Cauchys radikala tecken

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 december 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Cauchys radikala tecken är ett tecken på konvergens av en nummerserie :

Om för en nummerserie

\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}

med icke-negativa termer finns det ett tal , , så att, med utgångspunkt från ett tal, olikheten $q$ $0<q<1$

{\sqrt[{n}]{a_{n))}\leq q

då konvergerar denna serie; om, med utgångspunkt från något nummer

{\sqrt[{n}]{a_{n))}>1

då divergerar serien.

Om , då är detta ett tveksamt fall och mer forskning behövs. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$

Om, med utgångspunkt från något tal, , och det inte finns så att för alla , med utgångspunkt från något tal, då kan serien i detta fall både konvergera och divergera. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}<1$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n$

Begränsa form

Om det finns en gräns

{\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))))

då den betraktade serien konvergerar om , och om divergerar. $\rho<1$ $\rho >1$

Anmärkning 1. Om , så svarar Cauchys radikala test inte på frågan om seriens konvergens. $\rho=1$

Anmärkning 2. Om , men sekvensen tenderar till sin gräns från ovan, så divergerar serien. $\rho=1$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n))))$ $\rho$

Bevis

Först och främst bör det noteras att om Cauchy-kriteriet är uppfyllt för sekvensen , med utgångspunkt från något nummer , så kan vi överväga en undersekvens av sekvensen , bara från detta nummer. En serie sammansatt av en sådan undersekvens kommer att konvergera. Men då kommer den ursprungliga serien också att konvergera, eftersom det ändliga antalet initiala termer i sekvensen inte påverkar seriens konvergens. I det här fallet, för att förenkla beviset, är det vettigt att acceptera , det vill säga att acceptera att Cauchy-kriteriet är uppfyllt för alla naturliga . ${\displaystyle \{a\))$ $N$ ${\displaystyle \{a\))$ $N-1$ ${\displaystyle \{a\))$ $N=1$ $n$

Låt ojämlikheten vara sann för alla naturliga tal , där . Sedan kan du skriva , , ..., , och så vidare. Eftersom och , och alla medlemmar i sekvensen är icke-negativa, kan systemet av ojämlikheter skrivas om enligt följande: , , …, , och så vidare. Lägger vi till de första ojämlikheterna får vi . Detta betyder att den e delsumman av serien är mindre än den e delsumman av en minskande geometrisk progression med initial term . Summan av en oändligt minskande geometrisk progression konvergerar därför, genom kriteriet att jämföra serier med positiva tecken, konvergerar den ursprungliga serien också. $n$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $0<q<1$ ${a_{1}}\leq q$ ${\sqrt {a_{2))}\leq q$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leq q$ $q$ ${\displaystyle \{a\))$ ${a_{1}}\leq q$ ${a_{2}}\leq {q^{2}}$ ${a_{n}}\leq {q^{n}}$ $n$ ${a_{1}}+...+{a_{n}}\leq q+...+{q^{n}}$ $n$ $n$ $q$
Låt (för alla naturliga ): då kan vi skriva . Detta betyder att modulen för sekvensmedlemmarna inte tenderar mot noll i oändligheten, och följaktligen tenderar sekvensen i sig inte till noll. Det nödvändiga villkoret för konvergens av någon serie är inte uppfyllt. Därför skiljer sig serien åt. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\geq 1$ $n$ $a_{n}\geq 1$ ${\displaystyle \{a\))$ ${\displaystyle \{a\))$
Låt för alla naturliga . Dessutom finns det inget sådant för alla naturliga . I detta fall kan serien antingen konvergera eller divergera. Till exempel, både serier och uppfyller detta villkor, och den första serien (harmonisk) divergerar, och den andra konvergerar. Faktum är att serien är sann för alla naturliga , förutom . Samtidigt, eftersom , betyder detta att för alla , är det möjligt att välja ett tal så att , och samtidigt, med utgångspunkt från något nummer, kommer alla medlemmar av sekvensen , där , att vara i intervallet , dvs. , . Och detta betyder att det inte finns något sådant för alla naturliga . Dessa argument kan upprepas för den andra raden: detsamma gäller för alla , . Den andra serien konvergerar dock. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}<1$ $n$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ ${\sqrt[{n}]{|{a_{n}}|}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{n}}}={\left({\frac {1}{n}}\right)^{\frac {1}{n}}}<1$ $n$ $n=1$ $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$ $q$ $0<q<1$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ $\{b\}$ ${b_{n}}={\sqrt[{n}]{a_{n}}}$ $(1-\varepsilon ;1)$ ${b_{n}}>q$ $q$ $0<q<1$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n>1$ $n>1$ ${\sqrt[{n}]{|{a_{n}}|}}<1$ $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$

Exempel

1. Rad

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}

konvergerar, eftersom villkoret för den begränsande formen för det radikala testet av Cauchy-satsen är uppfyllt

\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}

2. Tänk på serien

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\left({\frac {n-1}{n+1}}\right)}^{{n(n-1)))

\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\left({\frac {n- 1}{n+1}}\right)}^{{n-1}}=\lim _{{n\to \infty }}{\left(1-{\frac {2}{n+1} }\right)}^{{n-1}}=e^{{-2}}<1\Rightarrow

serien konvergerar.

Se även

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken