Delad kvadratisk mosaik

En delad kvadratisk plattsättning (eller tetrakis-kvadratisk plattsättning  ) är en plattsättning i det euklidiska planet , som är konstruerad från en kvadratisk plattsättning genom att dela upp varje kvadrat i fyra likbenta räta trianglar med hörn i mitten av kvadraterna, vilket resulterar i en oändlig konfiguration av linjer . Kakelsättningen kan också byggas genom att dela upp varje kvadrat av gittret i två trianglar med en diagonal, medan diagonalerna på angränsande rutor har olika riktningar. Mosaik kan också erhållas genom att lägga två kvadratiska mosaiker över varandra, varav den ena är roterad 45 grader och dess skala ökas med √2 .

Conway kallade tessellationen kisquadrille , det vill säga quadra-parketten som erhålls genom operationen "kis" [1] . " Kis " -operationen lägger till en punkt till mitten av ett ansikte och kanter från denna punkt till ansiktets hörn, vilket delar upp den kvadratiska mosaikens ytor i trianglar. Mosaiken kallas också för Union Jack-galler eftersom den liknar den brittiska nationalflaggan med trianglar som omger hörnen av ordning 8 [2] .

Kakelsättningen betecknas V4.8.8 eftersom varje likbent triangulär yta har två typer av hörn - en vertex med 4 omgivande trianglar och två hörn med 8 trianglar.

Dubbel sida vid sida

Tegelsättningen är dubbel till den trunkerade kvadratiska plattsättningen , som har en kvadrat och två oktagoner vid varje vertex [3] .

Applikationer

Ett 5 × 9 fragment av en delad kvadratisk mosaik används som spelplan för det madagaskiska brädspelet Fanorona . I det här spelet placeras stenar ovanpå mosaiken, och rörelser görs längs kanterna och fångar motståndarens stenar medan det finns sådana stenar. I det här spelet kallas hörn av grad 4 och hörn av grad 8 för svag skärning respektive stark skärning. Skillnaden i typer av hörn spelar en viktig roll i spelets strategi [4] . En liknande bräda används i det brasilianska spelet Adugo och för spelet Hare and Dogs .

En delad fyrkantig mosaik användes i en uppsättning jubileumsfrimärken som utfärdades av US Postal Service 1997 med olika mönster på två olika frimärken [5] .

Denna mosaik utgör också grunden för de flitigt använda mönstren för pinwheel, kvarn och trasiga tallrikar inom quiltning [6] [7] [8] .

Symmetri

Mosaiksymmetrityper (enligt tapetgruppens symmetrityper :

• symmetri cmm; vid färgning i fyra färger består elementarcellen av 8 trianglar, grundområdet består av 2 trianglar (1/2 för varje färg)
• p4g symmetri; mörka och ljusa trianglar, enhetscellen har 8 trianglar, grundytan består av 1 triangel (1/2 för varje svart och vit)
• p4m symmetri; alla trianglar har samma färg (vita) och svarta kanter, enhetscellen består av 2 trianglar, grundarea (1/2)

Kanterna på den delade kvadratiska plattsättningen bildar en enkel konfiguration av linjer , en egenskap som delas med den triangulära plattsättningen och den delade rombiska plattsättningen .

Dessa linjer bildar symmetriaxlarna för reflektionsgruppen ( tapetgrupp [4,4], (*442) eller p4m), som har kakeltrianglar som sin grundläggande domän . Denna grupp är isomorf till , men inte samma som, automorfismgruppen av plattsättningen, som har ytterligare triangelbrytande symmetriaxlar och som har halvtrianglar som sin grundläggande domän.

Det finns många grupper av undergrupper av små index p4m, (med symmetri [4,4], *442 i orbifold notation ), vilket kan ses från Coxeter-Dynkin-diagrammen med noder färgade enligt direkta reflektioner, och pivot punkter markerade med siffror. Rotationssymmetri visas som alternerande vita och blå regioner, med en grundläggande region för varje undergrupp som visas i gult. Glidande symmetrier ges av prickade linjer.

Undergrupper kan uttryckas av Coxeter-Dynkin-diagram med deras grundläggande domändiagram.

Undergrupper av små index p4m, [4,4], (*442)
Index	ett	2			fyra
Grundläggande områdesdiagram _
Coxeter notation Coxeter diagram	[ 1 ,4, 1 ,4, 1 ] = [4,4]	[1 + ,4,4] =	[ 4,4,1+ ] =	[4,1 + ,4] =	[1 + ,4,4,1 + ] =	[4 + ,4 + ] = [(4,4 + ,2 + )]
Orbifold	*442			*2222		22×
Halvdirekta undergrupper
Index		2			fyra
Diagram
coxeter		[ 4,4+ ]	[4 + ,4]	[(4,4,2 + )]	[1 + ,4,1 + ,4]=[(2 + ,4,4)] ==	[4,1 + ,4,1 + ]=[(4,4,2 + )] ==
Orbifold		4*2		2*22
Direkta undergrupper
Index	2	fyra			åtta
Diagram
coxeter	[4,4] +	[1 + ,4,4 + ] = [4,4 + ] + =	[4 + ,4,1 + ] = [4 + ,4] + =	[(4,1 + ,4,2 + )] = [(4,4,2 + )] + =	[1 + ,4,1 + ,4,1 + ] = [(4 + ,4 + ,2 + )] = [4 + ,4 + ] + =
Orbifold	442			2222

Relaterade polyedrar och plattsättningar

Plattläggningen är topologiskt relaterad till en serie polyedrar och plattsättningar med vertexkonfiguration Vn .6.6 .

Se även

• Mosaiker av konvexa regelbundna polygoner på det euklidiska planet
• Lista över enhetliga plattsättningar
• Läckagetröskel

Anteckningar

1. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008 .
2. ↑ Stephenson, 1970 .
3. ↑ Weisstein, Eric W. Dubbel tessellation  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
4. ↑ Bell, 1983 , sid. 150–151.
5. ↑ Frederickson, 2006 , sid. 144.
6. ↑ The Quilting Bible, 1997 , sid. 55.
7. ↑ Zieman, 2011 , sid. 66.
8. ↑ Fassett Kaffe, 2007 , sid. 96.

Litteratur

• Branko Grünbaum , GC Shephard. Kakel och mönster . - W.H. Freeman, 1987. - S. 58-65 (Kapitel 2.1: Regelbundna och enhetliga plattsättningar). - ISBN 0-7167-1193-1 .
• Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . - New York: Dover Publications , 1979. - S.  40 . — ISBN 0-486-23729-X .
• Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. - New York: Thames & Hudson, 1987. - S. 77-76, mönster 8. - ISBN 0-500-34033-1 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Kapitel 21, Namngivning av arkimediska och katalanska polyedrar och plattsättningar, s288 tabell // Sakernas symmetrier . - Wellesley, MA: A.K. Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Arkiverad19 september 2010 påWayback Machine
• John Stephenson. Ising-modell med antiferromagnetisk koppling till närmaste granne: Spinkorrelationer och störningspunkter // Fysisk. Varv. F. - 1970. - T. 1 , nummer. 11 . - S. 4405-4409 . - doi : 10.1103/PhysRevB.1.4405 .
• Bell RC Fanorona // Brädspelsboken. - Exeter Books, 1983. - S. 150-151. — ISBN 0-671-06030-9 .
• Greg N. Frederickson. Pianogångjärnsdissektioner. - A. K. Peters, 2006. - ISBN 156881299X .
• Quiltningsbibeln . - Creative Publishing International, 1997. - ISBN 9780865732001 .
• Nancy Zieman. Täcke med självförtroende . - Krause Publications, 2011. - ISBN 9781440223556 .
• Fasset Kaffe. Kaffe Fassetts Kaleidoscope of Quilts: Twenty Designs from Rowan for Patchwork and Quilting . - Taunton Press, 2007. - ISBN 9781561589388 .