Teleskopskylt

Det teleskopiska tecknet ( Cauchys förtjockningstecken ) är ett tecken på konvergens av numeriska serier med positiva termer, etablerat av Augustin Cauchy 1821 [1] .

Formulering

Låt följande gälla för medlemmarna i serien: $f(n)$

sekvensen är monotont avtagande $\{f(n)\}$
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - medlemmar är icke-negativa

Sedan konvergerar eller divergerar serien samtidigt med serien . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

Bevis

1. Genom satsens villkor är sekvensen av termer monotont avtagande, d.v.s. någon medlem av sekvensen får inte vara mindre än varje efterföljande, vilket innebär att summan av termerna, med början från , inte överstiger : $\{f(n)\}$ $m$ $f(n)$ $m\cdot f(n)$

\sum _{i=n}^{n+m-1}f(i)\leq m\cdot f(n)

Vi grupperar medlemmarna i serien och med den här egenskapen med en minskande sekvens får vi: $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }f(n)&=f(1)+\underbrace {f(2)+f(3)} _{\leq f(2)+f(2)}+\underbrace {f(4)+f(5)+f(6)+f(7)} _{\leq f(4)+f(4)+f( 4)+f(4)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n}+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1) } _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+\cdots +f(2^{n})}+\cdots \\&\leq f(1)+2f( 2)+4f(4)+\cdots +2^{n}f(2^{n})+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^ {n}).\end{aligned}}

Det vill säga, om serien konvergerar, så konvergerar serien enligt jämförelsekriteriet desto mer. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

2. På liknande sätt:

{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=\underbrace {f(1)+f(2)} _{\leq f(1)+f(1)}+\underbrace {f(2)+f(4)+f(4)+f(4)} _{\leq f(2)+f(2) )+f(3)+f(3)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n+1})+\cdots +f(2^{n+1 })} _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+f(2^{n}+1)+f(2^{n}+1)+\cdots + f(2^{n+1}-1)}+\cdots \\&\leq f(1)+f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3) +\cdots +f(n)+f(n)+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).\end{aligned))

Det vill säga, om serien divergerar, så divergerar serien enligt jämförelsekriteriet desto mer. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq 2\summa _{n=1}^{\infty }f(n).

■

Generaliseringar

1864 visade Joseph Bertrand att istället för en serie i denna sats kan vilken serie som helst av formen användas: [2] $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

\sum _{n=0}^{\infty }m^{n}f(m^{n})

, var

m\in \mathbb {N} ,m\geq 2

År 1902 utökade Émile Borel denna sats ytterligare genom att använda en serie av formen istället för en serie: [3] $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}f([a]^{n})

, var

a\in \mathbb {R} ,a>1

Här är heltalsdelen av . $[a]$ $a$

Schlömilchs kondensationsskylt

År 1873 bevisade Oskar Schlömilch en annan generalisering av teleskopfunktionen [4] :

Låt följande gälla för medlemmarna i serien: $f(n)$

sekvensen är monotont avtagande $\{f(n)\}$
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - medlemmar är icke-negativa

Sedan konvergerar eller divergerar serien samtidigt med serien och . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }(2n-1)\cdot f(n^{2})$ $\sum _{n=1}^{\infty }2n\cdot f(n^{2})$

Knopps tecken på kondens

I sin bok från 1922 formulerade Konrad Knopp följande generalisering av den teleskopiska egenskapen.

Låta:

$\{f(n)\}$ är en monotont avtagande sekvens (termer för serien)
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - sekvensen är icke-negativ
$\{u_{n}\}$ är någon strikt ökande sekvens
$u_{n}\in \mathbb {N}$ (vilket betyder ) $u_{n}>0$ $\forall n$
sekvens begränsad $\{r_{n}\}=\left\{{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}\right\}$

Sedan konvergerar eller divergerar serien samtidigt med serien . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1}-u_{n})f(u_{n})$

Denna sats tillskrivs ibland Schlömilch [5] .

Till exempel, om vi betraktar en sekvens som uppfyller kraven i satsen för en godtycklig fix , då enligt denna sats konvergerar eller divergerar serien samtidigt med serien , och eftersom multiplikation av serien med en konstant som inte är noll påverkar inte dess konvergens, den ursprungliga serien konvergerar eller divergerar samtidigt med serien vid valfri vald konstant . $u_{n}=c^{n}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {N} \setminus \{1\))$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $(c-1)\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ $c\in \mathbb {N} ,\;c\neq 1$

Anteckningar

↑ Cauchy AL I.re partie: Analyze algébrique // Cours d'analyse de l'École royale polytechnique. Paris: Visn. royale Debure frères, 1821. - s. 135-136. — 576 sid.
↑ Bertrand J. Premiärfest. Calcul Différentiel // Traité de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral (franska) . - Paris: Gauthier-Villars, 1864. - S. 234-235. — 780 s.
↑ Borel E. Leçons sur les Séries a Termes Positifs (franska) . - Paris: Gauthier-Villars, 1902. - 91 sid.
↑ Schlömilch O. Ueber dei gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen (tyska) // ZfMuP. - 1873. - Bd. b28 . - S. 425-426 .
↑ Bonar, Khoury, 2006 , sats 2.4 med bevis.

Länkar

Weisstein, Eric W. Cauchy Condensation Test (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
D. D. Bonar och M. Khoury, Jr. Mer sofistikerade tekniker // Real Infinite Series . - Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. - s . 43-45 . — 264 sid. — ISBN 0-88385-745-6 .

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken