Multipel integral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 december 2020; verifiering kräver 1 redigering .

I matematisk analys är en multipel- eller multipelintegral en uppsättning integraler hämtade från variabler. Till exempel: $\d > 1$

{\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int } _{d}f(x_{1},\ldots ,x_{d})dx_{1}\cdots dx_{d))

Notera: en multipelintegral är en bestämd integral, och när den beräknas erhålls alltid ett tal.

Definition av en multipelintegral

Låta vara en mätbar [1] uppsättning av ett n-dimensionellt reellt utrymme, vara en funktion på . $B\sub \R^n$ $f:B\to\R$ $B$

En partition av en uppsättning $\sigma$ är en uppsättning parvis disjunkta delmängder som kombineras för att ge allt . $B$ $\sigma =\left\{{{U}_{i}}\subset B\right\}$ $B$

Finheten hos skiljeväggen är den största diametern på uppsättningarna . $\vänster| \sigma \right|$ $U_i \in \sigma$

\vänster| \sigma \right|=\max \left\{ \operatörsnamn{diam}\left( {{U}_{i}} \right) \right\}

En partition kallas finit om den är en finit mängd, och mätbar om alla dess element är mätbara (i det här fallet, enligt Jordan) uppsättningar.

En multipel (n-faldig) integral av en funktion i en mängd är ett tal (om det finns) så att det, oavsett hur litet grannskap av talet vi sätter, alltid finns en sådan partition av mängden och en mängd av mellanliggande punkter att summan av produkterna av värdet av funktionen vid mellanpunkten för partitionen på partitionsmåttet kommer att falla i denna grannskap. Formellt: $f$ $B$ $jag$ $\varepsilon$ $jag$ $B$

\forall \varepsilon>0\;\; \exists\delta>0

: :

\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}

\vänster| \sigma \right|<\delta \; \forall \xi_i \in U_i \; \; \vänster| {\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i)\mu(U_i) - I} \right| < \varepsilon

Här är måttet på uppsättningen . $\mu(U_i)$ $U_{i}$

Denna definition kan formuleras i en annan form med hjälp av integralsummor. Tänk nämligen på integralsumman för en given partition och en uppsättning punkter $\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}$ $\xi = \{ \xi_i \in U_i \}$

\zeta(f,\sigma, \xi) = \sum_{i=1}^mf(\xi_i) \mu(U_i)

Multipelintegralen för en funktion är gränsen $f:B\till \R$

I = \lim_{\left| \sigma \right|\to 0} \zeta(f,\sigma,\xi)

om det finns. Gränsen tas över uppsättningen av alla sekvenser av partitioner, med finhet som tenderar till 0. Naturligtvis skiljer sig denna definition från den föregående, i själva verket bara på det språk som används.

Integralen betecknas enligt följande:

I vektorform [2]

\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=I

Eller så sätter de integralikonens tider, skriver ner funktionen och differentialerna: . $\d$ $\d$ $\underbrace{\int{\cdots }\int }_{d}f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}})d{{x}_{1} }\cdots d{{x}_{d}}=I$
För dubbel- och trippelintegraler används också notationen respektive . $\int$ $\iiiint$

I moderna matematiska och fysiska artiklar används inte den upprepade användningen av integraltecknet.

En sådan multipelintegral kallas en riktig integral .

I fallet är multipelintegralen densamma som Riemannintegralen . $n=1$

Förekomsten av en multipelintegral

Tillräckliga förutsättningar

Om en funktion är kontinuerlig på en Jordan-mätbar kompakt uppsättning, så är den integrerbar på den.
- En obegränsad funktion på en uppsättning kanske inte är integrerbar även om den är kontinuerlig. Till exempel är funktionen inte integrerad på intervallet . $y=1/x$ $\left( 0;1 \right)$
Om en funktion är definierad på en Jordan-mätbar uppsättning som har godtyckligt små partitioner för vilka den givna funktionen är obegränsad vid föreningen av alla deras element av positivt mått, så är denna funktion inte integrerad i denna uppsättning.

