Aperiodisk mosaik

En aperiodisk plattsättning  är en icke-periodisk plattsättning med den ytterligare egenskapen att plattsättningen inte innehåller oändligt stora periodiska bitar. En uppsättning bricktyper (eller prototiler ) är en uppsättning icke-periodiska prototiler om kopior av dessa brickor endast kan bilda aperiodiska plattsättningar. Penrose-plattor [1] [2] är de mest kända exemplen på aperiodiska plattsättningar.

Aperiodiska plattsättningar fungerar som matematiska modeller för kvasikristaller , fysiska kroppar, som upptäcktes 1982 av Dan Shechtman [3] , som fick Nobelpriset 2011 [4] . Den specifika lokala strukturen för dessa material är dock fortfarande dåligt förstådd.

Vissa metoder för att konstruera aperiodiska mosaiker är kända.

Definition och illustration

Överväg en periodisk sättning av enhetsrutor (det ser ut som ett oändligt millimeterpapper ). Låt oss nu dela en kvadrat i två rektanglar. Den sålunda erhållna plattsättningen är inte periodisk – det finns ingen förskjutning som lämnar denna plattsättning oförändrad. Det är tydligt att det här exemplet är mycket mindre intressant än Penrose-plattan. För att utesluta sådana exempel definieras en aperiodisk plattsättning som en som inte innehåller godtyckligt stora periodiska delar.

En plattsättning kallas aperiodisk om dess hölje endast innehåller aperiodiska plattsättningar. Kuvertet av plattsättningen innehåller alla översättningar T+x av plattsättning T tillsammans med alla plattsättningar som kan approximeras av översättningen T . Formellt är detta stängningen av en uppsättning i den lokala topologin [5] . I en lokal topologi (motsvarande metriken) är två brickor -nära om de är lika i en cirkel med radie runt origo (kanske efter att en av brickorna har förskjutits ett avstånd mindre än ).

För att ge ett ännu enklare exempel, överväg en endimensionell plattsättning T av en linje som ser ut som ... aaaaaabaaaaa ... där a representerar ett intervall med längden ett och b representerar ett intervall med längden två. Sedan består plattsättningen T av ett oändligt antal kopior av a och en kopia av b (säg centrerat på 0). Nu är alla översättningar av T tilings med ett b någonstans och ett någon annanstans. En sekvens av plattsättningar där b är centrerad vid punkter konvergerar (i den lokala topologin) till en periodisk plattsättning som endast består av plattor a . T är alltså inte en aperiodisk plattsättning, eftersom dess stängning innehåller en periodisk plattsättning … aaaaaa ….

För många "bra" tesselleringar (till exempel substitutioner av brickor med ett ändligt antal lokala mönster) gäller påståendet: om en platta inte innehåller en punkt och upprepas (det vill säga varje platta inträffar med samma sannolikhet som den är sida vid sida), så är den aperiodisk [6] [5] .

Historik

Frågan om icke-periodiska plattsättningar uppstod först 1961, när logikern Hao Wang försökte ta reda på om dominoproblemet kunde lösas, det vill säga om det fanns en algoritm för att bestämma att en given ändlig uppsättning av protoplattor lade en plan. Wang hittade algoritmer för att lista uppsättningar av brickor som inte kan läggas på ett plan och uppsättningar av brickor som bricker planet med jämna mellanrum. Således visade han att en sådan algoritm existerar om det för någon ändlig uppsättning av prototiler som tillåter plattsättning av planet också finns en periodisk plattsättning. 1964 hittade Robert Berger en aperiodisk uppsättning, vilket visade att plattsättningsproblemet faktiskt är olösligt [7] . Detta var den första sådan uppsättning som användes i hans bevis på oavgörbarhet och innehöll 20 426 Wang-plattor. Berger minskade senare antalet brickor till 104, och Hans Löichli hittade en aperiodisk uppsättning av 40 Van-plattor [8] . Även en mindre uppsättning av sex aperiodiska brickor (baserat på Wang-plattor) upptäcktes av Raphael Robinson 1971 [9] . Roger Penrose hittade tre andra uppsättningar 1973 och 1974, vilket minskade antalet brickor som behövdes till två, och Robert Ammann hittade flera andra uppsättningar 1977 8] . År 2010 hittade Sokolar och Taylor en uppsättning av två brickor av samma typ (vanliga hexagoner), med en bricka symmetrisk till den andra [10] .

Aperiodiska Penrose-plattor kan genereras inte bara av aperiodiska uppsättningar av prototiler, utan också genom substitution och cut-and-project- metoden . Efter upptäckten av kvasikristaller började aperiodiska mosaiker att studeras intensivt av fysiker och matematiker. N. G. de Bruijns "cut-and-project"-metod för Penrose-plattor blev så småningom en del av Meyers mängdteori [11] [12] . För närvarande finns det en stor mängd litteratur om aperiodiska plattsättningar [5] .

Byggnader

Det finns flera metoder för att konstruera aperiodiska mosaiker. Flera konstruktioner är baserade på oändliga familjer av aperiodiska uppsättningar av plattor [13] [14] . Dessa funna konstruktioner fungerar i de flesta fall på flera sätt, främst genom att använda någon form av aperiodisk hierarkisk struktur. Trots detta säkerställer dominoproblemets olösbarhet att det måste finnas oändligt många olika konstruktioner och det finns faktiskt aperiodiska uppsättningar av plattor för vilka det är omöjligt att bevisa deras aperiodicitet.

Aperiodiska hierarkiska tessellationer

Hittills finns det ingen formell definition som beskriver när en mosaik har en hierarkisk struktur. Det är dock tydligt att ersättningar av plattor har en sådan struktur, precis som plattsättningarna av Berger, Knuth , Leuchli och Robinson . Liksom med termen "aperiodisk plattsättning" är termen "aperiodisk hierarkisk plattsättning" en bekväm förkortning för något som "en uppsättning plattor som endast tillåter aperiodisk hierarkisk plattsättning".

Var och en av dessa brickuppsättningar tvingar varje mosaik av dessa brickor att ha en hierarkisk struktur. (I många av följande exempel kan denna struktur beskrivas som ett kakelersättningssystem, enligt beskrivningen nedan). Ingen plattsättning av dessa brickuppsättningar kan vara periodisk, helt enkelt för att ingen parallell överföring kan lämna hela hierarkiska strukturen intakt. Tänk på Robinson-plattor från 1971:

All kakelsättning med dessa brickor kan bara ge en hierarki av kvadratiska rutnät - varje orange kvadrat i hörnet av en större kvadrat, och så vidare i oändlighet. Alla parallella översättningar måste vara mindre än storleken på någon kvadrat och kan därför inte lämna en sådan plattsättning invariant.

Robinson bevisade att dessa plattor måste bilda ett mönster induktivt. Som ett resultat bör brickorna bilda block som tillsammans representerar förstorade versioner av de ursprungliga brickorna, och så vidare. Denna idé att hitta en uppsättning brickor som bara kan utgöra hierarkiska strukturer används nu för att konstruera de flesta kända aperiodiska brickuppsättningar.

Ersättningar

Kakelersättningssystem ger en rik källa till aperiodisk plattsättning. En uppsättning brickor som tvingar fram en substitutionsstruktur sägs vara en forcerad substitutionsstruktur. Till exempel tillåter stolsplattorna som visas nedan substitutioner, och ett kakelersättningsfragment visas i figuren. Dessa kakelersättningar är inte nödvändigtvis periodiska, men stolsplattan är inte aperiodisk – det är lätt att hitta en periodisk plattsättning med dessa plattor.

Men brickorna som visas nedan tvingar fram substitutionsstrukturen hos stolsplattan och är därför aperiodiska [15] .

Penrose-plattor, och kort därefter några uppsättningar av Amman-plattor [16] , var de första exemplen baserade på påtvingade kakelersättningsstrukturer. Joshua Sokolar [17] [18] , Penrose, Roger [19] , Ludwig Danzer [20] och Chaim Goodman-Strauss [15] har hittat flera ytterligare uppsättningar. Shahar Moses gav den första allmänna konstruktionen, som visade att vilken produkt som helst av endimensionella substitutionssystem kan tvingas fram av substitutionsregler [14] . Charles Radin hittade tvingande regler för brickersättningssystemet för Conways Pinwheel-plattor [21] . 1998 visade Goodman-Strauss att lokala sammanfogningsregler kan hittas för alla brickbytesstrukturer som uppfyller vissa milda förhållanden [13] .

