Stympad cuboctahedron

Stympad cuboctahedron


Sorts	Halvregelbunden polyeder
kant	kvadrat , hexagon , oktagon
ansikten	$26$
revben	$72$
Toppar	$48$
Fasetter i toppen	$3$
Gedigen vinkel	4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44'08" 4-8:arccos(-sqrt(2)/3)=135° 6-8:arccos(-sqrt(3)/ 3)=125°15'51"
Punktsymmetrigrupp _	Octahedral, [4,3] + , (432), order 24
Dubbel polyeder	Hexakisoktaeder
Skanna
Med kantfärgning	Vertex figur

Trunkerad cuboctahedron [1] [2] , trunkerad cuboctahedron [3] är en halvregelbunden polyeder (Archimedean solid) med 12 kvadratiska ytor, 8 regelbundna sexkantiga ytor, 6 regelbundna åttakantiga ytor , 48 hörn och 72 kanter. Eftersom var och en av polyederns ytor har central symmetri (motsvarande en 180° rotation), är den stympade kuboktaedern en zonohedron .

Andra titlar

Denna polyeder har flera namn:

Stympad kuboktaeder ( Johannes Kepler )
Rombisk stympad cuboctahedron ( Magnus Wenninger [4] [5] )
Great rhombicuboctahedron ( Robert Williams [6] )
Stor rhombicuboctahedron (Peter Cromwell [7] )
omnitruncated kub eller cantitruncated kub ( Norman Johnson )

Namnet trunkerad cuboctahedron , som ursprungligen gavs av Johannes Kepler , är något missvisande. Trunkering av cuboctahedron genom att skära av hörnen (hörn) tillåter inte att erhålla denna homogena figur - vissa ytor kommer att vara rektanglar . Den resulterande figuren är dock topologiskt ekvivalent med en trunkerad kuboktaeder och kan alltid deformeras till ett tillstånd där ytorna blir regelbundna.

Det alternativa namnet, den stora rhombicuboctahedron , hänvisar till det faktum att de 12 kvadratiska ytorna ligger i samma plan som de 12 sidorna av den rombiska dodekaedern , som är dubbel till cuboctahedron. ons liten rhombicuboctahedron .

Det finns också en icke- konvex enhetlig polyeder med samma namn - en icke- konvex stor rhombicuboctahedron .

Kartesiska koordinater

De kartesiska koordinaterna för hörn av en stympad kuboktaeder med en kant av längden 2 och centrerad vid origo är permutationer av tal:

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))

Area och volym

Arean A och volymen V av en stympad kuboktaeder med en kant av längden a är lika med:

A=12\left(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 61.7551724a^{2}

V=\left(22+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 41.7989899a^{3}.

Dissektion

En stympad kuboktaeder kan dissekeras (klippa ut delar) till en central rhombicuboctahedron med 6 kvadratiska kupoler över de primära fyrkantiga ytorna, 8 triangulära kupoler över de triangulära ytorna och 12 kuber över de sekundära kvadratiska ytorna.

En dissekerad trunkerad kuboktaeder kan ge Stewart toroider av släktet 5, 7 eller 11 om den centrala rhombicuboctahedronen och antingen fyrkantiga kupoler eller triangulära kupoler, eller 12 kuber, respektive, tas bort. Det är möjligt att konstruera många andra toroider med mindre symmetri genom att ta bort en delmängd av dessa preparatkomponenter. Till exempel, att ta bort hälften av de triangulära kupolerna skapar en släkte 3 toroid som (med rätt val av kupoler borttagna) har tetraedrisk symmetri [8] [9] .

Stewart toroider

Genus 3	Genus 5	Genus 7	Genus 11

Enhetliga färger

Det finns bara en enhetlig färgning av ansiktena på denna polyeder, en färg för varje typ av ansikte.

Det finns en 2-uniform färgning genom tetraedrisk symmetri med en färgning av hexagoner i två färger.

Ortografiska projektioner

Den trunkerade kuboktaedern har två speciella ortogonala projektioner in i A 2 och B 2 Coxeter-planen med [6] och [8] projektiva symmetrier, och många [2] symmetrier kan konstrueras från olika projektionsplan.

Ortografiska projektioner

Centrerad släkting	Toppar	Revben 4-6	Revben 4-8	Revben 6-8	Face normals 4-6
Bild
Projektiv symmetri	[2] +	[2]	[2]	[2]	[2]
Centrerad släkting	Normaler till en kvadrat	Normaler till en oktaeder	Fyrkantigt ansikte	Sexkantigt ansikte	Åttakantig fasett
Bild
Projektiv symmetri	[2]	[2]	[2]	[6]	[åtta]

Sfäriska plattor

En trunkerad kuboktaeder kan representeras som en sfärisk plattsättning och projiceras på ett plan med hjälp av en stereografisk projektion . Denna projektion är konform , den bevarar vinklar men bevarar inte längder eller ytor. Raka linjer på sfären projiceras i cirkulära bågar på planet.

ortogonal projektion	Stereografiska projektioner
	kvadratiskt centrerad	hexagon - centrerad	oktagon - centrerad

Relaterade polytoper

Den trunkerade kuboktaedern tillhör familjen av enhetliga polyedrar som är associerade med kuben och den vanliga oktaedern.

Uniforma oktaedriska polyedrar

Symmetri : [4,3], (*432)							[4,3] + , (432)	[3 + ,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Dubbla polyedrar

V4 3	v3.82 _	V(3.4) 2	v4.62 _	V3 4	v3.43 _	V4.6.8	V3 4.4 _	V3 5

Denna polyeder kan betraktas som en medlem av en sekvens av homogena vertexfigurer med schemat (4.6.2p) och Coxeter-Dynkin-diagrammet . För p < 6 är medlemmarna i sekvensen i allmänhet trunkerade polytoper ( zonohedra ), som visas nedan som sfäriska plattsättningar. För p > 6 är de tilings i det hyperboliska planet, som börjar med den trunkerade trisemigonala plattsättningen .

* n 32 mutationer i symmetrin av helt trunkerade mosaiker: 4.6.2n

Symmetri * n 32 n ,3	sfärisk				euklidisk	Kompakt hyperbolisk		Paracomp.	Icke-kompakt hyperbolisk
Symmetri * n 32 n ,3	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
siffror
Konfiguration	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
dubbel
Ansiktskonfiguration	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

* n 42 symmetrier av allmänna trunkerade tessellationer: 4.8.2n

Symmetri * n 42 [n,4]	sfärisk		euklidisk	Kompakt hyperbolisk				Paracomp.
Symmetri * n 42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Stympad figur	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Vanligtvis trunkerade Duals	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Trunkerad cuboctahedron graf

Trunkerad cuboctahedron graf

Toppar	48
revben	72
Automorfismer	48
Kromatiskt nummer	2
Egenskaper	kubisk Hamiltonian reguljär , noll-symmetrisk
Mediafiler på Wikimedia Commons

I grafteorin är grafen för den trunkerade kuboktaedern (eller den stora rhombicuboctahedron-grafen ) grafen över hörn och kanter en trunkerad kuboktaeder. Den har 48 hörn och 72 kanter, är nollsymmetrisk och är en kubisk arkimedeansk graf [10] .

Anteckningar

↑ Wenninger 1974 , sid. 39.
↑ Lyusternik, 1956 , sid. 184.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , sid. 437, 434.
↑ Wenninger 1974 , sid. 20, 39.
↑ Wenninger, 1974 , sid. 29.
↑ Williams, 1979 , sid. 82.
↑ Cromwell, 1997 , sid. 82.
↑ Stewart, 1970 .
↑ Adventures Among the Toroids - Kapitel 5 - Enklaste (R)(A)(Q)(T) Toroids av släktet p=1 . Hämtad 8 november 2015. Arkiverad från originalet 4 februari 2016. (obestämd)
↑ Läs, Wilson, 1998 , sid. 269.

Litteratur

M. Wenninger . polyedra modeller. - Världen , 1974.
Polygoner och polyedrar // Encyclopedia of elementary mathematics. Bok fyra. Geometri / Ed. P.S. Aleksandrov , A.I. Markushevich , A. Ya. Khinchin . - M .: Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur , 1963. - S. 382-447.
L. A. Lyusternik . Konvexa figurer och polyedrar. - M . : Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur , 1956.
Magnus Wenninger. Polyeder modeller. - Cambridge University Press , 1974. - ISBN 978-0-521-09859-5 . (Modell 15, sida 29)
Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . - Dover Publications, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X .. (Avsnitt 3-9, s. 82)
P. Cromwell. Polyedra. - Storbritannien: Cambridge, 1997. - s. 79–86 Arkimedeiska fasta ämnen . - ISBN 0-521-55432-2 .
RC Read, RJ Wilson. En atlas av grafer. — Oxford University Press, 1998.
BM Stewart. Äventyr bland toroiderna. - 1970. - ISBN 978-0-686-11936-4 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Great rhombicuboctahedral graph (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
3D konvexa enhetliga polyedrar
Redigerbart utskrivbart nät av en trunkerad kuboktaeder med interaktiv 3D-vy
Den enhetliga polyedern
Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
stor Rhombicuboctahedron: pappersremsor för flätning

Polyedra

Korrekt

Tredimensionell (platoniska fasta ämnen)	vanlig tetraeder Kub Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Femceller tesserakt Hexadecimal cell tjugofyra celler 120 celler Sexhundra celler
Större dimension (anges inom parentes)	Vanlig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexaeder (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvex

Arkimedeiska fasta ämnen

Katalanska kroppar

Prismor
trekantsprisma fyrkantigt prisma Pentagonal prisma Sexkantigt prisma Heptagonal prisma Åttakantigt prisma Niovinklat prisma Dekagonalt prisma Elvavinklat prisma Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

Formler ,
satser ,
teorier

Övrig