Tecken på Schlömilch

Formulering

Om det finns sådana att, med utgångspunkt från något tal , gäller följande olikhet: $\delta>0$ $n$

S_{n}=n\cdot \ln \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)\geqslant 1+\delta ,

sedan konvergerar serien. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Om , utgående från några , så avviker serien. $S_{n}\leqslant 1$ $n$

Om det finns en gräns :

{\displaystyle S=\lim _{n\to \infty }S_{n))

sedan för , serien konvergerar, och för , den divergerar. $S>1$ $S<1$

Kommentar. Om , då svarar inte Schlömilch-kriteriet på frågan om seriens konvergens. $S=1$

Schlömilch-tecknet låter dig fastställa konvergensen för vissa serier för vilka Raabe-tecknet inte är tillämpligt [1] . Till exempel, för en rad:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!] ^{2}}}

förhållandet mellan angränsande medlemmar:

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n) -1)!!]^{2))}\cdot {\frac {[(2n+1)!!]^{2)){4^{n}[n!]^{2))}={ \frac {1}{4}}\cdot {\frac {(2n+1)^{2}}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}

;

Raabes tecken för honom ger:

R_{n}=1+{\frac {1}{4n}}\xrightarrow {n\to \infty } 1

och tecknet Schlömilch:

S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\xrightarrow {n \to \infty } 0

På liknande sätt bekräftar Bertrand-testet också konvergensen av denna serie:

B_{n}={\frac {\ln n}{4n))\xrightarrow {n\to \infty } 0

Schlömilchs skylt är dock mindre känsligt än Bertrands tecken. Till exempel tillåter det inte att fastställa konvergensen av serien: [1]

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2))}

För honom är förhållandet mellan närliggande termer:

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!] ^{2}}}\cdot {\frac {[(n+2)!]^{2}}{n!\cdot (n+3)!}}={\frac {(n+2)^{ 2}}{n\cdot (n+3)}}=1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}

Raabes tecken för honom ger:

R_{n}=n\cdot {\frac {n+4}{n^{2}+3n))={\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n }}\xrightarrow {n\to \infty } 1

samt Schlömilch-tecknet:

S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}\höger)\xrightarrow {n\to \infty } 1

Å andra sidan indikerar Bertrand-testet entydigt konvergensen av denna serie:

B_{n}=\ln n\cdot \left({\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n))-1\right)={\frac {\ln n}{n+3}}\xhögerpil {n\to \infty } 0

↑ 1 2 Franciszek Prus-Wiśniowski, Jämförelse av Raabes och Schlömilchs tester Arkiverad 29 januari 2022 på Wayback Machine , Tatra Mt. Matematik. Publ. 42 (2009), 119-130

Subir Kumar Mukherjee. Sats 15 // Första kursen i verklig analys (engelska) . - Kolkata: Academic Publishers, 2009. - S. 190. - 383 s. — ISBN 9788189781903 .

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken