Problemet med en bricka ( engelska einstein problem ) är ett geometriskt problem som väcker frågan om existensen av en prototil , som bildar en icke- periodisk uppsättning plattor , det vill säga existensen av en figur vars kopior kan belägga utrymme, men bara på ett icke- periodiskt sätt. I källor på engelska kallas sådana figurer "einsteins" - en ordlek, tyska. ein stein betyder "en sten" och är också namnet på fysikern Albert Einstein . Beroende på den specifika definitionen av icke-periodicitet, nämligen vilka uppsättningar som kan betraktas som brickor och hur de kan kopplas samman, kan problemet anses vara öppet eller löst. Problemet med en bricka kan betraktas som en naturlig fortsättning på den andra delen av Hilberts artonde problem , som frågar om en polyeder vars kopior kan fylla det tredimensionella euklidiska rummet, och ingen fyllning av utrymmet med kopior av detta polyeder bör vara isoedrisk [1] . Sådana icke-isoedriska kroppar hittades av Carl Reinhard 1928, men dessa kroppar fyller utrymmet på ett periodiskt sätt.
1988 upptäckte Peter Schmitt en icke-periodisk prototil för tredimensionell euklidisk rymd. Även om ingen fyllning med denna kropp tillåter parallell translation , har vissa fyllningar spiralsymmetri . Skruvsymmetrioperationen har formen av en sammansättning av parallell translation och rotation genom en vinkel som är ojämförlig med π, så att inget antal upprepningar av dessa operationer kommer att leda till en enkel parallell translation. Denna konstruktion användes senare av John Conway och Ludwig Danzer för att konstruera en konvex icke-periodisk platta, Schmitt-Conway-Danzer-plattan . Förekomsten av skruvsymmetri var en konsekvens av kravet på icke-periodicitet [2] . Chaim Goodman-Strauss föreslog att betrakta plattsättningar strikt aperiodiska om det inte finns någon oändlig cyklisk grupp av rörelser i det euklidiska rummet för dem , som är symmetrier av plattsättningen, och att endast kalla strikt aperiodiska uppsättningar av plattor som leder till strikt aperiodiska plattsättningar, de återstående uppsättningarna av plattor kallas då svagt aperiodiska [3] .
1996 byggde Petra Hummelt en mönstrad dekagonal platta och visade att om två typer av överlappning av par av brickor tillåts kan de belägga ett plan, och endast på ett aperiodiskt sätt [4] . Vanligtvis förstås en tessellation som en fyllning utan överlappning, så Hummelt-brickan kan inte betraktas som en aperiodisk prototil. En aperiodisk uppsättning plattor i det euklidiska planet som består av endast en bricka, Socolar-Taylor-plattan , föreslogs i början av 2010-talet av Joshua Socolar och Joan Taylor [5] . Denna konstruktion involverar anslutningsregler, regler som begränsar den relativa orienteringen av två brickor och regler för koppling av mönster på brickor, och dessa regler gäller för par av icke intilliggande brickor. Det går att använda brickor utan mönster och utan orienteringsregler, men då kommer brickorna inte att kopplas ihop. Konstruktionen kan utökas till 3D-rymden med hjälp av anslutna brickor och inga kopplingsregler, men dessa brickor kan läggas ut med periodicitet i samma riktning, så det är bara en svagt icke-periodisk plattsättning. Dessutom är plattorna inte bara anslutna.
Förekomsten av strikt aperiodiska uppsättningar som består av en ansluten bricka utan anslutningsregler förblir ett olöst problem.
| geometriska mosaiker | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Periodisk |
| ||||||||
| Aperiodisk |
| ||||||||
| Övrig |
| ||||||||
| Genom vertexkonfiguration _ |
| ||||||||