Tecken på Ermakov

Ermakovs tecken är ett tecken på konvergens av numeriska serier med positiva termer, fastställd av Vasily Ermakov . Dess specificitet ligger i det faktum att den överträffar alla andra tecken med sin "känslighet". Detta arbete publicerades i artiklarna: "The general theory of the convergence of series" ("Mathematical Collection", 1870 och "Bullet. des sciences mathém. et astronom.", 2-me série, t. III), "A nytt kriterium för konvergens och divergens oändliga alternerande serier" ("Universitetskie Izvestia vid universitetet i St. Vladimir" för 1872).

Formulering

Låt funktionen utföra: $f(x)$

$f(x)>0\;\förallt x$ (funktionen accepterar endast positiva värden);
funktionen minskar monotont som . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Sedan konvergerar serien om följande olikhet gäller för: $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $x\geqslant x_{0}$

\varepsilon (x)={\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda

var . $\lambda<1$

Om för , så skiljer sig serien åt. $\varepsilon(x)\geqslant 1$ $x\geqslant x_{0}$

Bevis [1]

1. Låt följande ojämlikhet bestå:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda .

Vi multiplicerar båda sidor av denna ojämlikhet med och integrerar med hjälp av substitutionen : $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt=\int \limits _{{x_{0}}} ^{x}f(e^{u})\cdot e^{u}\,du\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt ,

härifrån

(1-\lambda )\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant \lambda \left(\ int \limits _{{x_{0}}}}^{x}f(t)\,dt-\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{ x }}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \left(\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f ( t)\,dt-\int \limits _{x}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0} } }^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt,

eftersom subtrahenden i de sista parenteserna är positiv. Därför, dividera ojämlikheten med , får vi: $e^{x}>x$ $1-\lambda$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {\lambda }{(1-\ lambda )}}\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt.

Om vi lägger till integralen på båda sidor får vi $\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}\,f(t)dt$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {1}{(1-\lambda )))\int \ gränser _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt=L.

Med tanke på att kl $e^{x}>x$ $x\geqslant x_{0}$

\int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt\leqslant L.

Eftersom integralen ökar med ökande och, finns det en ändlig gräns för den vid : $x$ $x\till \infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt\leqslant L.

Eftersom denna integral konvergerar, enligt Cauchy-Maclaurin integraltestet , konvergerar serien också. $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

2. Låt nu följande ojämlikhet gälla:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\geqslant 1.

Om vi multiplicerar båda delarna av denna ojämlikhet med och integrerar, med hjälp av substitutionen på vänster sida , får vi: $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt.

Låt oss lägga till integralen på båda sidor : $\int \limits _{x}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt$

\int \limits _{{x}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_ {0}}}}}f(t)\,dt=\gamma .

För då . Vi definierar nu sekvensen enligt följande: $x_{0}<e^{{x_{0}}}$ $\gamma >0$ $\{x_i\}$

x_{i}=e^{{x_{{i-1}}}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,\;\ldots

Med denna sekvens kan den sista olikheten skrivas som:

\int \limits _{{x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant \gamma .

Vi summerar denna integral över : $i=0,\;1,\;\ldots ,\;n$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{x_{n}}}f(t)\,dt=\summa _{{i=1}}^{n}\int \limits _{ {x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant n\gamma ,

det vill säga denna integral är obegränsad för . Det är därför: $n\till\infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{{x\to \infty }}\int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt=+\infty .

Eftersom denna integral divergerar, enligt Cauchy-Maclaurin integraltestet, divergerar serien också. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

Formulering i gränsform

Om det finns en gräns:

\varepsilon =\lim _{{x\to \infty }}\varepsilon (x),

sedan för , serien konvergerar, och för , den divergerar. $\varepsilon<1$ $\varepsilon >1$

Generalisering [2]

Låt funktionen utföra: $f(x)$

$f(x)>0\;\förallt x$ (funktionen accepterar endast positiva värden);
funktionen minskar monotont som . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Låt oss ta någon funktion , som: $\varphi (x)>x$

$\varphi (x)>0\;\forall x$ (funktionen accepterar endast positiva värden);
ökar monotont;
har en kontinuerlig variabel.

Sedan konvergerar serien om följande olikhet gäller: $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\leqslant \lambda <1

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\geqslant 1

då divergerar serien.

Anteckningar

↑ Fikhtengolts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl . — M .: Nauka, 1970.
↑ A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov. Handbok i matematik för ingenjörer och vetenskapsmän. - 2006. - S. 340. - 1544 sid. - ISBN 978-1420010510 .

Litteratur

Ermakov tecken - artikel från Encyclopedia of Mathematics

Länkar

Weisstein, Eric W. Ermakoffs test (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken