Steinmetz kropp

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 januari 2022; kontroller kräver 14 redigeringar .

En Steinmetz-kropp är en kropp som erhålls genom skärningen av två eller tre cylindrar med samma radie vinkelrät mot varandra . Varje kurva som bildas av skärningspunkten mellan cylindrar är en ellips.

Skärningen mellan två cylindrar kallas en bicylinder . Topologiskt är cykeln ekvivalent med den kvadratiska oshedronen . Det finns också kroppar som liknar Steinmatz kropp, till exempel: skärningspunkten mellan tre cylindrar kallas en tricylinder, och hälften av en cykel kallas valv [1] . [2] Det kupolformade valvet i arkitektur är också ett valv.

Steinmetz-kropparna är uppkallade efter matematikern Charles Proteus Steinmetz [3] , som löste problemet med att hitta korsningsvolymen. Detta problem löstes dock långt före honom av Arkimedes i antikens Grekland [4] [5] , Zu Chongzhi i det antika Kina [6] och Piero della Francesca under den tidiga italienska renässansen [4] .

Cylinder

En cykel som bildas av två cylindrar med radier har en volym: , och en ytarea [1] [7] . $r$ $V={\frac {16}{3}}r^{3}$ $S=16r^{2}$

Den övre halvan av cykeln är en fyrkantig version av det slutna valvet , en kupolformad kropp vilande på en konvex polygon, vars horisontella sektioner är reducerade kopior av basen. Det finns liknande formler för att beräkna volymen och ytarean av en sluten båge som motsvarande kvantiteter (med några rationella koefficienter) av ett prisma med samma bas [8] .

Härleda volymformeln

För att få volymformeln är det bekvämt att använda den allmänna idén om att beräkna volymen av en sfär - summeringen av tunna cylindriska lager. I vårt fall kommer skikten att vara kvadratiska parallellepipeder (se figur). Då får vi:

V=\int _{-r}^{r}(2x)^{2}\mathrm {d} z=4\cdot \int _{-r}^{r}x^{2}\ mathrm {d} z=4\cdot \int _{-r}^{r}(r^{2}-z^{2})\mathrm {d} z={\frac {16}{3)) r^{3}

Det är känt att konvolymerna som är inskrivna i halvklotet (med halvklotets höjd och vilande på halvklotets bas), halvklotet och cylindern som beskrivs runt kulan (med halvklotets höjd) är relaterade som 1: 2: 3. Liknande påståenden gäller för hälften av cykeln:

Förhållandet mellan volymerna för den inskrivna fyrkantiga pyramiden ( ), hälften av cykeln ( ) och den omskrivna rektangulära parallellepipeden ( ) är lika med 1: 2: 3. $a=2r,h=r,V={\frac {4}{3}}r^{3}$ $V={\frac {8}{3}}r^{3}$ ${\displaystyle a=2r,\,h=r,\,V=4r^{3))$

Analytisk härledning

Tänk på cylinderformlerna:

${\displaystyle x^{2}+z^{2}=r^{2))$ och ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2))$

Volymen ges av formeln:

$V=\iiint _{V}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x$

Med gränser för integration:

$-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant z\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

$-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant y\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

$-r\leqslant x\leqslant r$

Genom byte får vi:

$V=\int \limits _{-r}^{r}\int \limits _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2))))^{\sqrt {r^ {2}-x^{2}}}\int \limits _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{ 2))}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x=8r^{3}-{\frac {8r^{3}}{3}}={\frac {16r^ {3}}{3}}$

Bevis på areaformeln

Ytan som övervägs består av två röda och två blå cylindriska bikagoner. En röd digon delas på mitten av yz-planet och viks ut på planet så att halva cirkeln (skärningen med yz-planet) viks ut i den positiva -axeln, och den utvikta biangeln avgränsas uppifrån av en båge . Därför är arean av denna ovikta figur (halva av diagonen) lika med: $\xi$ $\eta =r\sin \left({\frac {\xi }{r}}\right),\ 0\leqslant \xi \leqslant \pi r$

B=\int _{0}^{\pi r}r\sin \left({\frac {\xi}{r))\right)\mathrm {d} \xi =2r^{2}

och den totala ytan är:

A=8\cdot B=16r^{2}

Alternativt bevis på volymformeln

Utmatningen av volymen på en cykel (vit) kan göras genom att packas i en kub (röd). Skärningen av ett plan (parallellt med cylinderns axlar) och en bicylinder bildar en kvadrat, och skärningen med en kub bildar en större kvadrat. Skillnaden mellan områdena för dessa två rutor är densamma som de 4 små fyrkanterna (blå). När planet rör sig genom kroppen bildar dessa blå rutor fyrkantiga pyramider med likbenta ytor i kubens hörn. Pyramiderna har hörn i mitten av kubens fyra kanter. Planets avancemang genom hela cykeln kommer att skissera 8 pyramider.

Zu Chongzhis metod (liknande den odelbara metoden ) för att beräkna volymen av en sfär innebär att beräkna volymen av en cykel.
Förhållandet mellan tvärsnittsarean av ytan av en cykel och tvärsnittet av en kub

Volymen av en kub (röd) minus volymen av åtta pyramider (blå) är lika med volymen av en cykel (vit). Volymen av 8 pyramider är , och vi kan nu beräkna volymen på en cykel $\textstyle 8\times {\frac {1}{3}}r^{2}\times r={\frac {8}{3}}r^{3}$ $\textstyle (2r)^{3}-{\frac {8}{3}}r^{3}={\frac {16}{3}}r^{3}$

Tricylinder

Skärningen av tre cylindrar med vinkelräta skärande axlar bildar ytan av en kropp med hörn, som var och en konvergerar 3 kanter, och hörn, som var och en konvergerar 4 kanter. Nyckelfaktumet för att bestämma volymen och ytarean är observationen att en tricylinder kan sättas ihop från en kub vars hörn sammanfaller med hörnen på en tricylinder, där 3 kanter konvergerar (se figur), och 6 kurvlinjära pyramider (trianglar är delar) av cylindrarnas ytor). Volymen och ytarean av kurvlinjära trianglar kan beräknas på samma sätt som ovan för en cykel [1] [7] .

Volymen av en tricylinder är:

V=8(2-{\sqrt {2}})r^{3}

Och ytan är:

A=24(2-{\sqrt {2}})r^{2}.

Korsar fler cylindrar

För fyra cylindrar vars axlar motsvarar tetraederns höjder är volymen [1] [7] :

V fyra = 12 ( 2 2 − 6 ) r 3 {\displaystyle V_{4}=12\left(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}\right)r^{3}\,}

V_{4}=12\left(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}\right)r^{3}\,

För sex cylindrar vars axlar är parallella med diagonalerna på kubens ytor är volymen [1] [7] :

V_{6}={\frac {16}{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}-4{\sqrt {2}}\right)r^{3}\,

Se även

Nail

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 Steinmetz Solid ? . matematikvärlden. . Hämtad 27 oktober 2021. Arkiverad från originalet 28 oktober 2021. (obestämd)
↑ Kupolvalvet är en variant av det stängda valvet. Det stängda valvet har en rektangel vid basen, det kupolformade valvet har en kvadrat.
↑ Eves, 1981 , sid. 111.
↑ 12 Peterson , 1997 , sid. 33–40.
↑ Hogendijk, 2002 , sid. 199–203.
↑ Swetz, 1995 , sid. 142–145.
↑ 1 2 3 4 Moore, 1974 , sid. 181–185.
↑ Apostol, Mnatsakanian, 2006 , sid. 521–540.

Litteratur

Howard Eves. Slicing it thin // The matematical Gardner, Wadsworth International. - 1981. - S. 111.
Jan Hogendijk. Cylinderns yta och Arkimedes metod // Historia Mathematica . - 2002. - T. 29 , nr. 2 . — S. 199–203 . - doi : 10.1006/hmat.2002.2349 .
Frank J. Swetz. Volymen av en sfär: En kinesisk härledning // Matematikläraren. - 1995. - Februari ( vol. 88 , nummer 2 ). — S. 142–145 . — .
Mark A. Peterson. Piero della Francescas geometri // The Mathematical Intelligencer . - 1997. - T. 19 , nr. 3 . — S. 33–40 . - doi : 10.1007/BF03025346 .
Moore, M. Symmetriska skärningar av högra cirkulära cylindrar // The Mathematical Gazette . - 1974. - T. 58 , nr. 405 . — S. 181–185 . - doi : 10.2307/3615957 . — .
Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Fasta ämnen som omger sfärer // American Mathematical Monthly . - 2006. - T. 113 , nr. 6 . — S. 521–540 . doi : 10.2307 / 27641977 . — .

Länkar

En 3D-modell av Steinmetz solid i Google 3D Warehouse

Delar av verklig analys
Grunderna i analys	Euler funktion $\phi(n)$ Jordan funktion Binomialsatsen konvex funktion kontinuerlig visning Faktoriell Ändliga skillnader Fria och bundna variabler Funktionsdiagram Linjär funktion Radian Rolles sats Sekant Backe Tangent
gränser	Avslöjande av osäkerheter Funktionsgräns Ensidig gräns Sekvensgräns Approximationsordning (ε, δ)-definition av en gräns
Differentialkalkyl _	Funktionsderivata Differentialekvation Differentialoperatör Medelsats Notation Leibniz notation Newton notation Differentieringsregler Linjäritet Gradsdifferentiering Komplex funktionsdifferentiering L'Hopitals regel produktregel Leibniz formel Derivata av en bråkdel Andra tekniker Implicit differentiering Invers funktionsdifferentiering logaritmisk derivata Relaterade odds Stationära punkter Första derivattestet Andra derivattest Extremasatsen Extremum Andra applikationer Newtons metod Taylors teorem
Väsentlig	antiderivat Kurvlängd Integrationskonstant Huvudsats för analys Differentiering under integraltecknet Integrering av delar Substitutionsmetod Trigonometrisk substitution Euler-byten Weierstrass byte Nedbrytning till enklaste Kvadratisk integral Trapetsformad metod Volymer Brickmetod Delplottintegrering
Vektoranalys _	Derivat Rotor Riktningsderivat Divergens Lutning Laplacian Grundläggande satser gradientsats Greens teorem Stokes teorem Gauss-Ostrogradsky formel
Analys av funktioner för många variabler	Gauss-Ostrogradsky formel Geometrisk analys Hessiska funktioner Jacobian matris Lagrange multiplikatorer Krökt integral Matrisanalys Multipel integral Partiell derivat Ytintegrer Volymintegral Ytterligare kapitel Differentiella former Extern derivata Generaliserade Stokes teorem tensoranalys )
Sekvenser och rader	Aritmetisk-geometrisk progression Typer av rader tecken omväxlande Binom Fourier-serier geometriska serier Harmonisk Rad Kraft Maclaurin Taylor Teleskopisk Tecken på konvergens abel Leibniz Cauchy Jämförelse tecken Dirichlet Väsentlig Begränsa jämförelse D'Alembert Radikal Nödvändigt skick
Specialfunktioner och siffror	Bernoullis siffror e (nummer) Exponentiell funktion naturlig logaritm Stirling formel
Analys av infinitesimals	Lämplighet Brooke Taylor Colin Maclaurin Algebras universalitet Gottfried Wilhelm Leibniz Oändligt liten och oändligt stor Isaac Newton Fluxioner Fluxmetod Kontinuitetsprincipen Leonard Euler Metod för mekaniska satser