Tecken på Raabe

Raabe -tecknet ( Raabe-Duhamel- tecken ) är ett tecken på konvergens av teckenpositiva numeriska serier , etablerat 1832 av Joseph Ludwig Raabe [ 1] och självständigt 1839 av Jean-Marie Duhamel [2] .

Formulering

Serien konvergerar om, för tillräckligt stor , ojämlikheten $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n$

R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-1\right)\geqslant r,

var . $r>1$

Om , utgående från några , så avviker serien. $R_{n}\leqslant 1$ $n$ $en$

Om det finns en gräns:

R=\lim _{{n\to \infty }}R_{n}

sedan för , serien konvergerar, och för , den divergerar. $R>1$ $R<1$

Kommentar. Om , så svarar inte Raabe-kriteriet på frågan om seriens konvergens. $R=1$

Beviset är baserat på användningen av kriteriet för att jämföra relationer jämfört med en generaliserad övertonsserie.

För kriteriet i den begränsande formen ger 2, vilket betyder seriens konvergens. $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$

D'Alemberts konvergenstest är ett liknande test baserat på förhållandet mellan angränsande termer.

↑ JL Raabe. Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Reihen (tyska) // Zeitschrift für Physik und Mathematik. - 1832. - Bd. 10 . - S. 41-74 .
↑ M. Duhamel. Nouvelle règle pour la convergence des séries (franska) // J. de mathématiques pures et appliquées. - 1839. - Vol. 4 . - S. 214-221 .

Arkhipov, G. I., Sadovnichiy, V. A., Chubarikov, V. N. Föreläsningar om matematisk analys: Lärobok för universitet och ped. universitet / Ed. V. A. Sadovnichy. - M . : Higher School , 1999. - 695 sid. - ISBN 5-06-003596-4 . .
I. M. Vinogradov. Raabe tecken // Mathematical Encyclopedia. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1977-1985. (ryska)

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken