Vertex (geometri)

En vertex är en punkt där två kurvor , två raka linjer eller två kanter konvergerar. Det följer av denna definition att punkten där två strålar konvergerar och bildar en vinkel , är en vertex, och även hörnpunkterna för polygoner och polyedrar [1] .

Definition

Hörn överst

Spetsen av en vinkel är den punkt där två strålar har sitt ursprung ; där de två segmenten konvergerar; där två linjer skär varandra; där valfri kombination av strålar, linjesegment och linjer som bildar två (rätlinjiga) "sidor" som konvergerar vid en punkt [2] .

Spetsen för en polyeders polyeder

En vertex är en hörnpunkt i en polygon eller polyeder (av vilken dimension som helst), med andra ord dess 0-dimensionella ytor .

I en polygon sägs en vertex vara " konvex " om polygonens inre vinkel är mindre än π radianer (180° är två räta vinklar ). Annars kallas vertexet "konkavt".

Mer allmänt är en vertex av en polytop konvex om skärningen av polytopen med en tillräckligt liten sfär som har vertex som centrum är en konvex figur; annars är spetsen konkav.

Polyederns hörn är kopplade till grafens hörn , eftersom polyedern är en graf vars hörn motsvarar polyederns hörn [3] , och därför kan polyederns graf betraktas som en endimensionell simplicial komplex , vars hörn är grafens hörn. Men i grafteorin kan hörn ha färre än två infallande kanter , vilket vanligtvis inte är tillåtet för geometriska hörn. Det finns också ett samband mellan de geometriska hörnen och kurvans hörn , extrempunkterna för dess krökning - polygonens hörn är i viss mening punkter med oändlig krökning, och om polygonen approximeras av en jämn kurva, punkter med extrem krökning kommer att ligga nära polygonens hörn [4] . Att approximera polygonen med en jämn kurva ger dock ytterligare hörn vid punkter med minimal krökning.

Vertices av plana plattsättningar

Spetsen för en platt plattsättning ( plattsättning ) är den punkt där tre eller flera plattor av plattsättningen [5] möts , men inte bara det: plattorna på plattsättningen är också polygoner, och spetsarna på plattan är hörn av dessa kakel. Mer generellt kan en plattsättning ses som ett slags topologiskt CW-komplex . Topparna av andra typer av komplex, såsom enkla komplex, är nolldimensionella ytor.

Huvudmöte

Spetsen för en enkel polygon är huvudpunkten om diagonalen skär gränserna endast vid och . Det finns två typer av huvudtoppar: "öron" och "munnar" (se nedan) [6] . $x_{i}$ $P$ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ $P$ ${\displaystyle x_{i-1))$ $x_{i+1}$

"Öron"

Huvudpunkten för en enkel polygon kallas ett "öra" om diagonalen ligger helt i . (se även konvex polygon ) $x_{i}$ $P$ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ $P$

"Munnar"

Huvudpunkten för en enkel polygon kallas "mun" om diagonalen ligger utanför . $x_{i}$ $P$ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ $P$

Antalet hörn i en polyeder

Vilken yta som helst av en tredimensionell konvex polyeder har Euler-karakteristiken :

V-E+F=2,

där är antalet hörn, är antalet kanter och är antalet ytor. Denna likhet är känd som Eulers ekvation . Till exempel har en kub 12 kanter och 6 ytor, och därför - 8 hörn: . $V$ $E$ $F$ $8-12+6=2$

Vertices i datorgrafik

I datorgrafik representeras objekt ofta som triangulerade polyeder , där objektets hörn inte bara är associerade med tre rumsliga koordinater , utan också med annan grafisk information som är nödvändig för korrekt konstruktion av bilden av objektet, såsom färg, reflektivitet , textur , vertexnormaler [ 7] . Dessa egenskaper används vid rendering med vertex shader , en del av vertexprocessorn

Anteckningar

↑ Weisstein, Eric W. Vertex (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Heath, 1956 .
↑ McMullen, Schulte, 2002 , sid. 29.
↑ Bobenko, Schröder, Sullivan, Ziegler, 2008 .
↑ Jaric, 1989 , sid. 9.
↑ Devadoss, O'Rourke, 2011 .
↑ Christen, 2009 .

Litteratur

Thomas L. Heath. De tretton böckerna av Euklids element. — 2:a uppl. New York: Dover Publications, 1956 (Autentisk översättning av Euklids element, med omfattande historisk forskning och detaljerade kommentarer till bokens text.)
Lanru Jing, Ove Stephansson. Grunderna i diskreta elementmetoder för bergteknik: teori och tillämpningar. - 2007. - ISBN 978-0-444-82937-5 .
Peter McMullen, Egon Schulte. Abstrakta vanliga polytoper . - Cambridge University Press, 2002. - ISBN 0-521-81496-0 .
Introduktion till kvasikristallernas matematik / MV Jaric. - Academic Press, 1989. - Vol 2. - (Aperiodicity and Order). — ISBN 0-12-040602-0 .
Alexander I. Bobenko, Peter Schröder, John M. Sullivan, Günter M. Ziegler Diskret differentialgeometri. - Birkhäuser Verlag AG, 2008. - ISBN 978-3-7643-8620-7 .
Satyan Devadoss, Joseph O'Rourke. Diskret och beräkningsgeometri . - Princeton University Press , 2011. - ISBN 978-0-691-14553-2 .
Martin Christen. Handledning för Clockworkcoders: Vertex-attribut. — Khronos Group , 2009.

Länkar

Weisstein, Eric W. Polygon Vertex (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Polyhedron Vertex (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Principal Vertex (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .