Kurzweil-Henstock integral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 juni 2014; kontroller kräver 15 redigeringar .

Kurzweil-Henstock- integralen, en generalisering av Riemann-integralen , låter dig helt lösa problemet med att återställa en differentierbar funktion från dess derivata . Varken Riemann-integralen (inklusive den felaktiga ) eller Lebesgue-integralen ger en lösning på detta problem i det allmänna fallet.

Historik

Den första definitionen av en integral som tillåter att lösa ett problem i det allmänna fallet gavs av Arnaud Denjoy 1912. Han gjorde ett försök att definiera en integral som skulle tillåta att integrera till exempel derivatan av en funktion definierad av noll vid noll. Funktionen är definierad och ändlig på alla punkter, men inte Lebesgue-integrerbar i en omgivning av noll. I ett försök att skapa en allmän teori använde Denjoy transfinit induktion på möjliga typer av singulariteter, vilket gjorde definitionen ganska komplicerad. Lite senare förenklade Nikolai Luzin Denjoys definition, men även efter förenklingen förblev denna definition tekniskt mycket komplicerad. År 1914 gav Oscar Perron en annan definition av integralen, vilket också gör att man helt kan lösa problemet med att återställa en funktion från dess derivata. Efter 10 år etablerade Pavel Aleksandrov och Robert Loman identiteten för Denjoy- och Perron-integralerna. $f(x)=x^{2}\cos \left({\frac {\pi}{x^{2))}\right)$ $\displaystyle f'(x)$

1957 föreslog den tjeckiske matematikern Jaroslav Kurzweil en ny definition av integralen, som också gjorde det möjligt att helt lösa problemet med att återställa en funktion från dess derivata. Hans definition var en modifiering av definitionen av Riemann-integralen. En ytterligare teori om denna integral utvecklades av Ralph Henstock , efter hans arbete är konstruktionen känd som Kurzweil-Henstock-integralen . Denna integral är också identisk med Denjoy- och Perron-integralen och täcker alltså Lebesgue-integralen i det endimensionella fallet.

På grund av enkelheten i definitionen av Henstock-Kurzweil-integralen förespråkar vissa lärare att den introduceras i programmet för den inledande kursen för matematisk analys , men hittills har denna idé delvis implementerats endast vid Mekanik- och Matematikavdelningarna vid Moskvas statliga universitet och Saratov State University .

Definition

För att definiera Kurzweil-Henstock-integralen introduceras flera mellanliggande begrepp:

kalibreringsfunktion (skala) är en godtycklig funktion ; $\delta \colon [a,b]\to (0,\infty )$
markerad partition av segmentet är en ändlig uppsättning par , där och ; $P$ $[a,b]$ $\displaystyle (\xi _{k},[x_{k-1},x_{k}])$ $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b$ $\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]$
en markerad partition sägs vara -tunn (överensstämmer med ) om för alla från till ; $P$ $\delta$ $\delta$ $\xi _{k}-\delta (\xi _{k})<x_{k-1}\leqslant \xi _{k}\leqslant x_{k}<\xi _{k}+\ delta(\xi _{k})$ $k$ $ett$ $n$
för den markerade partitionen och funktionen är integralsumman uttrycket: $P$ $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $S(P,f)=\summa _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})f(\xi _{k})$ .

En funktion sägs vara Kurzweil-Henstock-integrerbar på intervallet om det finns ett tal (kallad Kurzweil-Henstock-integralen av funktionen på intervallet ) som har följande egenskap: för alla finns det en mätfunktion så att för vilken partition som helst kompatibel med den markerade partitionen . $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $[a,b]$ $jag$ $f$ $[a,b]$ $\varepsilon >0$ ${\displaystyle \delta _{\varepsilon ))$ ${\displaystyle \delta _{\varepsilon ))$ $P$ $|S(P,f)-I|<\varepsilon$

Förekomsten av partitioner som är kompatibla med markerade partitioner för en given mätarfunktion följer av Cousins teorem . $\delta$ $\delta$

Riemann-integralen är ett specialfall av Kurzweil-Henstock-integralen, endast konstantmätfunktioner är tillåtna i dess definition.

Litteratur

Lukasjenko T. P., Skvortsov V. A., Solodov A. P. Generaliserade integraler 2010. 280 sid. ISBN 978-5-397-00267-7

Länkar

Riemanns felaktiga integral och Henstocks integral i , P. Maldonia, VA Skvortsov $R^{n}$ Mat. anteckningar, 2005, volym 78, nummer 2, sidorna 251-258
Generaliserade integraler och Fourier-serien IA Vinogradova, VA Skvortsov Itogi Nauki. Ser. Matte. Matta. anal. 1970, 1971, sid 65-107

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler