Diskret Hartley transformation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 30 september 2017; kontroller kräver 4 redigeringar .

Den diskreta Hartley-transformen (förkortad som DHT) är en sorts diskret ortogonal trigonometrisk transformation. I många fall kan det fungera som ett substitut för den diskreta Fouriertransformen .

Definition

Sekvensen av reella tal , , ... , omvandlas till en sekvens av reella tal , , ... , med hjälp av den diskreta Hartley-transformen enligt formeln: $N$ $h_{0}$ $h_1$ $h_{N-1}$ $N$ $H_{0}$ $H_1$ $H_{N-1}$

H_{k}={\dfrac {1}{N}}\sum \limits _{n=0}^{N-1}h_{n}\operatörsnamn {cas} \left({\dfrac { 2\pi }{N}}nk\right),\ k=0,\ldots ,N-1,

där [1] . Den inversa diskreta Hartley-transformen ges av formeln: $\operatörsnamn {cas} x=\cos x+\sin x$

h_{n}=\summa \limits _{k=0}^{N-1}H_{k}\operatörsnamn {cas} \left({\dfrac {2\pi }{N}}nk\ höger),\ n=0,\ldots ,N-1.

Det bör noteras att, till skillnad från den diskreta Fourier-transformen (förkortad DFT), ger Hartley-transformen ett antal reella tal.

Det finns följande formler för övergången från DFT (sekvens , , … , ) till DFT och vice versa [2] : $F_{0}$ $F_{1}$ $F_{N-1}$

H_{k}=\operatörsnamn {Re} F_{k}-\operatörsnamn {Im} F_{k},

F_{k}={\dfrac {1}{2}}(H_{k}+H_{Nk})-i{\dfrac {1}{2}}(H_{k}-H_{Nk }),\ k=0,\ldots ,N-1.

Snabb Hartley Transform

Tanken med Fast Hartley Transform (förkortad FFT) är densamma som Fast Fourier Transform (förkortad FFT): på grund av symmetri kan antalet beräkningar minskas.

Låt två nya längdsekvenser vara lika med och erhållas från den ursprungliga sekvensen , ... , och låt deras DPT vara lika med respektive där . I dessa notationer har den allmänna BPH-formeln följande form [3] : $h_{0}$ $h_1$ $h_{N-1}$ $N$ $\left(h_{0},0,h_{2},0,\ldots \right)$ $\left(0,h_{1},0,h_{3},\ldots \right)$ ${\displaystyle H_{1,k))$ ${\displaystyle H_{2,k))$ $k=0,\ldots ,N-1$

H_{k}=H_{1,k}+H_{2,k}\cos \left({\dfrac {2\pi}{N}}k\right)+H_{2,Nk}\ sin \left({\dfrac {2\pi }{N}}k\höger).

Med hjälp av DFT till DFT-konverteringsformlerna ovan kan du använda FHT för att beräkna FFT, vilket förenklar beräkningarna på grund av avsaknaden av komplexa multiplikationer [4] .

Anteckningar

↑ Bracewell, 1990 , sid. 34.
↑ Bracewell, 1990 , sid. 36.
↑ Bracewell, 1990 , sid. 97.
↑ Bracewell, 1990 , sid. 91.

Litteratur

Bracewell, R. Hartley Transform. — M .: Mir , 1990. — 175 sid. — ISBN 5-03-001632-5 . (ryska)

Se även

Diskret komplex transformation