Darboux-kriterium

Låt det finnas övre och nedre Darboux-integraler av funktionen på . Sedan, om de övre och nedre Darboux-integralerna är lika, är denna funktion integrerbar på , och: $jag^*$ $jag_*$ $G$ $G$

I^*=I_*=\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}

Lebesgue kriterium

Låt vara ett Jordan mätbart set. Funktionen är integrerbar om: $G$ $G$

Funktionen är begränsad till . $G$
Funktionen är kontinuerlig på , där uppsättningen har noll Lebesgue-mått . $G\setminus E$ $E$

Egenskaper för flera integraler

Linjäritet i funktion . Låt mätbara, funktioner och integrerbara på , då $\G$ $\f$ $\g$ $\G$

\forall \lambda ,\mu \in \R:~ \int\limits_{G}{\left( \lambda f+\mu g \right)dX}=\lambda \int\limits_{G}{fdX}+\ mu \int\limits_{G}{gdX}

Additivitet med avseende på integrationsuppsättningen . Låt uppsättningarna och vara mätbara, och . Låt också funktionen vara definierad och integrerbar på var och en av uppsättningarna och . Då existerar integralen över och är lika med ${G}_{1}$ $G_{2}$ $G_1\cap G_2 = \varnothing$ $G_1\kopp G_2 = G$ $f(X)$ $G_{1}$ $G_{2}$ $G$

\int_G f(X) dX = \int_{G_1} f(X) dX + \int_{G_2} f(X) dX

Monotonicitet i funktion . Låt mätbart, fungerar och vara integrerbar på , och . Sedan $G$ $f$ $g$ $G$ $\forall X\in G\colon f\left( X \right)\leqslant g\left( X \right)$

\int_G f(X)dX \leqslant \int_G g(X)dX

Integral triangel ojämlikhet . Konsekvens av den tidigare egenskapen.

\vänster| \int_G f(X)dX \right|\leqslant \int_G \left| f(X)\höger| dX

Integral medelvärdessats . Låt vara kompakt, funktionen är kontinuerlig och integrerbar på , alltså $G$ $f(X)$ $G$

\existerar Y\i G\kolon \int_G f(X)dX = f(Y) \mu(G)

Den konstanta funktionen är integrerbar på alla mätbara uppsättningar , och $f(X) = c$ $G$

\int_G f(X)dX = c\cdot \mu(G)

Som en konsekvens ,. $\ \int_G dX = \mu(G)$

Beräkning av flera integraler

Reduktion av en multipelintegral till iterativa

Låt vara en mätbar uppsättning, vara också en mätbar uppsättning, vara definierad och integrerbar på . Sedan $D\subset {{\mathbb{R}}^{d-1}}$ $G=\left\{ \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right):\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\in D;\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right )\le {{x}_{d}}\le \psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \right\}$ $f\vänster( X\höger)$ $\G$

$\int \limits _{\ \varphi \left({{x}_{1)),\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots,{{x} _{d}}\right)d{{x}_{d}}}\equiv I\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\ höger)$ finns överallt på , förutom en uppsättning Lebesgue-mått noll ( kan vara tom); $D$ $D_0$ $D_0$
finns var $\int \limits _{D}{\tilde {I}}\left({{x}_{1)),\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)d{ {x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}\equiv \int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({ {x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}}),\ldots ,{{ x }_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{ d }}}\right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$

\tilde I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \equiv \begin{cases} I\left( {{x}_{ 1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right), & ({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}}) \ i D \backslash D_0 \\ \qquad \quad 0 & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \i D_0, \end{cases}

kallas den itererade integralen av en funktion över en mängd ;

f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)

G

$\int \limits _{G}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{1} }\ldots d{{x}_{d}}}=\int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}}\ höger)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\right]d{{ x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$ .

Vilken d-dimensionell integral som helst kan reduceras till d endimensionella.

