Lista över icke-periodiska brickuppsättningar

Inom geometri är plattsättning  uppdelningen av ett plan (eller annan geometrisk struktur) i slutna uppsättningar (kallade brickor ) utan mellanrum eller överlappningar (annat än gränserna för brickorna) [1] . En plattsättning sägs vara periodisk om det finns parallella rörelser i två oberoende riktningar som flyttar plattor i exakt samma riktning. En sådan plattsättning består av en grundläggande enhet eller primitiv cell som upprepas i det oändliga i två oberoende riktningar [2] . Ett exempel på en sådan plattsättning visas i illustrationen till höger. Plattor som inte kan byggas från en enda primitiv cell kallas icke-periodisk. Om en given uppsättning plattor endast tillåter icke-periodisk plattsättning, sägs en sådan uppsättning vara icke- periodisk [3] .

Den första tabellen förklarar förkortningarna som används i den andra tabellen. Den andra tabellen innehåller alla kända icke-periodiska brickuppsättningar och ger ytterligare grundläggande information om varje uppsättning. Denna lista över brickor är fortfarande ofullständig.

Förklaringar

Minskning Menande Förklaring
E 2 Euklidiskt plan vanligt plan
H2 _ hyperboliskt
plan		 plan där parallellismens axiom inte håller
E 3 Euklidiskt
tredimensionellt
rum		 rymd som definieras av tre vinkelräta koordinataxlar
HDL Lokalt ömsesidigt härledda två brickor sägs vara lokalt ömsesidigt härledda av varandra om den ena brickan är härledd från den andra genom en enkel lokal regel (som att ta bort eller infoga en kant)

Lista

Bild namn Antal brickor Mellanslag
_		 Publiceringsdatum Länkar Kommentarer
Trilobite och Cross plattor 2 E 2 1999 [fyra] HDL med "Chair" plattor (fyrkantig med en utskuren fjärdedel)
Penrose plattor P1 6 E 2 1974 [Not 1] [5] LVP med plattor P2 och P3, Robinson trianglar och plattor "stjärna, båt, hexagon"
P2 Penrose plattor 2 E 2 1977 [Not 2] [6] LVP med plattor P1 och P3, Robinson trianglar och plattor "stjärna, båt, hexagon"
P3 Penrose plattor 2 E 2 1978 [Not 3] [7] LVP med plattor P1 och P2, Robinson trianglar och plattor "stjärna, båt, hexagon"
dubbla plattor 2 E 2 1988 [åtta]

[9]

Även om brickorna liknar brickorna från P3, är brickorna inte varandras HDL. Mosaik designad i ett försök att modellera arrangemanget av atomer i binära legeringar
Robinson Tiles 6 E 2 1971 [Not 4] [tio] Plattor ger icke-periodicitet genom att bilda en oändlig hierarki av kvadratiska gitter
Ingen ritning Ammann plattor A1 6 E 2 1977 [11] [12] Brickor ger icke-periodicitet genom att bilda ett oändligt hierarkiskt binärt träd.
Ammann plattor A2 2 E 2 1986 [Not 5] [13]
Ammann plattor A3 3 E 2 1986 [Not 5] [13]
Ammann plattor A4 2 E 2 1986 [Not 5] [13] [14] HDL med Ammann-plattor A5.
Ammann plattor A5 2 E 2 1982 [Not 6] [femton]

[16]

HDL med Ammann-plattor A4.
Ingen ritning Penrose plattor "Hexagon, Triangle" 2 E 2 1997 [17] [17] [18]
Ingen ritning Plattor "Gyllene triangeln" [19] tio E 2 2001 [20] [21] Datumet motsvarar den tidpunkt då anslutningsreglerna öppnades. Dubbla till Ammann brickor A2
Socolar kakel 3 E 2 1989 [Not 7] [22] [23] HDL med "Shield" brickor
Kakel "Shield" fyra E 2 1988 [Not 8] [24] [25] HDL med Sokolara-plattor
Plattor "Square, Triangle" 5 E 2 1986 [26] [27]
Mosaik "Sfinx" 91 E 2 [28]
Plattor "Stjärna, båt, hexagon" 3 E 2 [29] [30] [31] LCS med Penrose-plattor P1, P2, P3 och Robinson-trianglar
Robinson triangel fyra E 2 [12] LVP-plattor med Penrose-plattor P1, P2, P3 och "Star, Boat, Hexagon".
Danzer trianglar 6 E 2 1996 [32] [33]
Kakel "Pinwheel" E 2 1994 [34] [35] [36] [37] Datumet motsvarar offentliggörandet av anslutningsreglerna.
Socolar Tile - Taylor ett E 2 2010 [38] [39] Icke-sammanhängande kakel . Icke-periodisk hierarkisk plattsättning.
Ingen ritning Van kakel 20426 E 2 1966 [40]
Ingen ritning Van kakel 104 E 2 2008 [41]
Ingen ritning Van kakel 52 E 2 1971 [Not 4] [42] Plattor ger icke-periodicitet genom att bilda en oändlig hierarki av kvadratiska gitter
Van kakel 32 E 2 1986 [43] lokalt härledd från Penrose-plattor.
Ingen ritning Van kakel 24 E 2 1986 [43] lokalt härledd från brickor A2
Van kakel 16 E 2 1986 [44]

[45]

Derivat från A2-plattor och deras Ammann-remsor
Van kakel fjorton E 2 1996 [46] [47]
Van kakel 13 E 2 1996 [48] ​​[49]
Ingen ritning Decagon Sponge Tile ett E 2 2002 [50] [51] Porös kakel som består av icke-korsande uppsättningar av prickar
Ingen ritning Strikt icke-periodiska Goodman-Strauss-plattor 85 H2 _ 2005 [52]
Ingen ritning Strikt icke-periodiska Goodman-Strauss-plattor 26 H2 _ 2005 [53]
Hyperbolisk platta Borocki (Böröczky) ett H n 1974 [54] [55] [56] Endast något icke-periodisk
Ingen ritning Schmitt kakel ett E 3 1988 [57] periodisk med avseende på skruven
Schmitt-Conway-Danzer kakel ett E 3 [57] är periodisk med avseende på skruven och är konvex
Socolar Tile - Taylor ett E 3 2010 [38] [39] Periodisk i den tredje dimensionen
Ingen ritning Penrose rombohedron 2 E 3 1981 [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65]
Makei-Ammann rombohedra fyra E 3 1981 [66] De har icosaedrisk symmetri . Dessa är dekorerade Penrose rhombohedra med anslutningsregler som säkerställer icke-periodicitet.
Ingen ritning Van Cubes 21 E 3 1996 [67]
Ingen ritning Van Cubes arton E 3 1999 [68]
Ingen ritning Danzer tetraedra fyra E 3 1989 [69] [70]
Kakel I och L 2 E n
för alla
n ≥ 3		 1999 [71]

Anteckningar

  1. ↑ Grünbaum B., Shephard GC Tilings by Regular Polygons // Math. Mag.. - 1977. - T. 50 , nr. 5 . — S. 227–247 . - doi : 10.2307/2689529 . ( WebCite arkiv )
  2. ↑ Edwards S., Fundamental Regions and Primitive Cells ( WebCite- arkiv )
  3. ↑ Stan Wagon. Mathematica i aktion. — 2:a. - New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1998. - S. 216 (9.1 NonPeriodic Tilings). — ISBN 0-387-98252-3 .
  4. ↑ Goodman-Strauss C. En liten aperiodisk uppsättning av plana plattor // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , nr. 5 . — S. 375–384 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0281 . (förtryck finns här )
  5. ↑ Mikhael J. Kolloidala monolager på kvasiperiodiska laserfält (se sidan 23) ( WebCite- arkiv )
  6. ↑ Gardner M. Penrose plattor till fallluckor (se sidan 86) Arkiverad 30 oktober 2012 på Wayback Machine ( WebCite Archive )
  7. ↑ Penrose R. Pentaplexity // Math. Intel.. - 1979/80. - T. 2 . — S. 32–37 . - doi : 10.1007/bf03024384 . ( WebCite arkiv )
  8. ↑ F. Lançon, L. Billard. Tvådimensionellt system med ett kvasikristallint grundtillstånd // J. Phys. Frankrike. - 1988. - T. 49 , nr. 2 . — S. 249–256 . - doi : 10.1051/jphys:01988004902024900 . ( WebCite arkiv )
  9. ↑ F. Lançon, L. Billard. Ett enkelt exempel på en icke-Pisot-plattsättning med femfaldig symmetri // J. Phys. Jag Frankrike. - 1992. - Vol. 2 , nummer. 2 . — S. 207–220 . - doi : 10.1051/jp1:1992134 . ( WebCite arkiv )
  10. ↑ Goodman-Strauss C. Aperiodic Hierarchical tilings // Proc. av NATO-ASI "Skum, emulsioner och cellulära material" Ser. E. - 1999. - T. 354 . — S. 481–496 . - doi : 10.1007/978-94-015-9157-7_28 .
  11. ↑ Martin Gardner. The Colossal Book of Mathematics . - WW Norton & Company, 2001. - S.  76 .
  12. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1986 , enligt [1] Arkiverad 30 augusti 2006 på Wayback Machine ; [2]
  13. ↑ 1 2 3 R. Ammann, B. Grünbaum, G. C. Shephard. Aperiodic Tiles // Diskret Comp Geom. - 1992. - T. 8 . — S. 1–25 . - doi : 10.1007/BF02293033 .
  14. ↑ Harris E., Frettlöh D. Ammann A4 Arkiverad 9 april 2016 på Wayback Machine
  15. ↑ K. Komatsu, K. Nomakuchi, K. Sakamoto, T. Tokitou. Representation av Ammann-Beenker plattsättningar med en automat // Nihonkai Math. J .. - 2004. - T. 15 . — s. 109–118 . ( WebCite arkiv )
  16. ↑ Harris E., Frettlöh D. Ammann-Beenker Arkiverad 5 oktober 2008 på Wayback Machine
  17. ↑ 1 2 R. Penrose. The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order / Moody RV. - Nato Asi Series C. - Dordrecht: Kluwer, 1997. - T. 489. - S. 467-497. - ISBN 978-0-7923-4506-0 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_18 . R. Penrose. The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order / Moody RV. - Springer Verlag GMBH, 2010. - T. 489. - S. 467-497. - (Nato Asi Series U). — ISBN 9048148324 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_18 .
  18. ↑ C. Goodman-Strauss, Ett aperiodiskt par av plattor
  19. ↑ Kakelplattan motsvarar inte den likbenta " Gyllene triangeln " och är en rätvinklig triangel med det gyllene förhållandet mellan hypotenusan och benet
  20. ↑ Ludwig Danzer, Gerrit van Ophuysen. En art av plana triangulära plattor med inflationsfaktor  , Res. Tjur. Panjab Univ. Sci .. - 2001. - V. 50 , nr. 1-4 . — S. 137–175 .
  21. ↑ G Gelbrich. Fractal Penrose plattor II. Plattor med fraktal gräns som dualer av Penrose-trianglar // Aequationes Math.. - 1997. - V. 54 . — S. 108–116 . - doi : 10.1007/bf02755450 .
  22. ↑ F. Gähler, R. Lück, S.I. Ben-Abraham, P. Gummelt. Dodekagonala plattor som maximala klusterbeläggningar . Hämtad: 25 september 2013.
  23. ↑ Socolar plattsättningen
  24. ↑ Gähler F., Frettlöh D. Shield Arkiverad 3 mars 2016 på Wayback Machine
  25. ↑ F. Gähler. Matchningsregler för kvasikristaller: komposition-sönderdelningsmetoden // J. of Non-crystalline Solids. - 1993. - T. 153 & 154 . — S. 160–164 . - doi : 10.1016/0022-3093(93)90335-u . ( WebCite arkiv )
  26. ↑ Stampfli, P. A Dodecagonal Quasiperiodic Lattice in Two Dimensions  // Helv. Phys. Acta.. - 1986. - T. 59 . - S. 1260-1263 .
  27. ↑ Hermisson J., Richard C., Baake M. A Guide to the Symmetry Structure of Quasiperiodic Plating Classes Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine (arkiverad WebCite )
  28. ↑ Goodman-Strauss C., Aperiodic tilings (se sidan 74) Arkiverad 13 mars 2012 på Wayback Machine
  29. ↑ Lord EA Quasikristaller och Penrose-mönster // Aktuell vetenskap. - 1991. - T. 61 . - S. 315 .
  30. ↑ Z. Olamy, M. Kleman. En tvådimensionell aperiodisk tät kakel // J. Phys. Frankrike. - 1989. - T. 50 . — S. 19–33 . - doi : 10.1051/jphys:0198900500101900 . ( WebCite arkiv )
  31. ↑ M. Mihalkovič, C. L. Henley, M. Widom. Kombinerad energi-diffraktionsdataförfining av dekagonal AlNiCo // J. Non-Cryst. fasta ämnen. - 2004. - T. 334 & 335 . — S. 177–183 . ( WebCite arkiv )
  32. ↑ Nischke, KP och Danzer, L,. En konstruktion av inflationsregler baserade på $n$-faldig symmetri // Discrete Comput. Geom.. - 1996. - V. 15 , nr. 2 . — S. 221–236 . - doi : 10.1007/bf02717732 . 96j:52035
  33. ↑ Hayashi H., Kawachi Y., Komatsu K., Konda A., Kurozoe M., Nakano F., Odawara N., Onda R., Sugio A., Yamauchi M. Sammanfattning: Notes on vertex atlas of planar Danzer kakelsättning
  34. ↑ Radin C. The pinwheel tilings of the plan // Annals of Mathematics. Andra serien . - 1994. - T. 139 , nr. 3 . — S. 661–702 . - doi : 10.2307/2118575 . — .
  35. ↑ Charles Radin. Symmetry Of Tilings Of The Plane // Annals of Mathematics. - 1994. - doi : 10.1090/s0273-0979-1993-00425-7 .
  36. ↑ C. Radin, M. Wolff. Rymdplattor och lokal isomorfism // Geom. Dedicata. - 1992. - T. 42 , nr. 3 . — S. 355–360 . - doi : 10.1007/bf02414073 .
  37. ↑ C. Radin. Aperiodiska plattsättningar, ergodisk teori och rotationer // The Mathematics of long-range aperiodic order. — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.
  38. ↑ 1 2 Socolar JES och Taylor JM En aperiodisk hexagonal platta
  39. ↑ 1 2 Socolar JES och Taylor JM Framtvingar ickeperiodicitet med en enda bricka
  40. ↑ Burger R. The Undecidability of the Domino Problem // Memoirs of the American Mathematical Society. - 1966. - T. 66 . — S. 1–72 .
  41. ↑ Ollinger Nicolas. Två-och-två substitutionssystem och dominoproblemets oavgörbarhet. - Springer, 2008. - S. 476-485.
  42. ↑ J. Kari , P. Papasoglu. Deterministiska aperiodiska brickuppsättningar // Geometrisk och funktionell analys. - 1999. - T. 9 . — S. 353–369 . - doi : 10.1007/s000390050090 .
  43. ↑ 1 2 Lagae A., Kari J. , Dutré P. Aperiodiska uppsättningar av fyrkantiga plattor med färgade hörn // Rapport CW. - 2006. - T. 460 . - S. 12 . Arkiverad från originalet den 2 oktober 2010.
  44. ↑ Grünbaum, Shephard, 1986 .
  45. ↑ A. Carbone, M. Gromov, P. Prusinkiewicz. Mönsterbildning i biologi, syn och dynamik. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2000. - ISBN 981-02-3792-8 .
  46. ↑ Kari J. En liten aperiodisk uppsättning Wang-plattor". Discrete Mathematics, 160(1-3):259-264
  47. ↑ Lagae A. Tile Based Methods in Computer Graphics Dissertation (se sidan 149) Arkiverad 6 oktober 2010. ( WebCite arkiv )
  48. ↑ Culik K., Kari J. Om aperiodiska uppsättningar av Wang-plattor  (nedlänk)
  49. ↑ K. Culik. En aperiodisk uppsättning av 13 Wang-plattor . Hämtad 25 september 2013. Arkiverad från originalet 2 oktober 2010.
  50. ↑ Zhu F. Sökandet efter en universell tegelplatta
  51. ↑ D. A. Bailey, F. Zhu. En svampliknande (nästan) universell kakel . Hämtad: 25 september 2013.
  52. ↑ Goodman-Strauss C., En hierarkisk starkt aperiodisk uppsättning brickor i det hyperboliska planet
  53. ↑ Goodman-Strauss C. En starkt aperiodisk uppsättning brickor i det hyperboliska planet  // Invent. Math.. - 2005. - T. 159 . — S. 130–132 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - .
  54. ↑ K. Boröczky. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben I // Mat. Lapok.. - 1974. - T. 25 . — S. 265–306 . K. Boroczky. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben II // Mat. Lapok.. - 1974. - T. 26 . — S. 67–90 .
  55. ↑ Goodman-Strauss C. En starkt aperiodisk uppsättning brickor i det hyperboliska planet  // Invent. Math.. - 2005. - T. 159 . - S. 120 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - .
  56. ↑ Dolbilin N., Frettlöh D. Egenskaper för Böröczky plattsättningar i högdimensionella hyperboliska utrymmen ( WebCite archive )
  57. ↑ 12 Charles Radin . Aperiodiska plattsättningar i högre dimensioner // Proceedings of the American Mathematical Society . - American Mathematical Society, 1995. - V. 123 , nr. 11 . — S. 3543–3548 . - doi : 10.2307/2161105 . — .
  58. ↑ McKay Allan. J.I. DE NTVE QUINQUANGULA om femkantiga snöflingor // Kristallografi. - 1981. - T. 26 , nr. 5 . - S. 910-919. . ( WebCite arkiv )
  59. ↑ Meisterernst G. Experimente zur Wachstumskinetik Dekagonaler Quasikristalle (Experiment på tillväxtkinetiken för dekagonala kvasikristaller) Avhandling (se sidan 18-19) ( WebCite arkiv )
  60. ↑ Jirong S. Strukturövergång av den tredimensionella Penrose-beläggningen under Phason-påkänning fält // Chinese Phys. Lett.. - 1993. - T. 10, No.8 . — S. 449–452 . - doi : 10.1088/0256-307x/10/8/001 . ( WebCite arkiv )
  61. ↑ Inchbald G. En 3-D kvasikristallstruktur
  62. ↑ Lord EA, Ranganathan S., Kulkarni UD Quasikristaller: plattsättning kontra klustring // Fil. Mag. A. - 2001. - T. 81 . — S. 2645–2651 . - doi : 10.1080/01418610108216660 . ( WebCite arkiv )
  63. ↑ Rudhart CP Zur numerischen Simulation des Bruchs von Quasikristallen (Om numerisk simulering av sprickbildning i kvasikristaller) se sidan 11
  64. ↑ Lord EA, Ranganathan S., Kulkarni UD Beläggningar, beläggningar, kluster och kvasikristaller // Aktuell vetenskap. - 2000. - T. 78 , nr. 1 . — S. 64–72 . ( WebCite arkiv )
  65. ↑ Katz A. Theory of Matching Rules for the 3-Dimensional Penrose Tilings // Commun. Matematik. Phys.. - 1988. - T. 118 , nr. 2 . — S. 263–288 . - doi : 10.1007/BF01218580 . ( WebCite arkiv )
  66. ↑ Eric A. Lord. Quasikristaller och Penrose-mönster // Aktuell vetenskap. - 1991. - T. 61 , nr. 5 . - S. 313 .
  67. ↑ K. Culik, J. Kari. En aperiodisk uppsättning Wang-kuber . Hämtad: 25 september 2013.
  68. ↑ G. Walther, C. Selter. Matematikdidaktik als designvetenskap. - Leipzig: Ernst Klett Grundschulverlag, 1999. - ISBN 3122000601 .
  69. ↑ L. Danzer. Tredimensionella analoger av plana Penrose-plattor och kvasikristaller  // Diskret matematik. - 1989. - T. 76 . — S. 1–7 . - doi : 10.1016/0012-365X(89)90282-3 .
  70. ↑ Zerhusen A., Danzers tredimensionella plattsättning
  71. ↑ Goodman-Strauss C. An Aperiodic Pair of Tiles in E n for all n ≥ 3  // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , nr. 5 . — S. 385–395 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0282 . (förtryck finns här )

