Pythagoras mosaik

En pytagoreisk plattsättning ( plattläggning med två rutor ) är en plattsättning av det euklidiska planet med kvadrater av två olika storlekar, där varje kvadrat berör fyra rutor av olika storlek med sina fyra sidor. Utifrån denna mosaik är det möjligt att bevisa (intuitivt) Pythagoras sats [2] , för vilken mosaiken kallades Pythagoras [1] . Mosaik används ofta som kakelgolvsmönster . I detta sammanhang är en plattsättning även känd som ett klassmönster [3] .

Topologi och symmetri

Den pythagoriska plattsättningen är den enda plattsättningen med två rutor av olika storlek, där inga två rutor har en gemensam sida, och samtidigt kan två kvadrater av samma storlek mappas till varandra genom symmetrin i plattsättningen [ 4] .

Topologiskt har den pytagoreiska plattsättningen samma struktur som den trunkerade kvadratiska plattsättningen av kvadrater och regelbundna oktagoner [5] . De mindre rutorna i den pytagoreiska plattsättningen ligger i anslutning till fyra stora plattor, liksom kvadraterna i den trunkerade kvadratiska plattsättningen, medan de större kvadraterna i den pythagoreiska plattsättningen ligger i anslutning till åtta grannar, omväxlande stora och små, precis som åttakanterna i den trunkerade fyrkantig plattsättning. De två plattsättningarna har dock olika symmetri - den avkortade kvadratiska plattsättningen har dihedrisk symmetri runt mitten av varje bricka, medan den pythagoriska plattsättningen har en mindre cyklisk uppsättning symmetrier runt motsvarande punkter, vilket bildar en p4-symmetri [6] . Mosaiken är kiral , vilket innebär att den inte kan erhållas från spegelbilden endast genom parallella translationer och rotationer.

En enhetlig  plattsättning är en plattsättning där varje bricka är en vanlig polygon och där det finns en symmetri som mappar vilken vertex som helst till vilken annan vertex som helst. Vanligtvis krävs dessutom en enhetlig plattsättning för att brickor ska röra vid kant till kant, men om denna begränsning tas bort finns det ytterligare åtta enhetliga plattsättningar - fyra är bildade av oändliga remsor av kvadrater eller regelbundna trianglar, tre bildas av regelbundna trianglar och regelbundna hexagoner, och den åttonde är Pythagoras mosaik [7] .

Pythagoras sats och snitt

Mosaiken kallas Pythagoras eftersom den användes för att bevisa Pythagoras sats av 800-talets arabiska matematiker An-Nairizi och Thabit ibn Qurra , och på 1800-talet av den brittiske amatörmatematikern Henry Perigal [1] [8] [9] . Om sidorna av två rutor som bildar en mosaik betecknas med bokstäver och , då det närmaste avståndet mellan motsvarande punkter på identiska rutor kommer att vara , där är längden på hypotenusan i en rätvinklig triangel vars ben är lika med och . Till exempel, i bilden till vänster, har två rutor av Pythagoras plattsättning längder på 5 och 12 enheter, och längden på sidan av den överlagrade kvadratiska plattan (röda linjer) är 13, vilket motsvarar den pythagoras trippel (5 ) ,12,13).

Genom att lägga ett kvadratiskt gitter med en sida på en pytagoreisk plattsättning kan man få ett snitt i fem delar av två ojämna rutor med sidor och , av vilka man kan göra en kvadrat med sida , visar detta att de två mindre kvadraterna i totalt har samma yta som den stora kvadraten. På samma sätt kan överlagringen av två pythagoreiska plattsättningar användas för att erhålla ett snitt i sex delar av två ojämna rutor, från vilka två andra ojämna rutor kan läggas till [8] [10] .

Aperiodiska avsnitt

Även om själva pytagoreiska plattsättningen är periodisk (den har ett kvadratiskt gitter av parallella översättningar), kan dess sektioner användas för att bilda endimensionella icke- periodiska sekvenser [11] .

I "blockkonstruktionen" av aperiodiska sekvenser är en pytagoreisk mosaik konstruerad med två kvadrater, vars förhållande mellan längderna på sidorna är irrationellt (lika med ). I det här fallet väljs en linje som är parallell med sidorna av kvadraterna, och en sekvens av binära värden genereras beroende på kvadraten som linjen skär - 0 motsvarar skärningspunkten för den större kvadraten, och 1 motsvarar till skärningspunkten för den mindre kvadraten. I denna sekvens är förhållandet mellan förekomster av nollor och ettor i relation . Denna andel kan inte erhållas genom en periodisk följd av nollor och ettor, eftersom den är irrationell [11] .

Om du väljer det gyllene snittet som kvalitet har sekvensen av nollor och ettor som bildas på detta sätt samma rekursiva struktur som Fibonacci-ordet  - det kan delas upp i delsträngar av formen "01" och "0" ( det vill säga utan två på varandra följande ) och om dessa två delsträngar successivt ersätts med kortare strängar "0" och "1", får vi en annan sträng med samma struktur [11] .

Relaterade resultat

Enligt Kellers gissning måste varje sida vid sida av planet med identiska kvadrater innehålla två kvadrater som berör kant-till-kant [12] . Inga två rutor i en pythagorasisk plattsättning berör kant-till-kant [4] , men detta faktum bryter inte mot Kellers gissning, eftersom inte alla rutor är likadana.

Pythagoras plattsättning kan generaliseras till tredimensionell euklidisk rymd som en plattsättning av kuber av två olika storlekar som berör på ett liknande sätt. Attila Bölcskey kallar sådana tredimensionella tessellationer för Rogers tilings . Han föreslog att i alla dimensioner större än tre finns det ett unikt sätt att tessellera ett hyperkubutrymme av två olika storlekar med egenskaper som liknar de som beskrivits ovan (inga två hyperkuber har en gemensam sida och två valfria hyperkuber av samma storlek kan mappas till varandra genom plattsättningssymmetri) [13] [14] .

Burns och Rigby har hittat några prototiler , inklusive Koch-snöflingan , som kan användas för att tessellera ett plan med två eller flera kopior av olika storlekar [15] [16] . En tidigare uppsats av Danzer, Grünbaum och Shepard ger ett annat exempel, en konvex femhörning som bara bildar planet i en kombination av två dimensioner [17] . Även om den pythagoriska plattsättningen använder två olika storlekar av rutor, har kvadraterna inte samma egenskaper som de angivna prototilerna, som bara kan kaklas med två (eller fler) plattor av olika storlekar, eftersom planet kan kaklas med rutor av samma storlek.

Anteckningar

1. ↑ 1 2 3 Nelsen, 2003 , sid. 5–8.
2. ↑ Wells, 1991 , sid. 260–261.
3. ↑ Hopscotch: Det är mer än ett barns spel. — Tile Inc., augusti 2008. .
4. ↑ 1 2 Martini, Makai, Soltan, 1998 , sid. 481–495.
5. ↑ Grünbaum och Shephard 1987 , sid. 171.
6. ↑ Grünbaum och Shephard 1987 , sid. 42.
7. ↑ Grünbaum och Shephard 1987 , sid. 73–74.
8. ↑ 1 2 Aguilo, Fiol, Fiol, 2000 , sid. 341–352.
9. ↑ Grünbaum och Shephard 1987 , sid. 94.
10. ↑ Frederickson, 1997 , sid. 30–31.
11. ↑ 1 2 3 Steurer, Deloudi, 2009 , sid. 91–92.
12. ↑ Riktigheten av denna gissning för tvådimensionella plattsättningar var redan känd för Keller, men senare bevisades det att gissningen inte är sann för dimensioner åtta och högre. För genomgångar av resultat relaterade till hypotesen, se ( Zong 2005 ).
13. ↑ Bölcskei, 2001 , sid. 317–326.
14. ↑ Dawson ( 1984 ) gav en teckning av en tredimensionell mosaik som han tillskriver Rogers, men citerade ett papper från 1960 av Richard Guy .
15. ↑ Burns, 1994 , sid. 193–196.
16. ↑ Rigby, 1995 , sid. 560–561.
17. ↑ Danzer, Grünbaum, Shephard 1982 , sid. 568–570+583–585, figur 3.

Litteratur

• Walter Steurer, Sofia Deloudi. Kristallografi av kvasikristaller: koncept, metoder och strukturer. - Springer, 2009. - T. 126. - S. 91–92. - (Springer Series in Materials Science). - ISBN 978-3-642-01898-5 . - doi : 10.1007/978-3-642-01899-2 .
• David Wells. Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . - New York: Penguin Books, 1991. - s  . 260-261 . — ISBN 0-14-011813-6 .
• Horst Martini, Endre Makai, Valeriu Soltan. Ensidig plattsättning av planet med kvadrater i tre storlekar // Beiträge zur Algebra und Geometrie. - 1998. - T. 39 , nr. 2 . — S. 481–495 . .
• Branko Grünbaum, GC Shephard. Kakel och mönster. - W.H. Freeman, 1987. - P. 171.
• Francesc Aguilo, Miquel Angel Fiol, Maria Lluïsa Fiol. Periodiska plattsättningar som dissektionsmetod  // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , nr. 4 . — S. 341–352 . - doi : 10.2307/2589179 .
• Greg N. Frederickson. Dissektioner: Plane & Fancy . - Cambridge University Press, 1997. - S.  30-31 .
• Chuanming Zong. Vad är känt om enhetskuber // Bulletin of the American Mathematical Society. - 2005. - T. 42 , nr. 2 . — S. 181–211 . - doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 .
• Attila Bolcskei. Fylla utrymmet med kuber i två storlekar // Publicationes Mathematicae Debrecen. - 2001. - T. 59 , nummer. 3-4 . — S. 317–326 .
• RJM Dawson. Om att fylla utrymme med olika heltalskuber // Journal of Combinatorial Theory. Serie A. - 1984. - T. 36 , nr. 2 . — S. 221–229 . - doi : 10.1016/0097-3165(84)90007-4 .
• Chuanming Zong. Vad är känt om enhetskuber // Bulletin of the American Mathematical Society. - 2005. - T. 42 , nr. 2 . — S. 181–211 . - doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 .
• Roger B. Nelsen. Målningar, plana plattor och provtryck // Math Horizons. - 2003. - Utgåva. november . — S. 5–8 .
  • Återtryckt i Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy. The Edge of the Universe: Firar tio år av matematikhorisonter. - Mathematical Association of America, 2007. - S. 295-298. - ISBN 978-0-88385-555-3 .
  • Se även Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Charmiga bevis: en resa in i elegant matematik. - Mathematical Association of America, 2010. - V. 42. - S. 168-169. — (Dolciani matematiska utläggningar). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
• Aidan Burns. 78.13 Fraktalplattor  // Matematisk tidning. - 1994. - T. 78 , nr. 482 . — S. 193–196 . — .
• John Rigby. 79.51 Kakelsättning av planet med liknande polygoner av två storlekar  // Mathematical Gazette. - 1995. - T. 79 , nr. 486 . — S. 560–561 . — .
• Danzer L., Grünbaum B., Shephard GC Olösta problem: Kan alla plattor i en plattsättning ha femfaldig symmetri? // The American Mathematical Monthly. - 1982. - T. 89 , nr. 8 . - doi : 10.2307/2320829 .
• Aguilo F., Fiol MA, Fiol ML Periodiska plattsättningar som dissektionsmetod // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , nr. 4 . - doi : 10.2307/2589179 .