Cauchy-Maclaurin integraltest

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 11 maj 2019; kontroller kräver 13 redigeringar .

Cauchy-Maclaurin integraltestet är ett test för konvergensen av en minskande positiv nummerserie . Cauchy-Maclaurin-testet gör det möjligt att reducera verifieringen av konvergensen av en serie till verifieringen av konvergensen av den felaktiga integralen av motsvarande funktion på , den senare kan ofta hittas explicit. $[1,\infty )$

Uttalande av satsen

Låt funktionen utföra: $f(x)$

$\forall x\geqslant 1\quad f(x)>0$ , dvs. funktionen tar positiva värden på intervallet ; $[1,+\infty )$
$\forall x_{1},x_{2}\geqslant 1\qquad x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$ , dvs. funktionen är monotont icke-ökande på ; $[1,+\infty )$
${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad f(n)=a_{n))$ (motsvarighet av värdet av funktionen till en medlem av serien).

Sedan konvergerar eller divergerar serien och den felaktiga integralen samtidigt. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\int \limits _{1}^{\infty }\!f(x)\,dx$

Skiss av beviset

Låt oss bygga stegvisa figurer på diagrammet som visas i figuren. $f(x)$
Arean av den större figuren är . $S_{b}=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)$
Arean av den mindre figuren är . $S_{s}=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)$
Arean av den kurvlinjära trapetsen under grafen för funktionen är $S_{{tr}}=\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx$
Vi får $S_{s}\leqslant S_{{tr}}\leqslant S_{b}\;\Rightarrow \;S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x )\,dx\leqslant S_{{n-1}}$
Vidare bevisas det med hjälp av kriteriet om konvergens av tecken-positiva serier .

Komplett bevis

$\forall b>1$ $f(x)$ är monotont på , så det finns. $[1,b]$ $\int \limits _{1}^{b}f(x)dx$

$\forall x\in [n,n+1]$ $f(n)\geqslant f(x)\geqslant f(n+1)$ , Följaktligen

$\forall n\in \mathbb {N} \qquad$ $\int \limits _{n}^{n+1}f(n)dx=f(n)\geqslant \int \limits _{n}^{n+1}f(x)dx\geqslant f(n+1)$ .
Därför, om det konvergerar, då $\int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx$

$S_{n}-f(1)=f(2)+...+f(n)\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant \ int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx<+\infty$ .
Därför är den begränsad. Och eftersom den är icke-minskande konvergerar den. $S_{n}$

Om det avviker , alltså $\int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx$ $\lim _{n\to \infty }\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx=+\infty$

$S_{n}=f(1)+...+f(n)\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)\,dx\to +\infty ,$ så serien skiljer sig åt.

Teoremet har bevisats.

Exempel ("referens"-serien)

Den generaliserade övertonsserien konvergerar vid och divergerar vid , sedan ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{p))))$ $p>1$ $p\leqslant 1$

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=\ln x|_{1}^{+\infty }=+\infty$ (fall ), $p=1$

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^ {1-p}\right|_{1}^{+\infty }={\frac {1}{p-1}}$ vid , $p>1$

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^ {1-p}\right|_{1}^{+\infty }=+\infty$ kl . $p<1$

$\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x))$ konvergerar vid och divergerar vid . Motivering måste övervägas . $q>1$ $q\leqslant 1$ $\int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x}}dx$
På grundval av jämförelse med dessa serier är tecknen på Raabe, Gauss, Bertrand och några andra baserade. Serien av "referens"-serier kan fortsätta, och utifrån dem kan en familj av allt finare egenskaper för långsamt konvergerande serier konstrueras.

Uppskattning av resten av serien

Det integrerade Cauchy-kriteriet tillåter oss att uppskatta resten av positiva teckenserier. Från uttrycket som erhållits i beviset $r_{n}$

S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{{n-1}}

Med hjälp av enkla transformationer får vi:

\int \limits _{{n+1}}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{n}\leqslant \int \limits _{n}^{\infty }f(x)\ ,dx\leqslant a_{n}+\int \limits _{{n+1}}^{\infty }f(x)\,dx

Se även

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken