Penrose mosaik

Mosaic Penrose ( Penrose tiles ) - det allmänna namnet på tre speciella typer av icke-periodisk uppdelning av planet; uppkallad efter den engelske matematikern Roger Penrose , som utforskade dem på 1970-talet.

Alla tre typerna, som alla aperiodiska plattor, har följande egenskaper:

Historik

Periodiska och aperiodiska plattsättningar

En plattsättning  är en täckning av ett plan med plattor utan mellanrum och överliggande plattor ovanpå varandra. Plattor kan vanligtvis ha ett ändligt antal olika former, kallade prototiler . En uppsättning prototiler sägs tillåta en plattsättning om det finns en plattsättning av planet med plattor som är kongruenta med prototilerna i uppsättningen.

En tiling kallas periodisk om det finns en tvåparameterfamilj av parallella översättningar , som var och en kombinerar den med sig själv. Annars kallas plattsättningen icke-periodisk. De mest kända plattsättningarna (som kvadratiska eller triangelplattningar ) är periodiska.

En uppsättning prototiler sägs vara aperiodisk om den tillåter en plattsättning av planet, men all plattsättning av dessa plattor är ickeperiodisk. En plattsättning av ett plan med plattor från en aperiodisk uppsättning kallas också aperiodisk.

Tidiga aperiodiska tesselleringar

På 1960-talet övervägde logikern Hao Wang problemet  med att kakla planet med kantfärgade rutor (nu kända som Wang-plattor ): är det möjligt att kakla planet med sådana rutor utan rotationer eller reflektioner, så att kvadraterna nuddar varandra med kanter av samma färg.

Wang observerade att om detta problem är algoritmiskt oavgörbart , så finns det en aperiodisk uppsättning Wang-plattor. Detta ansågs osannolikt vid den tiden, så Wang antog att kakelproblemet var lösbart.

Wangs student Robert Berger visade dock att kakelproblemet är algoritmiskt oavgörbart (det vill säga Wangs gissning var fel). Han byggde också Wangs aperiodiska brickuppsättning med 20 426 brickor. Därefter hittades aperiodiska uppsättningar med färre brickor. För tillfället är minimum en uppsättning av 13 brickor som hittades av Karel Chulik 1996 .

Baserat på Bergers resultat erhöll Rafael Robinson en aperiodisk uppsättning bestående av endast sex prototiler (rotationer och reflektioner är redan tillåtna).

Utveckling av Penrose-plattor

Den första typen av Penrose-plattor (P1) består också av sex prototiler, men de är inte baserade på en kvadrat, utan på en vanlig femhörning. Baserat på de idéer som Johannes Kepler uttryckte i Harmonices Mundi , kunde han hitta kakelformer och kombinationsregler som garanterade aperiodicitet i uppsättningen. Mosaik P1 kan ses som en förlängning av "figuren Aa" - den ändliga figuren avbildad av Kepler, sammansatt av regelbundna femhörningar, femuddiga stjärnor, dekagoner och några andra figurer.

Därefter lyckades Penrose minska antalet prototiler till två och erhöll ytterligare två typer av Penrose-plattor: från deltoider (P2) och från romber (P3). Penrose rhombus mosaik upptäcktes också oberoende av Robert Ammann .

1981 beskrev Nicholas de Bruijn ett algebraiskt sätt att konstruera Penrose-plattor baserat på fem familjer av parallella linjer (eller, alternativt, genom att skära ut femdimensionellt utrymme med ett tvådimensionellt plan).

Typer av Penrose-plattor

De tre typerna av Penrose-plattor har många gemensamma drag, så att formerna på plattorna i alla tre typerna är förknippade med den vanliga femhörningen och det gyllene snittet . I detta fall måste grundformulären kompletteras med kombinationsregler för att garantera aperiodicitet. Matchningsregler anger hur intilliggande brickor kan passa ihop och kan implementeras genom att tagga hörn, kanter eller en liten omformning (lägga till lämpliga åsar och dalar till kanter)

Original Penrose kakel (P1)

Denna typ av Penrose-plattor är byggd av sex typer av plattor: tre av dem är i form av en vanlig femkant (de skiljer sig åt i kombinationsregler), resten är i form av en femuddig stjärna, en "båt" ( liknar en stjärna med två strålar avskurna) och en romb.

