Osohedron

Uppsättningen av vanliga n -gonala hosoedrar

Ett exempel på en hexagonal oshedron på en sfär
Sorts Vanlig polyeder eller sfärisk plattsättning
Kombinatorik
Element
n  kanter
2 hörn 		X  = 2
Fasett n bikagoner
Vertex-konfiguration 2n _
Dubbel polyeder dihedron
Klassificering
Schläfli symbol {2, n }
Wythoff symbol n | 2 2
Dynkin diagram CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel n.pngCDel node.png
Symmetrigrupp D n h , [2,n], (*22n), ordning 4n
 Mediafiler på Wikimedia Commons

En n -gonal hosohedron är en beläggning av digoner  på en sfärisk yta, där varje sådan digon har två gemensamma hörn (motsatta punkter på sfären) med andra digoner.

En vanlig n-gonal hosohedron har Schläfli-symbolen {2,  n }, och varje digon har en inre vinkel på 2π/ n radianer (360/ n grader [1] [2] .

Osohedra som vanliga polyedrar

För vanliga polyedrar vars Schläfli-symbol är { m ,  n } kan antalet polygonala ytor hittas från formeln:

De reguljära polyedrarna , kända sedan antiken, är de enda polyedrarna som resulterar i heltalsdelning för m ≥ 3 och n ≥ 3. Begränsningen m ≥ 3 gör att polygonala ytor har minst tre sidor.

Om polyedrar anses vara sfäriska tessellations , kan denna begränsning lättas, eftersom digoner kan ses som sfäriska diagonala figurer som har en area som inte är noll . Antagandet m = 2 genererar en ny oändlig klass av vanliga polytoper, det vill säga osohedra.


En regelbunden triangulär oshedron, {2,3}, representerad som en plattsättning av tre dikagoner på en sfär.
En vanlig fyrkantig osohedron, representerad som en mosaik av fyra dikagoner på en sfär.
Familj av vanliga osohedra
n 2 3 fyra 5 6 7 åtta 9 tio elva 12 ...
Bild
Schläfli {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8} {2,9} {2,10} {2,11} {2,12}
coxeter CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 1x.pngCDel 0x.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 1x.pngCDel 1x.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 1x.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Ytor och
kanter 		2 3 fyra 5 6 7 åtta 9 tio elva 12
Toppar 2

Kalejdoskopisk symmetri

De tvåvinklade ytorna på 2 n -osoedern , {2,2n}, representerar fundamentala områden av dihedrisk symmetri : C nv , [n], (*nn), ordning 2 n . Reflexionsområden kan visas genom att färglägga digonerna en efter en. Dissektioner av digoner i två sfäriska trianglar skapar bipyramider och bestämmer den dihedriska symmetrin D nh , ordning 4 n .

Symmetri C lv C 2v C 3v C4v _ C5v _ C6v _
Osohedron {2,2} {2,4} {2,6} {2,8} {2,10} {2,12}
Grundläggande områden

Samband med Steinmetz kroppar

En fyrkantig osohedron är topologiskt likvärdig med en bicylinder , skärningen av två cylindrar i rät vinkel [3] .

Härledda polyedrar

Den dubbla polytopen för den n-gonala osoedern {2,  n } är den n -gonala dihedronen , { n , 2}. Polyedern {2,2} är självdual och är både en osoeder och en dihedron på samma gång.

Osohedronen kan modifieras på samma sätt som andra polyedrar och genererar trunkerade varianter. Ett stympat n -gonalt oshedron är ett n-gonalt prisma .

Oändligt vinklad oshedron

I gränsen blir osoedern oändligt vinklad och är en tvådimensionell plattsättning:

Osotoper

Högdimensionella analoger kallas i allmänhet för osotoper . En vanlig sototop med Schläfli-symbolen {2,p,...,q} har två hörn och {p,...,q} fungerar som vertexfigur vid båda hörnen.

Den tvådimensionella osotopen ( polygon ) {2} är en digon .

Etymologi

Termen "hosohedron" (hosohedron) föreslogs av G. S. M. Coxeter och kommer möjligen från grekiskan ὅσος ( osos ) "godtyckligt", vilket indikerar möjligheten för en osohedron att ha " godtyckligt många ansikten" [4] .


Uniform hexagonala dihedriska sfäriska polyedrar
Symmetri : [6,2] , (*622) [6,2] + , (622) [6,2 + ], (2*3)
CDel nod 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 6.pngCDel nod 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel nod 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel nod 1.pngCDel 2.pngCDel nod 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel nod 1.png CDel nod 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel nod 1.png CDel nod 1.pngCDel 6.pngCDel nod 1.pngCDel 2.pngCDel nod 1.png CDel nod h.pngCDel 6.pngCDel nod h.pngCDel 2x.pngCDel nod h.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel nod h.pngCDel 2x.pngCDel nod h.png
{6,2} t{6,2} r{6,2} t{2,6} {2,6} rr{2,6} tr{6,2 sr{6,2} s{2,6}
Deras dubbla polyedrar
V6 2 V12 2 V6 2 V4.4.6 v26 _ V4.4.6 V4.4.12 V3.3.3.6 V3.3.3.3
* n 32 symmetrialternativ för vanliga plattsättningar: n 3 eller { n ,3}
Sfärisk euklidisk Kompakt
hyperbolisk. 		Paracompact
. 		Icke-kompakt hyperbolisk.
{2,3} {3,3} {4,3} {5,3} {6,3} {7,3} {8,3} {∞,3} {12i,3} {9i,3} {6i,3} {3i,3}

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Coxeter, 1973 , sid. 12.
  2. ↑ McMullen & Schulte, 2002 , sid. 161.
  3. ↑ Weisstein, Eric W. Steinmetz Solid  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  4. ↑ Schwartzman, 1994 , sid. 108–109.

Litteratur

Länkar

 geometriska mosaiker
Periodisk
Aperiodisk
Övrig
Genom vertexkonfiguration
_
Sfärisk
Korrekt
halvkorrekt
_
Hyperbolisk
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3,14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4,14 2
  • 4,16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6,16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8,6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2
 Schläfli symbol
Polygoner
stjärnpolygoner
Plana parketter _
Vanliga polyedrar
och sfäriska parketter
Kepler-Poinsot polyedrar
honungskakor{4,3,4}
Fyrdimensionella polyedrar