Hartley transformation

Hartley-transform (Hartley-transform) - integraltransform , nära besläktad med Fourier-transformen , men till skillnad från den senare omvandlar den vissa reella funktioner till andra reella funktioner. Transformationen föreslogs som ett alternativ till Fouriertransformen av R. Hartley 1942 . Hartley-transformen är en av många välkända typer av Fourier-transformer. Hartley-transformen kan också vändas.

En diskret version av Hartley-transformen introducerades av Ronald Bracewellår 1983 .

Definition

Direkt konvertering

Hartley-transformen beräknas med formeln $H(\omega )$

H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{ -\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t,

var

{\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+{\frac {\pi }{4}})= {\sqrt {2}}\cos(t-{\frac {\pi }{4)))

- Hartley kärna .

Omvänd transformation

Den omvända transformationen erhålls genom involutionsprincipen :

f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}

Förtydliganden

Istället för att använda samma formler för framåt- och inverstransformerna kan du ange en faktor för den inversa och ta samma faktor från den framåtriktade Hartley-transformen. Detta sätt kallas asymmetrisk normalisering ; ${\frac {1}{2\pi }}$
Du kan använda koefficienten istället för att utelämna koefficienten helt ; $2\pi \nu t$ $\omega t$ ${\frac {1}{2\pi }}$
Du kan använda cosinus- och sinussubtraktion istället för deras summa .

Relation med Fouriertransformen

Hartley-transformen skiljer sig från Fourier-transformen i valet av kärnan .

Fouriertransformen använder den exponentiella kärnan

\exp \left({-i\omega t}\right)=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t),

var

i

är den imaginära enheten .

Dessa två transformationer är nära besläktade, och om de har samma normalisering, då

F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-i{\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{ 2}}

För verkliga funktioner förvandlas Hartley-transformen till en komplex Fourier-transform: $med)$

\{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{ {\mathcal {F}}f\cdot (1+i)\},

var

\Re

och är de verkliga och imaginära delarna av funktionen, respektive.

\Jag är

Egenskaper

Hartley transform - verklig symmetrisk enhetlig linjär operator

Det finns också en analog till faltningssatsen : om två funktioner och har Hartley-transformationer respektive , så kommer deras faltning att ha en transformation $x(t)$ $y(t)$ $X(t)$ $Y(t)$ $z(t)=x*y$

Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega)\left[Y(\omega )+Y(-\omega )\höger]+X(-\omega )\vänster[Y(\omega )-Y(-\omega )\höger]\höger)/2

Liksom Fourier-transformen kommer Hartley-transformen att vara en jämn eller udda funktion beroende på vilken funktion som transformeras.

Cas

Egenskaperna för Hartley-kärnan följer av egenskaperna hos trigonometriska funktioner . Därför att

{\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4),

sedan

2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){ \mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}} (-b)

och

{\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\ cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)

Derivatan av kärnan är

{\mbox{cas}}'(a)={\frac {\mbox{d}}({\mbox{d}}a}}{\mbox{cas}}(a)=\cos( a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)

Litteratur

RONALD N. Bracewell Fourier Transform [1] Arkiverad 24 maj 2017 på Wayback Machine
Hartley, RVL, En mer symmetrisk Fourier-analys tillämpad på överföringsproblem Arkiverad 2 juni 2008 på Wayback Machine , Proc. IRE 30 , 144-150 (1942).
Bracewell, RN, The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, andra upplagan 1978, reviderad 1986) (även översatt till japanska och polska)
Bracewell, RN, The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (även översatt till tyska och ryska)
Bracewell, RN, Mall:Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 381-387 (1994).
Millane, RP, Mall:Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 413-428 (1994).
Villasenor, John D., Mall:Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 391-399 (1994).

Integrerade transformationer
Abel förvandla Bessel förvandlas Bushman förvandla Gegenbauer transformation Hilbert förvandla Kontorovich-Lebedev förvandling Laplace transformation Meyer förvandla Mehler-Fock förvandling Mellin transform Nerain transformation Radonomvandling Stieltjes förvandlas Fouriertransform Hankel transformation Hartley transformation