = s / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]} 1 ⁄ 2 r t = s / {2[1 − cos(π / n )]} 1 ⁄ 2Och dessa värden bör ersättas med ovanstående formler för hörn.
Stjärnkupoler
| n / d | fyra | 5 | 7 | åtta |
|---|---|---|---|---|
| 3 | {4/3} |
{5/3} |
{7/3} |
{8/3} |
| 5 | — | — | {7/5} |
{8/5} |
| n / d | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|
| 2 | Korsad triangulär kupol |
pentagram kupol |
Heptagram kupol |
| fyra | — | Korsad pentagram kupol |
Korsad heptagramkupol |
Stjärnkupoler finns för alla baser { n / d } där 6/5 < n / d < 6 och d är udda . Vid gränserna förvandlas kupoler till platta figurer. Om d är jämnt blir den nedre basen {2 n / d } degenererad - vi kan bilda en kupol eller halvkupol genom att ta bort denna degenererade yta och låta trianglar och kvadrater ansluta till varandra. I synnerhet kan tetrahemihexaedern betraktas som en {3/2}-kupol. Alla kupoler är orienterade , medan alla kupoler är oorienterade. Om n / d > 2 för en kupol täcker trianglarna och fyrkanterna inte hela basen och ett litet membran finns kvar på basen som precis täcker hålet. Således har {5/2} och {7/2} kupolerna i figuren ovan membran (ej fyllda), medan {5/4} och {7/4} kupolerna inte har det.
Höjden h för kupolen { n / d } eller kupolen ges av formeln . I synnerhet är h = 0 vid gränserna n / d = 6 och n / d = 6/5, och h är maximalt vid n / d = 2 (ett triangulärt prisma där trianglarna är vertikala) [1] [2] .
På bilderna ovan visas stjärnkupolerna i färger för att framhäva deras ansikten - n / d - gon-ytan visas i rött, 2 n / d - gon-ytan visas i gult, rutorna visas i blått och trianglarna är i grönt. Kupoler har röda n / d -kantiga ytor, gula fyrkantiga ytor och triangulära ytor målade blå, medan den andra basen har tagits bort.
Hyperdomes
Hyperdome eller polyedriska kupoler är en familj av konvexa olikformiga fyrdimensionella polyedrar som liknar kupoler. Baserna för varje sådan polyeder är en vanlig polyeder (tredimensionell) och dess förlängning [3] .
Tabellen använder konceptet Segmentochora - en figur som uppfyller följande egenskaper:
1. alla hörn är på samma hypersfär 2. alla hörn är på två parallella hyperplan 3. alla kanter har längd 1Det finns två segmentogoner (segmentogoner) i planet - en vanlig triangel och en kvadrat.
I det tredimensionella rummet inkluderar de pyramider, prismor, antiprismor, kupoler.
| namn | Tetraedrisk kupol | Cubic Dome | Oktaedrisk kupol | Dekaedrisk kupol | Sexkantig mosaikkupol | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Schläfli symbol | {3,3} ∨ rr{3,3} | {4,3} ∨ rr{4,3} | {3,4} ∨ rr{3,4} | {5,3} ∨ rr{5,3} | {6,3} ∨ rr{6,3} | |||||
Segmenterat ansiktsindex [ 3] |
K4.23 | K4.71 | K4.107 | K4.152 | ||||||
| Radie av den omskrivna cirkeln |
ett | sqrt((3+sqrt(2))/2) = 1,485634 |
sqrt(2+sqrt(2)) = 1,847759 |
3+sqrt(5) = 5,236068 |
||||||
| Bild | ||||||||||
| Huvudceller | ||||||||||
| Toppar | 16 | 32 | trettio | 80 | ∞ | |||||
| revben | 42 | 84 | 84 | 210 | ∞ | |||||
| ansikten | 42 | 24 {3} + 18 {4} | 80 | 32 {3} + 48 {4} | 82 | 40 {3} + 42 {4} | 194 | 80 {3} + 90 {4} + 24 {5} | ∞ | |
| celler | 16 | 1 tetraeder 4 triangulära prismor 6 triangulära prismor 4 triangulära prismor 1 cuboctahedron |
28 | 1 kub 6 kvadratiska prismor 12 triangulära prismor 8 triangulära pyramider 1 rhombicuboctahedron |
28 | 1 oktaeder 8 triangulära prismor 12 triangulära prismor 6 fyrkantiga pyramider 1 rhombicuboctahedron |
64 | 1 dodekaeder 12 femkantiga prismor 30 triangulära prismor 20 triangulära pyramider 1 rhombicosidodecahedron |
∞ | 1 hexagonal plattsättning ∞ sexkantig prismor ∞ triangulära prismor ∞ triangulära pyramider 1 rombisk trihexagonal plattsättning |
| Relaterad enhetlig 4- polyedra |
Rankad 5-cell
|
Rankad Tesseract
|
Rankad 24-cell
|
Rankad 120 cell
|
Rankad Hexagonal Mosaic Honeycomb
| |||||
Anteckningar
- ↑ kupoler . Hämtad 18 november 2015. Arkiverad från originalet 3 juni 2021.
- ↑ halvkupoler . Hämtad 18 november 2015. Arkiverad från originalet 13 april 2021.
- ↑ 12 Klitzing, 2000 , s. 139-181.
Litteratur
- NW Johnson . Konvex polyeder med vanliga ansikten // Kanada. J Math. - 1966 .. - Utgåva. 18 . — S. 169–200 .
- Dr. Richard Klitzing. Konvex Segmentochora. — Symmetri: Kultur och vetenskap. - 2000. - T. 11. - S. 139-181.
Länkar
- Weisstein, Eric W. Cupola (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
- Segmentotoper