Skivepitelbiclinoid

Den snubbade biklinoiden eller siamesiska dodekaedern är en tredimensionell konvex polyeder med tolv regelbundna trianglar som ytor . Polyedern är inte regelbunden , eftersom fyra ansikten konvergerar vid vissa hörn , och fem ansikten vid resten. Polyedern är en dodekaeder , en av åtta deltaedrar (konvexa polyedrar med regelbundna triangelytor) och en av 92 Johnson-polyedrar ( icke- likformiga konvexa polyedrar med regelbundna ytor).

Historik och namngivning

Polyedern hette den siamesiska dodekaedern i en artikel av Hans Freudenthal och B. L. Van der Waerden (1947), som först beskrev en uppsättning av åtta konvexa deltaedrar [1] . Det finns andra enkla dodekaedrar , såsom den hexagonala bipyramiden , men endast denna polyeder kan konstrueras med regelbundna ytor.

Bernal kallade polyedern för dodekadeltaeder (tolv deltaeder) [2] , vilket återspeglar det faktum att polyedern är en deltaeder med tolv ytor. Bernal var intresserad av formen på hålen som lämnats av en oregelbunden tät packning av kulor, så han använde en restriktiv definition av deltaedrar, där en deltaeder är en konvex polyeder med triangulära ytor som kan bilda mitten av sfärer med lika stor yta, och tangenter till dessa sfärer bildar kanterna på en polyeder, medan inuti cellen som bildas av ett sådant system av sfärer kan ytterligare en sfär inte placeras på grund av utrymmesbrist. Denna restriktiva definition utesluter triangulära bipyramider (eftersom de bildar två tetraedriska hål snarare än ett hål), femkantiga bipyramider (eftersom pyramidcentrerade sfärer skär varandra så att en sådan kropp inte kan vara i en sfärpackning) och ikosaeder (eftersom de innehåller tillräckligt med utrymme för att rymma sfären). Bernal skrev att snubbiklinoiden är "en vanlig koordination av kalciumatomer i kristallografi " [ 3] .

Namnet snub disphenoid kommer från Norman Johnsons klassificering 1966 av Johnson polyhedra , konvexa polyhedra vars alla ansikten är regelbundna polygoner 4] . I Johnson-klassificeringen har polyedern beteckningen J 84 . Senare bevisade V. A. Zalgaller att Johnsons klassificering var fullständig, men Zalgaller använde andra beteckningar för samma kroppar. I Zalgallers papper betecknas skivepitelbiclinoiden M 25 .

Egenskaper

En snub två-clinoid är vertex-4-connected , i den meningen att fyra hörn måste tas bort så att de återstående hörnen inte bildar en sammankopplad graf. En polytop är en av fyra 4-kopplade enkla vältäckta polytoper, vilket innebär att alla maximalt oberoende vertexuppsättningar har samma storlek. De andra tre polyedrarna med denna egenskap är oktaedern , den femkantiga bipyramiden och en oregelbunden polyeder med 12 hörn och 20 triangulära ytor [5] .

Den snubbade biklinoiden har samma symmetrier som den tetragonala biklinoiden - den har rotationssymmetriaxlar genom 180° genom mittpunkterna på två motsatta sidor, två vinkelräta plan av spegelsymmetri genom dessa axlar och fyra ytterligare symmetrier genom reflektion vinkelräta mot axlarna som följer genom en rotation genom 90° och , eventuellt en annan reflektion parallell med [6] -axeln . Således har polyedern D 2 d antiprismatisk symmetri (symmetrigrupp av ordning 8).

Sfärer som är centrerade vid hörnen av den snubbade tvåklinoiden bildar ett block, som enligt numeriska experiment har minsta möjliga Lennard-Jones potential bland alla block med åtta sfärer [7] .

Upp till symmetrier och parallella översättningar har den snubbade tvåklinoiden fem typer av enkla (inga självkorsningar) slutna geodetik . Det är banor på polyederns yta som inte passerar genom hörn, och som lokalt ser ut som kortaste banor - på en yta är de segment, och när de skär en kant blir vinklarna i ytorna som gränsar till kanten upp till 180°. Ur intuitiv synvinkel måste det elastiska bandet som sträcks runt polyedern sitta kvar - det kan inte göras kortare lokalt. Till exempel skär en av typerna av geodetik de motsatta kanterna av en snubbig tvåklinoid vid deras mittpunkter (där polyederns symmetriaxlar löper) i en vinkel . Den andra typen av geodetik passerar nära skärningspunkten mellan den snubbade tvåklinoiden av ett plan som vinkelrätt delar symmetriaxeln ( polyederns ekvator ) och skär kanterna på åtta trianglar i vinklar och växelvis. Att flytta en geodetik på ytan av en polyeder med en liten mängd (tillräckligt liten för att inte passera genom någon vertex) bevarar egenskapen att vara en geodetisk och bevarar längden på kurvan, så båda exemplen har förskjutna versioner av samma typ som är något mindre symmetrisk. Längden på fem enkla slutna geodetiska delar på en snubbig två-klinoid med enhetskantlängd är

Med undantag för tetraedern, som har oändligt många typer av slutna geodetik, har snubbiclinoid det största antalet geodetiska typer bland deltaedrar [8] .

Byggnad

En snub diclinoid konstrueras, som namnet antyder, genom att applicera snub operationen en tetragonal diclinoid , en polyeder som liknar en vanlig tetrahedron , men med en lägre grad av symmetri.

Skalningsoperationen bildar ett enkelt cykliskt band av trianglar som separerar två motsatta kanter (kanter markerade i rött i figuren) tillsammans med deras intilliggande trianglar. Snub-antiprismor har på liknande sätt ett enkelt cykliskt band av trianglar, men i fallet med snub-antiprismor separerar dessa band två motsatta ytor tillsammans med sina intilliggande trianglar, snarare än två motsatta kanter.

En snub biklinoid kan konstrueras från en kvadratisk antiprisma genom att ersätta var och en av de två kvadratiska ytorna med ett par liksidiga trianglar. Detta är dock ett av de elementära Johnson-fastämnena som inte kan erhållas genom att limma fasta fasta ämnen från arkimedeska och vanligt .

En fysisk modell av en skivepitelbiclinoid kan byggas genom att böja de 12 liksidiga trianglarna ( 12-amonda ) som visas i figuren ovan. Ett alternativt nät utvecklat av John Montroll har färre gropar på gränsen, vilket gör det mer lämpligt för origami [9] .

Koordinater

De åtta hörnen av snub biklinoid kan specificeras i rektangulära koordinater :

där variablerna r , s och t är algebraiska tal , vilket kan beskrivas på följande sätt. Låta

och

Här är q lika med den positiva reella roten av det kubiska polynomet

Sedan

och

Eftersom denna konstruktion innebär att lösa en kubisk ekvation, kan en snub två-clinoid inte konstrueras med en kompass och räta , till skillnad från de andra sju deltaedrarna [10] .

Anteckningar

1. ↑ Freudenthal, van der Waerden, 1947 , sid. 115–121.
2. ↑ Bernal, 1964 .
3. ↑ Bernal, 1964 , sid. 299–322.
4. ↑ Johnson, 1966 , sid. 169–200.
5. ↑ Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010 , sid. 894–912.
6. ↑ Cundy, 1952 , sid. 263–266.
7. ↑ 1 2 Sloane, Hardin, Duff, Conway, 1995 , sid. 237–259.
8. ↑ Lawson, Parish, Traub, Weyhaupt, 2013 , sid. 123–139.
9. ↑ Montroll, 2004 , sid. 38–40.
10. ↑ Hartshorne, 2000 , sid. 457.

Litteratur

• H. Freudenthal , B. L. van d. Waerden . På ett påstående av Euklid // Simon Stevin . - 1947. - T. 25 . — S. 115–121 .
• JD Bernal . The Bakerian Lecture, 1962. The Structure of Liquids // Proceedings of the Royal Society of London . - 1964. - T. 280 , nr. 1382 . — S. 299–322 . — .
• Norman W. Johnson Konvexa polyedrar med regelbundna ansikten //Canadian Journal of Mathematics. - 1966. -T. 18. —S. 169–200. -doi:10.4153/cjm-1966-021-8.
• Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer. På vältäckta trianguleringar. III // Diskret tillämpad matematik . - 2010. - T. 158 , nr. 8 . — S. 894–912 . - doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 .
• H. Martyn Cundy. Deltahedra  // The Mathematical Gazette . - 1952. - T. 36 . — S. 263–266 . - doi : 10.2307/3608204 .
• Kyle A. Lawson, James L. Parish, Cynthia M. Traub, Adam G. Weyhaupt. Färgningsgrafer för att klassificera enkla slutna geodetik på konvexa deltaedrar. // International Journal of Pure and Applied Mathematics. - 2013. - T. 89 , nr. 2 . — S. 123–139 . - doi : 10.12732/ijpam.v89i2.1 .
• John Montroll. En konstellation av Origami Polyhedra. - Dover Publications, Inc., 2004. - S. 38–40. - (Dover Origami Papercraft Series). — ISBN 9780486439587 .
• NJA Sloane , RH Hardin, TDS Duff, JH Conway . Minimalenergikluster av hårda sfärer // Diskret och beräkningsgeometri . - 1995. - T. 14 , nr. 3 . — S. 237–259 . - doi : 10.1007/BF02570704 .
• Robin Hartshorne . Geometri: Euklid och Beyond. - Springer-Verlag, 2000. - S. 457. - (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 9780387986500 .

Länkar

• Weisstein, Eric W. Snub disphenoid  på Wolfram MathWorld .