Klipp-och-projekteringsmetod

Mosaik utan perioder kan erhållas genom att projicera högdimensionella strukturer i ett utrymme med en lägre dimension, och under vissa omständigheter kan det finnas plattor som hindrar dessa strukturer från att ha en period, och därför blir mosaikerna aperiodiska. Penrose-plattor är det första och mest kända exemplet på sådana brickor, som man kan se i de Bruijns banbrytande arbete [22] . Det finns en ofullständig (algebraisk) beskrivning av klipp-och-projekterade plattsättningar som kan tvingas fram genom fogregler, även om många nödvändiga och tillräckliga villkor är kända [23] .

Andra tekniker

Endast ett fåtal andra typer av konstruktioner har hittats. I synnerhet gav Jarkko Kari en aperiodisk uppsättning Wang-brickor baserad på produkter med 2 eller 2/3 av de reella talen kodade av rader av brickor (kodningen är relaterad till Sturm-sekvenserna som erhålls som skillnaderna mellan successiva element i Beatty-sekvensen ), med aperiodicitet huvudsakligen relaterad på ett sätt till det faktum att 2 n /3 m aldrig är lika med 1 för något av de positiva heltal n och m [24] . Denna metod anpassades senare av Goodman-Strauss för att erhålla en strikt aperiodisk uppsättning plattor på det hyperboliska planet [25] . Shahar Moses har hittat många alternativa konstruktioner av aperiodiska uppsättningar av plattor, några i mer exotiska miljöer som halvenkla Lie- grupper [26] . Block och Weinberger använde homologiska metoder för att konstruera aperiodiska uppsättningar av plattor för alla icke-mottagliga sorter [27] . Joshua Socolar gav också ett annat sätt att tvinga fram icke-periodicitet i termer av alternerande förhållanden [28] . Detta leder i allmänhet till mycket mindre uppsättningar av brickor än uppsättningen som erhålls från ersättningarna.

Fysik av aperiodiska tesselleringar

Aperiodiska plattsättningar ansågs vara rent matematiska objekt fram till 1984, då fysikern Dan Shechtman tillkännagav upptäckten av en typ av aluminium-manganlegering som gav ett skarpt diffraktionsmönster med entydig femfaldig symmetri [3] . Detta ämne måste alltså vara ett kristallint ämne med icosoedrisk symmetri. 1975 hade Robert Ammann redan utökat Penrose-konstruktionen till en tredimensionell icosohedrisk motsvarighet. I sådana fall får termen "plattsättning" betydelsen av "utrymmesfyllning". Fotoniska enheter är nu byggda som aperiodiska sekvenser av olika lager, som är aperiodiska i en riktning och periodiska i de andra två. Strukturen av Cd-Te kvasikristaller visade sig bestå av atomlager i vilka atomer är ordnade i en platt aperiodisk form. Ibland visar sig energiminimum eller entropimaximum just på sådana aperiodiska strukturer. Steinhardt visade att Hummelts sammanlänkade dekagoner tillåter tillämpningen av extremumprincipen och ger därmed en länk mellan matematiska icke-periodiska tessellationer och strukturen av kvasikristaller [29] . Ett fenomen observerades när Faraday-vågor bildade stora fragment av aperiodiska mosaiker [30] . Fysiken i denna upptäckt återupplivade intresset för icke-proportionella strukturer och frekvenser, och ett antagande dök upp om sambandet mellan aperiodiska mosaiker och fenomenet interferens [31] .

Terminologiförvirring

Termen aperiodisk används i den matematiska plattsättningslitteraturen på många sätt (och även inom andra områden av matematiken, såsom dynamiska system och grafteori, i en helt annan mening). För plattsättningar används ibland termen aperiodisk som en synonym för icke-periodicitet. En icke- periodisk plattsättning är en plattsättning som inte har en icke-trivial parallellöversättning. Ibland används termen, explicit eller implicit, för att beskriva tessellationer som bildas av en aperiodisk uppsättning prototiler. Ofta har termen vagt använts för att beskriva strukturerna hos fysiska aperiodiska ämnen, nämligen kvasikristaller, eller något icke-periodiskt med någon form av global ordning.

