Honeycomb (geometri)

En honeycomb  är en fyllning av utrymme med icke-korsande polyedrar , där det inte finns något ofyllt utrymme. Detta är en generalisering av det matematiska konceptet mosaik eller parkett till vilken dimension som helst.

Honungskakor anses vanligtvis i det vanliga euklidiska ("platta") utrymmet. De kan också konstrueras i icke-euklidiska utrymmen , såsom den hyperboliska bikakan . Vilken finit enhetlig polyeder som helst kan projiceras på dess circumsphere , vilket ger en enhetlig bikaka i sfäriskt utrymme.

Klassificering

Det finns oändligt många celler och de kan bara delvis klassificeras. De vanligaste plattsättningarna får mest intresse, även om ett rikt och brett utbud av andra plattsättningar upptäcks om och om igen.

De enklaste bikakor bildas av lager av prismor byggda av parketter på ett plan. I synnerhet kan kopior av vilken parallellepiped som helst fylla utrymmet, med kubiska bikakor som ett specialfall, eftersom de ensamma bildar vanliga bikakor i vanligt (euklidiskt) utrymme. Ett annat intressant exempel är Hill tetrahedron och dess generaliseringar, som också bildar en mosaik i rymden.

Homogena 3D-bikakor

En homogen 3D-bikaka  är en bikaka i 3D-rymden som består av enhetliga polyedrar med samma hörn (dvs. isometrigruppen i 3D-rymden som bevarar mosaiken är transitiv vid hörnen ). Det finns 28 exempel på konvexa plattsättningar i tredimensionell euklidisk rymd [1] , även kallad Archimedean honeycombs .

En honeycomb kallas regelbunden om isometrigruppen som bevarar plattsättningen verkar transitivt på flaggorna , där flaggan  är en vertex som ligger på en kant som hör till ansiktet (alla tillsammans). Varje vanlig honungskaka är automatiskt homogen. Det finns dock bara en typ av vanlig bikaka i euklidiska tredimensionella rymd - kubiska bikakor . Två celler är kvasi-regelbundna (gjorda av två typer av vanliga celler):

Den tetraedriska-oktaedriska bikakan och den roterade tetraedriska-oktaedriska bikakan består av lager som bildas av 3:e eller 2:a positioner av tetraedrar och oktaedrar. Ett oändligt antal unika celler kan erhållas genom att alternera dessa lager på olika sätt.

Rymdfyllande polyedrar

Tredimensionella bikakor som har alla celler identiska, inklusive symmetri, sägs vara celltransitiva eller isokoriska . En cell av sådana bikakor talas om som rymdfyllande polyedrar [2] .

Endast fem rymdfyllande polyedrar kan fylla 3-dimensionell euklidisk rymd genom att endast använda parallell translation. De kallas parallelloeder :

1. Kubiska bikakor (eller variationer: kubisk , rombisk hexagon eller kubisk );
2. Hexagonala prismatiska bikakor [3] ;
3. Rombiska dodekaedriska honeycombs ;
4. Avlånga dodekaedriska honungskakor [4] ;
5. Honeycomb från djupt trunkerade kuber [5] .

Andra anmärkningsvärda exempel:

• Triangulära prismatiska bikakor .
• Enhetliga roterade triangulära prismatiska bikakor
• Trunkerade triakistetraedriska honungskakor . Cellerna i Voronoi-mosaiken av kolatomer i diamant ser ut så här [6] .
• Trapets-rombiska dodekaedriska honungskakor [7] .
• Enkla isoedriska plattsättningar [8] .

Andra bikakor med två eller flera polyedrar

Ibland kan två [9] eller fler olika polytoper kombineras för att fylla ett utrymme. Ett välkänt exempel är Weir-Phelan-strukturen , lånad från strukturen av klatrathydratkristaller [10] .

Weir-Phelan struktur (med två typer av celler)

Icke-konvexa 3D-bikakor

Dokumenterade exempel är sällsynta. Två klasser kan särskiljas:

• icke-konvexa celler packade utan överlappning, liknande konkava polygonplattor; de inkluderar packning små stjärnformade rombiska dodekaedrar som i Yoshimotos kub ;
• mosaiker med överlagringsceller, där positiva och negativa densiteter "förstörs" med bildandet av ett kontinuum av enhetlig densitet, liknande mosaiker med överlagring på plan.

Hyperboliska honungskakor

I tredimensionellt hyperboliskt utrymme beror den dihedrala vinkeln på en polyeder på polyederns storlek. Vanliga hyperboliska honungskakor inkluderar två typer med fyra eller fem dodekaedrar som delar kanter. Deras dihedriska vinklar skulle då vara π/2 och 2π/5, båda mindre än de för den euklidiska dodekaedern. Förutom denna effekt uppfyller hyperboliska bikakor samma begränsningar som euklidiska bikakor och polyedrar.

4 typer av kompakta vanliga hyperboliska bikakor och många homogena hyperboliska bikakor undersöks .

Dualitet av bikakor i tre dimensioner

För alla celler finns det dubbla celler som kan bytas ut:

För korrekta celler:

• Kubiska honungskakor är självdubbla.
• Bikakor som består av oktaedrar och tetraedrar är dubbla bikakor av rombiska dodekaedrar.
• Skiktade bikakor som erhålls från enhetliga plana plattsättningar är dubbla de som erhålls från dubbla plattsättningar.
• De dubbla honungskakorna till resten av de arkimediska honungskakorna är celltransitiva och beskrivs i Inchbalds papper [11] .

Självdubbla honungskakor

Honeycombs kan vara självdubbla . Alla n - dimensionella hyperkubiska bikakor med Schläfli-symboler {4,3 n −2 ,4} är ​​självdubbla.

Se även

• Lista över enhetliga plattsättningar
• Lista över vanliga flerdimensionella polytoper och sammansättningar § Plattläggning av euklidiskt tredimensionellt rum

Anteckningar

1. ↑ Grünbaum, 1994 .
2. ↑ Weisstein, Eric W. Space-filling polyhedron  på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
3. ↑ [1] Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine Homogena rymdfyllande prismor baserade på triangel, kvadrat och hexagon
4. ↑ [2] Arkiverad 3 mars 2016 på Wayback Machine Homogena rymdfyllande rombisk-hexagonala dodekaedrar
5. ↑ [3] Arkiverad 14 januari 2006 på Wayback Machine Homogena rymdfyllande trunkerade oktaedrar
6. ↑ Voronoi Polyhedron
7. ↑ Qian, Strahs, Schlick, 2001 , sid. 1843–1850
8. ↑ Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005 , sid. 358-362.
9. ↑ Arkiverad kopia (länk ej tillgänglig) . Hämtad 16 maj 2012. Arkiverad från originalet 30 juni 2015.  (obestämd)  Gabbrielli, Ruggero. En trettonsidig polyeder som fyller rymden med sin kirala kopia.
10. ↑ Pauling, 1960 .
11. ↑ Inchbald, 1997 , sid. 213–219.

Litteratur

• HS M Coxeter . Kapitel 8: Transkation //Vanliga polytoper . — 3:e upplagan. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - P.  145-154 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Williams, R. Kapitel 5: Polyederpackning och utrymmesfyllning // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . - New York: Dover Publications , 1979. - s  . 164-199 .
• K. Critchlow. Ordning i rymden. - New York: Thames & Hudson Inc., 1997. - ISBN 0-500-34033-1 .
• Branko Grunbaum. Enhetlig plattsättning av 3-utrymmen // Geombinatorer . - 1994. - Utgåva. 4(2) .
• P. Pearce. Struktur i naturen är en strategi för design. — Cambridge, Massachusetts, London: MIT press, 1978.
• Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. Ett nytt program för att optimera periodiska gränsmodeller av solvatiserade biomolekyler (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. - 2001. - T. 22 , nr. 15 .
• O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Isoedriska enkla plattsättningar: binodala och byplattor med <16 ytor  // Acta Cryst. - 2005. - Utgåva. A61 .
• Linus Pauling. Den kemiska bindningens natur . - Cornell University Press, 1960. - ISBN 0-8014-0333-2 .
• G. Inchbald. The Archimedean Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. - 1997. - Utgåva. 81 , jul .

Länkar

• Ordlista för hyperrymden
• Fem rymdfyllande polyedrar , Guy Inchbald
• The Archimedean honeycomb duals , Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80 , november 1996, sid 466-475.
• Raumfueller (Space filling polyhedra) av TE Dorozinski

Grundläggande konvexa regelbundna och enhetliga bikakor i utrymmen med dimensionerna 2–10

Familj / / Homogen mosaik {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal Homogena konvexa bikakor {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 enhetlig femdimensionell bikaka {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Bikaka med 24 celler enhetlig sexdimensionell bikaka {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 enhetlig sjudimensionell bikaka {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ enhetlig åttadimensionell bikaka {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 enhetlig niodimensionell bikaka {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Enhetliga n - dimensionella bikakor {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21