Ändring av variabler i en multipelintegral

Låt en bijektiv mappning ges som omvandlar domänen till : ${{\mathbb{R}}^{d}} \leftrightarrow {{\mathbb{R}}^{d}}$ $\ {{D}'}$ $\D$

\left\{ \begin{align} {{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_ {d}} \right) \\ {{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_ {d}} \right) \\ \ldots \\ {{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{ {x}_{d}} \right) \\ \end{align} \right.

var är de "gamla" koordinaterna och är de "nya" koordinaterna. Låt vidare funktionerna som definierar mappningen ha kontinuerliga partiella derivator av första ordningen i domänen, såväl som en bounded och icke-noll Jacobian $t$ $x$ $\ {{D}'}$

\frac{D\left( t \right)}{D\left( x \right)}=\frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d }} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)}

Sedan, under förutsättning att integralen existerar

\int\limits_{D}{f\left( T \right)dT}=\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}

formeln för förändring av variabler är giltig:

\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ldots ,{{t}_{d)) \right)d{{t} _{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int{\int\limits_{{{D}'}}{\ldots \int{f\left( {{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right),\ldots ,{{\psi }_{d}}\left ( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \right)\left| \frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)} \right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}

Användning av symmetri

Om integrationsdomänen är symmetrisk med avseende på ursprunget för koordinater för åtminstone en av integrationsvariablerna och integranden är udda i denna variabel, är integralen lika med noll, eftersom integralerna över de två halvorna av integrationsdomänen har samma absoluta värde men motsatta tecken. Om integranden är jämn över denna variabel är integralen lika med två gånger integralen över en av halvorna av integrationsdomänen, eftersom integralerna över var och en av halvorna är lika.

Exempel 1. Låt funktionen integreras över domänen $f(x,y) = 2\sin(x)-3y^3+5$

T=\vänster \{ ( x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \höger \},

en cirkel med radie 1 centrerad vid origo.

Med hjälp av linearitetsegenskapen kan integralen delas upp i tre delar:

\iint_T (2\sin x - 3y^3 + 5) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \ , dx \, dy

2sin( x ) och 3 y 3 är udda funktioner, och det är också tydligt att skivan T är symmetrisk kring både x -axeln och y -axeln . Alltså är det bara konstant 5 som bidrar till det slutliga resultatet.

Exempel 2. Låt funktionen f ( x , y , z ) = x exp( y 2 + z 2 ) integreras över en sfär med radie 2 centrerad vid origo,

T = \left \{ ( x,y, z) \in \mathbf{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \}.

"Bollen" är symmetrisk längs alla tre axlarna, men det räcker med att integrera längs x -axeln för att visa att integralen är 0, eftersom funktionen är udda i denna variabel.

Dubbel integral

En dubbelintegral är en multipelintegral med . $\d=2$

\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\sigma }

. Här är areaelementet i de betraktade koordinaterna.

\d\sigma

I rektangulära koordinater: , där är arealementet i rektangulära koordinater. $\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}$ $\dxdy$

Geometrisk betydelse för dubbelintegralen

Låt funktionen endast ta positiva värden i domänen. Då är den dubbla integralen numeriskt lika med volymen av en vertikal cylindrisk kropp byggd på basen och avgränsad från ovan av motsvarande yta . $f\vänster(x,y\höger)$ $\D$ $\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma }::$ $\V$ $\D$ $z=f\vänster( x,y\höger)$

Uttryck av dubbelintegralen i termer av polära koordinater

I vissa fall är det lättare att beräkna dubbelintegralen inte i rektangulära, utan i polära koordinater , eftersom i detta fall en betydande förenkling av formen för integrationsregionen och hela integrationsprocessen som helhet kan inträffa.

Vi tillämpar satsen för förändring av variabler. Transformationen som motsvarar övergången har formen:

\left\{{\begin{aligned}&x=r\cos \varphi \\&y=r\sin \varphi \end{aligned}}\right.

