Tensoranalys

Tensoranalys är en generalisering av vektoranalys , ett avsnitt av tensorkalkyl som studerar differentialoperatorer som verkar på algebra av tensorfält i ett differentierbart grenrör . Vi betraktar också operatorer som verkar på mer generella geometriska objekt än tensorfält: tensordensiteter, differentialformer med värden i en vektorbunt. $D(M)$ $M$

Av störst intresse är operatorer vars verkan inte leder utanför algebra , bland dem är den kovarianta derivatan , Lie-derivatan , den yttre derivatan , krökningstensorn för en icke-degenererad, dubbelt kovarianstensor . $D(M)$

Kovariantderivata

Den kovarianta derivatan längs ett vektorfält är en linjär kartläggning av utrymmet för vektorfälten i grenröret , beroende på vektorfältet och som uppfyller villkoren: $X$ $\nabla _{X}$ $D^{1}(M)$ $M$ $X$

\nabla _{f}X+{}_{{gV}}Z=f\nabla _{X}Z,

\nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)Y,

där , , , , är smidiga funktioner på . Kopplingen och parallellöversättningen som definieras av denna operator tillåter oss att utöka verkan av den kovarianta derivatan till en linjär avbildning av algebra in i sig själv; dessutom är mappningen en differentiering, bevarar typen av tensorfältet och permuterar med faltning. $X$ $Y$ $Z\in D'(M)$ $f$ $g$ $M$ $\Gamma$ $D(M)$ $\nabla X$

I lokala koordinater definieras den kovarianta derivatan av en tensor med komponenter med avseende på en vektor som: $u^{1},\;u^{2},\;\ldots ,\;u^{n}$ $T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$ $X=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i))}$

\nabla _{X}T=\xi ^{s}\left({\frac {\partial T_{{j_{1}\ldots m}}^{{i_{1}\ldots i_{l}}} }{\partial u^{s}}}+\Gamma _{{k_{s}}}^{{i_{1}}}T_{{j_{1}\ldots j_{m}}}^{{ k\ldots i_{l}}}+\ldots -\Gamma _{{j_{{i,s}}}}^{k}T_{{k\ldots j_{m}}}^{{i_{1 }\ldots i_{l}}}}\right),

\Gamma _{{ks}}^{i}

är ett anslutningsobjekt .

\Gamma

Lögnderivata

Lie-derivatan längs vektorfältet är en mappning av det utrymme som definieras av formeln , där är kommutatorn för vektorfält , . Denna operatör sträcker sig också unikt till differentiering , bevarar typen av tensorer och pendlar med faltning . I lokala koordinater uttrycks derivatan av Lie-tensorn enligt följande: $X$ $L_{X}$ $D'(M)$ $L_{X}:Y\till [X,\;Y]$ $[X,\;Y]$ $X$ $Y$ $D(M)$ $T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$

L_{X}T=\xi ^{k}{\frac {\partial T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l)))){ \partial u^{k))}+T_{{k\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l))}{\frac {\partial \xi ^{k)) {\partial u^{i))}+\ldots -T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{k\ldots i_{l))}{\frac {\partial \xi ^ {{i_{1}}}}{\partial u^{k}}}-\ldots

Extern derivata

Den externa differentialen (extern derivata) är en linjär operator som associerar en extern differentialform (skev-symmetrisk kovariant tensor) med en grad med en form av samma typ och grad som uppfyller villkoren: $d$ $sid$ $p+1$

d(\omega _{1}\wedge \omega _{2})=d\omega _{1}\wedge \omega _{2}+(-1)^{r}\omega _{1}\wedge d\omega _{2},\quad d(d\omega )=0,

var är symbolen för den yttre produkten , är graden av . I lokala koordinater uttrycks den externa derivatan av tensorn enligt följande: $\kil$ $r$ $\omega_{1}$ $\omega \langle \omega _{{i_{1}\ldots i_{p}}}\rangle$

d\omega =\summa _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\partial \omega _{{i_{1}\ldots {\hat i}_ {k}\ldots i_{{p+1}}}}}{\partial u^{{i_{k}}}}}.

Operatören är en generalisering av operatören . $d$ ${\mathrm {röta}}$

Kurvaturtensor

Krökningstensorn för en symmetrisk icke-degenererad dubbelt kovariant tensor är verkan av någon icke-linjär operator : $g_{{if}}$ $R$

g_{if}\to R_{mlk}^{s}={\frac {\partial \Gamma _{km}^{s)){\partial u^{l))}-{\frac { \partial \Gamma _{kl}^{s}}{\partial u^{m}}}+\sum _{p}\left(\Gamma _{lp}^{s}\Gamma _{km}^ {p}-\Gamma _{mp}^{s}\Gamma _{kl}^{p}\right)

var

\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{är}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial u^{k ))}+{\frac {\partial g_{ks}}{\partial u^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial u^{s}}}\right)

Litteratur

Sokolnikov I. S. Tensoranalys. — M .: Nauka, 1971. — 374 sid.
Shouten Ya. A. Tensoranalys för fysiker. - M. : Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur av förlaget "Nauka", 1965. - 456 sid.
Shirokov P. A. Tensorkalkyl. - M. - L .: Gostekhizdat, 1934. - 464 sid.