Användningen av orden "mosaik" eller "kakel" är också problematisk, även när termerna är explicit definierade. Till exempel finns det ingen enskild Penrose-plattsättning  - Penrose-diamanter innebär ett oändligt antal plattsättningar (som inte kan särskiljas lokalt). Försöker vanligtvis att undvika användningen av dessa termer i den tekniska litteraturen, men termerna används ofta som informella.

Se även

• Girih (matematik)
• Lista över icke-periodiska brickuppsättningar
• Kvasikristall
• Zulliage

Anteckningar

1. ↑ Gardner, 1977 , sid. 111–119.
2. ↑ Gardner, 1988 .
3. ↑ 1 2 Schechtman, Blech, Gratias, Cahn, 1984 , sid. 1951–1953
4. ↑ Nobelpriset i kemi 2011 .
5. ↑ 1 2 3 Baake, Grimm, 2013 .
6. ↑ Det kan tyckas att det finns en tautologi här, men frånvaron av en period betyder att det i denna version av mosaiken inte finns någon period, och mosaikens aperiodicitet betyder att det är omöjligt att skapa en periodisk mosaik med samma brickor .
7. ↑ Berger, 1966 , sid. 1–72.
8. ↑ 1 2 Grünbaum och Shephard 1986 , sid. avsnitt 11.1.
9. ↑ Robinson, 1971 , sid. 177–209.
10. ↑ Socolar, Taylor, 2010 .
11. ↑ Lagarias, 1996 , sid. 356–376.
12. ↑ Moody, 1997 , sid. 403–441.
13. ↑ 1 2 Goodman-Strauss, 1998 , sid. 181–223.
14. ↑ 12 Mozes , 1989 , sid. 39–186.
15. ↑ 1 2 Goodman-Strauss, 1999 , sid. 375–384.
16. ↑ Grünbaum, Shephard, 1986 .
17. ↑ Senechal, 1995 .
18. ↑ Socolar, 1989 , sid. 10519–51.
19. ↑ Penrose, 1997 , sid. 467–497.
20. ↑ Nischke och Danzer 1996 , sid. 221–236.
21. ↑ Radin, 1994 , sid. 661–702.
22. ↑ de Bruijn, 1981 , sid. 39–52, 53–66.
23. ↑ Le, 1997 , sid. 331–366.
24. ↑ Kari, 1996 , sid. 259–264.
25. ↑ Goodman-Strauss, 2005 , sid. 119–132.
26. ↑ Mozes, 1997 , sid. 603–611.
27. ↑ Block, Weinberger, 1992 , sid. 907–918.
28. ↑ Socolar, 1990 , sid. 599–619.
29. ↑ Steinhardt .
30. ↑ Edwards, Fauve, 1993 .
31. ↑ Levy, Mercier, 2006 , sid. 115.

Litteratur

• Nobelpriset i kemi 2011 . — Nobelprize.org.
• Martin Gardner . Matematiska spel  // Scientific American. - 1977. - Januari ( vol. 236 ). — S. 111–119 .
• Martin Gardner . Penrose-plattor till Trapdoor-chiffer. - W. H. Freeman & Co, 1988. - ISBN 0-7167-1987-8 .
• Schechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn JW Metallisk fas med långvägsorienterande ordning och ingen translationssymmetri // Physical Review Letters. - 1984. - T. 53 , nr. 20 . — S. 1951–1953 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 . — .
• Baake M., Grimm U. Aperiodic Order. Vol 1: En matematisk inbjudan. — Cambridge University Press, 2013.
• Robert Berger. Dominoproblemets obeslutbarhet // Memoirs of the American Mathematical Society. - 1966. - T. 66 . — S. 1–72 .
• Raphael M. Robinson. Obestämbarhet och icke-periodicitet för plattsättning av planet // Inventiones Mathematicae . - 1971. - T. 12 , nr. 3 . — S. 177–209 . - doi : 10.1007/BF01418780 . - .
• Lagarias JC Meyers koncept med kvasikristaller och kvasiregulära uppsättningar  // Commun. Matematik. Phys.. - 1996. - Vol. 179 , nr. 2 . — S. 356–376 .
• Moody RV Meyer-uppsättningar och deras dualer // The Mathematics of Long Range Aperiodic Order, NATO ASI Series C. - 1997. - T. 489 . — S. 403–441 .
• Chaim Goodman Strauss. Matchningsregler och substitutionsplattor  // Annals of Mathematics . - Annals of Mathematics, 1998. - V. 147 , nr. 1 . — S. 181–223 . - doi : 10.2307/120988 . — .
• Chaim Goodman Strauss. En liten aperiodisk uppsättning plana plattor // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , nr. 5 . — S. 375–384 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0281 .
• Branko Grünbaum , Geoffrey C. Shephard. Kakel och mönster. - W. H. Freeman & Company, 1986. - ISBN 0-7167-1194-X .
• Marjorie Senechal. Kvasikristaller och geometri. - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0-521-57541-9 .
• Socolar JES Enkla oktagonala och dodekagonala kvasikristaller // Phys. Varv. F. - 1989. - T. 39 . — S. 10519–51 . - doi : 10.1103/PhysRevB.39.10519 . — .
• Penrose R. Anmärkningar om plattsättning: detaljer om en 1 +  ε  +  ε 2 -aperiodisk uppsättning // The mathematics long range aperiodic order, NATO Adv. sci. Inst. Ser. C. Math. Phys. Sci.. - 1997. - T. 489 . — S. 467–497 .
• Nischke K.-P., Danzer L. En konstruktion av inflationsregler baserade på n -faldig symmetri // Disc. och Comp. Geom.. - 1996. - V. 15 , nr. 2 . — S. 221–236 . - doi : 10.1007/BF02717732 .
• Mozes S. Plattläggningar, substitutionssystem och dynamiska system som genereras av dem // Journal d'Analyse Mathématique. - 1989. - T. 53 , nr. 1 . — S. 139–186 . - doi : 10.1007/BF02793412 .
• Charles Radin. Planets pinwheel-plattor  // Annals of Mathematics . - Annals of Mathematics, 1994. - V. 139 , nr. 3 . — S. 661–702 . - doi : 10.2307/2118575 . — .
• de Bruijn NG Algebraisk teori om Penroses icke-periodiska plattsättningar av planet, I, II // Nederl. Akad. Wetensch. Index. Math.. - 1981. - T. 43 . — S. 39–52, 53–66 .
• Le TTQ Lokala regler för kvasiperiodiska plattsättningar // The mathematics long range aperiodic order, NATO Adv. sci. Inst. Ser. C. Math. Phys. Sci.. - 1997. - T. 489 . — S. 331–366 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_13 .
• Jarkko Kari. En liten aperiodisk uppsättning Wang-plattor // Diskret matematik . - 1996. - T. 160 , nr. 1–3 . — S. 259–264 . - doi : 10.1016/0012-365X(95)00120-L .
• Chaim Goodman Strauss. En starkt aperiodisk uppsättning brickor i det hyperboliska planet  // Inventiones Mathematicae . - 2005. - T. 159 , nummer. 1 . — S. 119–132 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - .
• Shahar Moses. Aperiodisk plattsättning  // Inventiones Mathematicae . - 1997. - T. 128 , nr. 3 . — S. 603–611 . - doi : 10.1007/s002220050153 . - .
• Block J., Weinberger S. Aperiodiska plattsättningar, positiv skalär krökning och lämplighet för utrymmen // Journal of the AMS. - 1992. - V. 5 , nr. 4 . — S. 907–918 . - doi : 10.1090/s0894-0347-1992-1145337-x .
• Joshua Socolar. Svaga matchningsregler för kvasikristaller  // Comm. Matematik. Phys.. - 1990. - Vol. 129 , nr. 3 . — S. 599–619 . - doi : 10.1007/BF02097107 . - .
• Paul J. Steinhardt. Ett nytt paradigm för strukturen av kvasikristaller . Arkiverad från originalet den 23 februari 2007.
• Edwards WS, Fauve S. Parametriskt exciterade kvasikristallina ytvågor // Physical Review E. - 1993. - V. 47 , nr. 2 . - C. R788 - R791 .
• Levy JC. S., Mercier D. Stabila kvasikristaller // Acta Phys. superficierum. - 2006. - T. 8 . - S. 115 .
• Joshua ES Socolar1, Joan M. Taylor2. En aperiodisk hexagonal bricka  // Journal of Combinatorial Theory Series A. - 2010. - arXiv : 1003.4279v1 .

Länkar

• Den geometriska skrotgården
• Aperiodiska plattsättningar