Modulen för mappningens Jacobian är . Därmed får vi det $\r$

\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)dxdy}=\iint \limits _{{D}'}{g\left(r,\varphi \right)rdrd\ varphi },\quad

var .

g\left(r,\varphi \right)=f\left(r\cos \varphi ,r\sin \varphi \right)

Här är areaelementet i polära koordinater. $\rdrd\varphi$

Ett exempel på övergång till ett godtyckligt koordinatsystem

Låt oss beräkna områdets yta . $D=\left\{ \left( x,y \right):{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}\le 1 \right\}$

Att byta till ett polärt koordinatsystem gör inte området lättare:

{D}'=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\varphi +\frac{1} {4}{{\sin }^{2}}\varphi \right)\le 1 \right\}

Multiplikatorn framför sinus "stör". I det här fallet kan övergången justeras något:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=2r\sin \varphi \\ \end{align} \right.

Denna omvandling kommer att översätta det ursprungliga området till följande:

{D}''=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\le 1 \right\}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 0 \le \varphi \le 2\pi \\ & 0\le r\le 1 \\ \end{align} \right.

Jacobian display:

\vänster| \begin{matrix} {{{{x}'}}_{r}} och {{{{y}'}}_{r}} \\ {{{x}'}}_{\varphi } } & {{{{y}'}}_{\varphi }} \\ \end{matris} \right|=\left| \begin{matrix} \cos \varphi & 2\sin \varphi \\ -r\sin \varphi & 2r\cos \varphi \\ \end{matrix} \right|=2r

Jacobian-modulen är också . $2r$

Härifrån

S\left( D \right)=\iint\limits_{{{D}''}}{2rdrd\varphi }=2\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\ limits_{0}^{1}{rdr}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }=2\pi

Resultatet är korrekt eftersom området begränsas av ellipsen som ges av den kanoniska ekvationen. Arean kan beräknas med formeln . Genom substitution ser vi till att beräkningen av integralen är korrekt. $\D$ $S=\pi ab$

Tillämpningar av dubbla integraler

Värdenamn	Allmänt uttryck	Rektangulära koordinater	Polära koordinater
Arean av en platt figur	$S=\iint\limits_{G}{d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{dxdy}$	$\iint\limits_{G}{rdrd\varphi }$
Massa av en tunn platt platta densitet $\mu$	$m=\iint\limits_{G}{\mu \left( \sigma \right)d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( x,y \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( r,\varphi \right)rdrd\varphi }$
Ytbitarea $^{1)}$	$S=\iint\limits_{G}{\frac{d\sigma }{\cos \gamma }}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}^{2))+{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}^{2}}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{r}^{2}}{{\left( \frac{\partial z}{\partial \rho } \right )}^{2))+{{\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi } \right)}^{2))}drd\varphi }$
Volymen av en cylindrisk kropp, står på planet $XOY$	$V=\iint\limits_{G}{zd\sigma }$	$\iint\limits_{G}{zdxdy}$	$\iint\limits_{G}{zrdrd\varphi }$
Tröghetsmoment för en platt figur $^{2)}$ om axeln $O{{Z}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi }$
Tröghetsmoment för en platt figur $^{2)}$ om axeln $O{{X}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\varphi drd\varphi }$
Masscentrum koordinater homogen platta $^{3)}$	${{x}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xd\sigma }}$ ${{y}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{yd\sigma }}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xdxdy}} \\ & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{ydxdy}} \ \ \end{align}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\cos \varphi drd\varphi }} \\ & \frac{1}{ S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\sin \varphi drd\varphi }} \\ \end{align}$
Anteckningar	1) Area - projektion på ett plan ; endast en punkt på ytan projiceras in i varje punkt i området; $G$ $XOY$ $\gamma$ är vinkeln mellan tangentplanet och planet . $XOY$ 2) Kombinerat med planet . $XOY$ 3) Eller, vilket är detsamma, i förhållande till mitten O.