Penrose mosaik av deltoider (P2)

Den andra typen av Penrose-plattor är byggd av två typer av plattor: en konvex deltoid (" orm ") och en konkav deltoid ("dart"). Dessa former kan kopplas ihop för att bilda en romb, men kombinationsreglerna förbjuder en sådan kombination av brickor i ett Penrose-kakel.

Kombinationsregler kan definieras på flera sätt. Det är möjligt att färga brickhörn med två färger och kräver att intilliggande hörn har samma färg. Det är möjligt att applicera ett mönster på brickorna, som på bilden till vänster, och kräva att mönstren på intilliggande brickor är konsekventa (vid färgade bågar till vänster, så att kurvorna inte går sönder).

En Penrose-platta av typ P2 kan ha sju typer av hörn. John Conway gav var och en sitt eget namn: de symmetriska topparna döptes till "solen" och "månen" i sin form, och resten av topparna döptes efter värdena för spelkort : "ess", "två" , "knekt", "drottning" och "kung". ".

Diamond Mosaic av Penrose (P3)

Den tredje typen är också byggd av två typer av plattor. Båda typerna av plattor är diamantformade. De har samma sidolängd men olika vinklar. Kombinationsregler förhindrar kakel från att användas för periodisk plattsättning.

En Penrose-platta av typ P3 kan ha åtta typer av hörn. De namngavs av de Bruijn efter de första bokstäverna i hörn av P2-typ.

Egenskaper för Penrose plattsättningar

Operationer för slipning och förgrovning

De flesta av de allmänna egenskaperna, inklusive aperiodicitet, följer av den hierarkiska strukturen som definieras av förfining och förstoring av Penrose-plattor.

Genom att skära alla brickor i Penrose-plattorna enligt vissa regler, och sedan kombinera några av fragmenten, kan man få ett Penrose-plattor med brickor liknande de ursprungliga med en koefficient

Denna operation kallas slipning. Reglerna i allmänhet är följande: varje typ av plattor skärs till mindre plattor och bitar av plattor. I fallet med P2 och P3 kommer delarna att vara halvor av brickorna (gyllene trianglar), i fallet med P1 kan dessa vara gyllene trianglar, samt en trapets. När du tillämpar dessa regler på Penrose-plattor, genom att följa kombinationsreglerna, kommer delar av plattorna att ordnas så att de kan kombineras till en hel bricka.

Den omvända operationen, som kallas förstoring, är unikt definierad. Det unika med utvidgningen innebär aperiodiciteten hos plattsättningen.

Andra plattsättningar associerade med Penrose plattsättningen

Täckning med dekagoner

1996 visade den tyska matematikern Petra Hummelt att det finns en täckning (till skillnad från plattsättning, där plattor tillåts överlappa) av planet med dekagoner, motsvarande Penrose-kakel. Den dekagonala brickan är tvåfärgad och regeln för sättning tillåter endast överlappande brickor så att två områden med olika färger inte överlappar varandra.

Sådana beläggningar har setts som en realistisk modell för tillväxten av kvasikristaller: de överlappande dekagonerna är "kvasienhetsceller", analoga med enhetscellerna i konventionella kristaller.

Tessellation "hexagon, båt, stjärna"

Denna tessellation, även kallad HBS för kort ( eng.  hexagon-boat-star ), erhålls från en Penrose plattsättning av typ P3 genom att kombinera plattor till större. Det erhålls också från P1 genom att sammanfoga mitten av intilliggande femhörningar.

Denna plattsättning anses också vara en realistisk modell för tillväxten av kvasikristaller: de tre typerna av plattor representerar de tre typerna av atomer, och kombinationsreglerna återspeglar interaktionerna mellan dem.

I 3D-rymden

I det tredimensionella rymden används ikosaeder , som tätt fyller tredimensionella rymden [2] .

I arkitektur

Imam Darb-is moské , belägen på det moderna Irans territorium i provinsen Isfahan och byggd 1453, är dekorerad med ett mönster ( girih ), som starkt påminner om Penrose-mosaiken.

Anteckningar

  1. ↑ Culik & Kari, 1997 .
  2. ↑ Penrose plattor . Hämtad 9 februari 2011. Arkiverad från originalet 22 september 2013.

Litteratur

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk