Euler-byten

Euler- substitutioner är substitutioner som reducerar integraler av formen , där är en rationell funktion, till integraler av rationella funktioner. Föreslagen av L. Euler 1768 [1] [2] . $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx$ $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$

Ersättningar

Första utbytet

Används när . Följande byts ut: $a>0$
$\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm t \pm \sqrt{a}x$

Andra bytet

Används när . Följande byts ut: $c>0$
$\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm xt \pm \sqrt{c}$

Tredje bytet

Det används när det radikala uttrycket har två reella rötter. Ersättningen görs: , där är en av rötterna [1] .
${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm t(x-\lambda )$ $\lambda$

Intressanta fakta

Enligt memoarerna från Landaus student A. I. Akhiezer var han extremt negativ till användningen av dessa ersättningar:

<...> han [Landau] föreslog att jag skulle beräkna <...> integralen av en rationell bråkdel. <...> Jag räknade utan att använda de vanliga Euler-ersättningarna, och detta räddade mig, eftersom, som jag förstod senare, Landau inte tolererade dem och trodde att det varje gång var nödvändigt att använda någon form av konstgjord trick, som i faktiskt, det gjorde jag.

— Minnen av L. D. Landau [3]

Anteckningar

↑ 1 2 Euler substitution // Stora sovjetiska uppslagsverket / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M .: Soviet Encyclopedia , 1978. - T. 29: Chagan - Aix-les-Bains. - S. 575. - 632 000 exemplar.
↑ Auctore Leonhardo Eulero. Institutionum calculi integralis . - Petropolis , 1768. - Vol. 1. - S. 57-61.
↑ Minnen av L. D. Landau / Ed. ed. acad. I. M. Khalatnikov. — Antologi. — M .: Nauka , 1988. — S. 49 . — 354 sid. — 23 100 exemplar. - ISBN 5-02-000091-4 .

Länkar

I. M. Vinogradov. Euler substitution // Mathematical Encyclopedia. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1977-1985. (ryska)
Ett exempel på att använda Euler-substitutioner på PlanetMath