Första publikationerna

  1. ↑ Penrose, R. (1974), "Estetikens roll i ren och tillämpad matematisk forskning", Bull. Inst. Matematik. och dess Appl. 10 :266-271
  2. ↑ Gardner, M. (januari 1977), "Extraordinary nonperiodic tiling that enriches theory of tiles", Scientific American 236 : 110-121
  3. ↑ Penrose, R. (1978), "Pentaplexity", Eureka 39 : 16-22
  4. ↑ 1 2 Robinson, R. (1971), "Undecidability and nonperiodicity of tilings in the plane", Inv. Matematik. 12 :177-209
  5. ↑ 1 2 3 Grünbaum, Shephard, 1986 .
  6. ↑ Beenker, FPM(1982), "Algebraisk teori om icke-periodiska plattsättningar av planet med två enkla byggstenar: en kvadrat och en romb", Eindhoven University of Technology, TH Report 82-WSK04
  7. ↑ Socolar, JES (1989), "Enkla åttkantiga och tvåkantiga kvasikristaller", Phys. Varv. A39 : 10519-51
  8. ↑ Gahler, F., "Crystallography of dodecagonal quasicrystals" , publicerad i Janot, C.: Quasicrystalline materials: Proceedings of the ILL / Codest Workshop, Grenoble, 21-25 mars 1988. Singapore: World Scientific, 1928-47288, 47288.

Litteratur

Länkar

 geometriska mosaiker
Periodisk
Aperiodisk
Övrig
Genom vertexkonfiguration
_
Sfärisk
Korrekt
halvkorrekt
_
Hyperbolisk
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3,14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4,14 2
  • 4,16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6,16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8,6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2