Trippelintegral

En trippelintegral är en multipelintegral med : $\d=3$

\iiiint\limits_{D}{f\left( P \right)dV }

var är volymelementet i de betraktade koordinaterna. $\dV$

Uttryck av trippelintegralen i form av rektangulära koordinater

I rektangulära koordinater har trippelintegralen följande form:

\iiiint\limits_{D} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz

var är volymelementet i rektangulära koordinater. $\dxdydz$

Uttryck av trippelintegralen i termer av cylindriska koordinater

På liknande sätt, i vissa fall, är trippelintegralen lättare att beräkna inte i rektangulära, utan i cylindriska koordinater . Vi tillämpar satsen för förändring av variabler. Transformationen som motsvarar övergången har formen:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ & z=h \\ \end{align} \right.

Modulen för mappningens Jacobian är . Därmed får vi det $\r$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,h \right)rdrd \varphi dh}

var är volymelementet i cylindriska koordinater. $rdrd\varphi dh$

Uttryck av trippelintegralen i termer av sfäriska koordinater

Förutom cylindriska koordinater kan du även byta till sfäriska koordinater . Vi tillämpar satsen för förändring av variabler. Transformationen som motsvarar övergången har formen:

\left\{ \begin{align} & x=r\sin \theta \cos \varphi \\ & y=r\sin \theta \sin \varphi \\ & z=r\cos \theta \\ \end{ justera höger.

Modulen för mappningens Jacobian är . Därmed får vi det $\ {{r}^{2}}\sin \theta$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}''}}{f\left( r,\varphi ,\theta \right ){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }

var är volymelementet i sfäriska koordinater. ${{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta$

Tillämpningar av trippelintegraler

Värdenamn	Allmänt uttryck	Rektangulära koordinater	Cylindriska koordinater	Sfäriska koordinater
kroppsvolym	$V=\iiiint\limits_{G}{dV }$	$\iiiint\limits_{G}{dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Tröghetsmomentet för den geometriska kroppar runt axeln $uns$	${{I}_{z}}=\iiiint\limits_{G}{{{r}^{2}}dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{3}}\theta d\rho d\varphi d\theta }$
Massa av en fysisk kropp med täthet $\mu$	$m=\iiiint\limits_{G}{\mu dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\mu dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu {{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Masscentrum koordinater homogen kropp	$\begin{align} & {{x}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdV }} \\ & {{y}_{c}} ={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ydV }} \\ & {{z}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\ limits_{G}{zdV }} \\ \end{align}$	$\begin{align} & {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdxdydz}} \\ & {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ ydxdydz)) \\ & {\frac{1}{V)){\iiiint\limits_{G}{zdxdydz)) \\ \end{align}$	—	—

Se även

Anteckningar

↑ Här och överallt nedan, om inte annat anges, förstås mätbarheten för en uppsättning i jordansk mening.
↑ Det är ganska typiskt i en sådan notation att använda en annan bokstav för elementet i det ( n - dimensionella) integrationsomfånget än för beteckningen av vektorargumentet för den integrerbara funktionen, dvs. inte utan till exempel eller helt enkelt eller etc., eftersom detta volymelement i koordinatnotationen i de enklaste fallen är produkten av koordinatskillnader , och i det mer allmänna fallet med kurvlinjära koordinater måste X också inkludera determinanten för metriken : $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX},$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV_X}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)d\Omega}$ $dV_X = \prod_i dX_i$ $dV_X = |\det g| \prod_i dX_i.$

Litteratur

Vygodsky, M. Ya. Differentiering och integrering av funktioner av flera argument // Handbook of högre matematik. - M . : Astrel, AST, 2005. - 991 sid. — 10 000 exemplar. - ISBN 5-17-012238-1 , 5-271-03651-0.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Kapitel 2. Dubbla och n-faldiga integraler // Fundamentals of Mathematical Analysis. - 4. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 2. - 464 sid. — (Kurs i högre matematik och matematisk fysik). - 5000 exemplar. — ISBN 5-9221-0131-5 .
Kudryavtsev, L. D. Kapitel 6. Integralberäkning av funktioner för flera variabler // Course of Mathematical Analysis. - M . : Högre skola, 1981. - T. 2. - 584 sid.
Budak, B. M., Fomin S. V. Flera integraler och serier. — M .: Nauka , 1967. — 608 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNE : XX552555 NKC : ph385192

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler