Taylors teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 februari 2019; kontroller kräver 12 redigeringar . Den här artikeln handlar om Taylor-polynomen av differentierbara funktioner . För Taylor-serier av analytiska funktioner, se motsvarande artikel.

Taylors teorem ger en approximation till en k - gånger differentierbar funktion nära en given punkt med hjälp av ett k -:te ordningens Taylorpolynom . För analytiska funktioner är Taylor-polynomet vid en given punkt en delsumma av deras Taylor-serier , vilket i sin tur helt definierar funktionen i någon av punktens omgivningar. Det exakta innehållet i Taylors teorem har ännu inte kommit överens om. Naturligtvis finns det flera versioner av satsen tillämpliga i olika situationer, och några av dessa versioner innehåller uppskattningar av felet som uppstår när man approximerar en funktion med hjälp av ett Taylor-polynom.

Denna sats är uppkallad efter matematikern Brooke Taylor , som formulerade en version av den 1712. Ett uttryckligt uttryck för approximationsfelet gavs mycket senare av Joseph Lagrange . Tidigare, 1671, hade James Gregory redan nämnt följden av satsen.

Taylors teorem låter dig behärska teknikerna för beräkningar på nybörjarnivå, och det är ett av de centrala elementära verktygen inom matematisk analys . I studiet av matematik är det utgångspunkten för studiet av asymptotisk analys . Teoremet används även inom matematisk fysik . Den generaliserar också till funktioner av flera variabler och vektorfunktioner för alla dimensioner och . Denna generalisering av Taylors teorem är grunden för definitionen av så kallade jets , som förekommer i differentialgeometri och i teorin om partiella differentialekvationer . ${\displaystyle f\,:\,\mathbb {R} ^{n}\högerpil \mathbb {R} ^{m))$ $n$ $m$

Förutsättningar för införandet av satsen

Om en verkligt värderad funktion f(x) är differentierbar vid punkten a , så har den en linjär approximation vid punkten a . Detta betyder att det finns en funktion h 1 sådan att

f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + h_1(x)(xa), \qquad \lim_{x\to a}h_1(x)=0.

Här

P_1(x) = f(a) + f'(a)(xa) \

det är en linjär approximation av funktionen f i punkten a . Grafen för funktionen y = P 1 ( x ) är tangent till grafen för funktionen f i punkten x = a . Approximationsfelet är

R_l(x) = f(x)-P_l(x) = h_l(x)(xa). \

Observera att felet närmar sig noll lite snabbare än skillnaden x − a närmar sig noll när x närmar sig a .

Om vi letar efter en bättre approximation av f , kan vi använda ett andragradspolynom istället för en linjär funktion. Istället för att hitta derivatan av f i punkten a , kan vi hitta två derivator och därmed få ett polynom som liksom f ökar (eller minskar), och som f , har en konvexitet (eller konkavitet) i punkten a . Polynomet av andra graden (kvadratpolynom) kommer i det här fallet att se ut så här:

P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2}}(xa)^{2}.

Taylors teorem gör det möjligt att verifiera att den kvadratiska approximationen, i en tillräckligt liten grannskap av punkten a , är en bättre approximation än den linjära. Särskilt,

f(x) = P_2(x) + h_2(x)(xa)^2, \qquad \lim_{x\to a}h_2(x)=0.

Här är approximationsfelet

R_2(x) = f(x)-P_2(x) = h_2(x)(xa)^2 \

som, om h 2 är begränsad , närmar sig noll snabbare än den närmar sig noll ( x − a ) 2 när x närmar sig a .

Således kommer vi att fortsätta att få bättre approximationer till f om vi använder högre och högre grad av polynom . I allmänhet kommer felet vid approximering av en funktion med polynom av ordningen k att närma sig noll något snabbare än ( x − a ) k närmar sig noll när x närmar sig a .

Denna följd är asymptotisk till sin natur: den säger oss bara att felet R k i approximationen med Taylorpolynomen Pk av k:te ordningen närmar sig noll snabbare än ett polynom av k: te ordningen som inte är noll som x → a . Det berättar inte för oss hur stort felet är i någon omgivning av approximationscentrum, men det finns en formel för resten för detta (given nedan).

De mest kompletta versionerna av Taylors teorem leder i allmänhet till enhetliga uppskattningar av approximationsfelet i en liten stadsdel av approximationscentrum, men dessa uppskattningar är inte tillräckliga för stadsdelar som är för stora, även om funktionen f är analytisk . I denna situation bör flera Taylor-polynom med olika approximationscentra väljas för att få en tillförlitlig Taylor-approximation till den ursprungliga funktionen (se animerad figur ovan). Det är också möjligt att en ökning av polynomets ordning inte alls ökar kvaliteten på approximationen, även om funktionen f är differentierad ett oändligt antal gånger. Ett sådant exempel visas nedan.

Taylors teorem för funktioner av en reell variabel

Uttalande av satsen

Den exakta formuleringen av de flesta grundläggande versioner av satsen är följande.

Polynomet som förekommer i Taylors sats är Taylorpolynomet av k -te ordningen

P_k(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k) )}(a)}{k!}(xa)^k

funktion f vid punkt a .

Taylors teorem beskriver det asymptotiska beteendet för den återstående termen

\ R_k(x) = f(x) - P_k(x),

vilket är ett fel i att hitta en approximation av funktionen f med hjälp av Taylorpolynom. Med hjälp av "O" stor och "o" liten , kan Taylors sats formuleras enligt följande

R_k(x) = o(|xa|^k), \qquad x\to a.

Formler för resten

Det finns flera exakta formler för den återstående termen Rk i Taylorpolynomet , varav den mest allmänna är följande.

Dessa förbättringar av Taylors teorem härleds vanligtvis med hjälp av formeln för finita steg .

Du kan också hitta andra uttryck för resten. Till exempel, om G ( t ) är kontinuerlig på ett slutet intervall och differentierbar med en icke-försvinnande derivata på ett öppet intervall mellan a och x , då

R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G' (\xi)}

för något tal ξ mellan a och x . Denna version täcker formerna Lagrange och Cauchy som specialfall, och härleds med hjälp av Cauchys medelvärdessats (en utökad version av Lagranges medelvärdessats ).

Att skriva formeln för resten i integralform är mer generell än tidigare formler och kräver förståelse för Lebesgues integralteori . Det gäller dock även för Riemann-integralen, förutsatt att derivatan av ordningen ( k +1) av f är kontinuerlig på det slutna intervallet [ a , x ].

På grund av den absoluta kontinuiteten för f ( k ) på det slutna intervallet mellan a och x existerar dess derivata f ( k +1) som en L 1 -funktion, och denna konsekvens kan erhållas genom formella beräkningar med hjälp av Newton-Leibniz-satsen och integration av delar .

Uppskattningar av resten

I praktiken är det ofta användbart att numeriskt uppskatta värdet av resten av Taylor-approximationen.

Vi kommer att anta att f är ( k + 1) gånger kontinuerligt differentierbar på ett intervall I som innehåller a . Vi antar att det finns reella konstanta tal q och Q så att

q\le f^{(k+1)}(x)\le Q

hela I. _ Då uppfyller den återstående termen ojämlikheten [5]

q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1)!}\le R_k(x)\le Q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1) !},

om x > a , och en liknande uppskattning om x < a . Detta är en enkel konsekvens av Lagrange-formen av restformeln. I synnerhet om

|f^{(k+1)}(x)|\leq M

på intervallet I = ( a − r , a + r ) med något r >0, då

|R_k(x)| \le M\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}\le M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}

för alla x ∈( a − r , a + r ). Den andra olikheten kallas enhetlig estimator eftersom den bevarar enhetlighet för alla x i intervallet ( a − r , a + r ).

Exempel

Låt oss säga att vi vill hitta en approximation av funktionen f ( x ) = e x på intervallet [−1,1] och se till att felet inte överstiger 10 −5 . I det här exemplet antar vi att vi känner till följande egenskaper hos exponentialfunktionen:

(*) \qquad e^0=1, \qquad \frac{d}{dx} e^x = e^x, \qquad e^x>0, \qquad x\in\mathbb{R}.

Dessa egenskaper innebär att f ( k ) ( x ) = e x för alla k , och i synnerhet f ( k ) (0) = 1 . Det följer att Taylorpolynomet i k: te ordningen av funktionen f vid punkten 0 och dess återstående term i Lagrangeformen ges av formeln

P_k(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^k}{k!}, \qquad R_k(x)=\frac{e^\xi}{ (k+1)!}x^{k+1},

där ξ är ett tal mellan 0 och x . Eftersom e x ökar enligt (*) kan vi använda e x ≤ 1 för x ∈ [−1, 0] för att uppskatta resten av delintervallet [−1, 0]. För att hitta en övre gräns för värdet av resten av intervallet [0,1] kan vi använda egenskapen e ξ << e x för 0< ξ<x för att uppskatta

e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2}x^2 < 1 + x + \frac{e^x}{2}x^2, \qquad 0 < x\leq 1

använda ett andra ordningens Taylor-polynom. Genom att uttrycka e x från denna ojämlikhet drar vi slutsatsen att

e^x \leq \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}} = 2\frac{1+x}{2-x^2} \leq 4, \qquad 0 \ leqx\leq 1

förutsatt att täljaren tar maximalt av alla dess möjliga värden, och nämnaren tar minimum av alla dess möjliga värden. Med hjälp av dessa uppskattningar av värdena för e x ser vi det

|R_k(x)| \leq \frac{4|x|^{k+1}}{(k+1)!} \leq \frac{4}{(k+1)!}, \qquad -1\leq x \leq 1 ,

och den erforderliga noggrannheten uppnås definitivt när

\frac{4}{(k+1)!} < 10^{-5} \quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 10^5 < (k+1)! \quad \Leftrightarrow \quad k \geq 7.

(där faktorialen är 7!=5040 och 8!=40320.) I slutändan leder Taylors teorem till approximationen

e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^7}{7!} + R_7(x), \qquad |R_7(x)| < 10^{-5}, \qquad -1\leq x \leq 1.

Observera att denna approximation tillåter oss att beräkna värdet på e ≈2,71828 med en noggrannhet på upp till femte decimalen.

Analytisk

Taylor-expansion för riktiga analytiska funktioner

Låt vara ett öppet intervall . Per definition är en funktion verklig analytisk om den definieras i ett givet område genom konvergensen av en potensserie . Detta betyder att det för var och en finns någon r > 0 och en sekvens av koefficienter c k ∈ R så att ( a − r , a + r ) ⊂ I och $I\subset \mathbb {R}$ $f\,:\,I\rightarrow \mathbb {R}$ $a\i jag$

f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \cdots, \qquad |xa|<r.

I allmänhet kan konvergensradien potensserie beräknas med hjälp Cauchy-Hadamard-formeln

\frac{1}{R} = \limsup_{k\to\infty}|c_k|^\frac{1}{k}.

Detta resultat är baserat på en jämförelse med en oändligt minskande geometrisk progression, och samma metod visar att om en potensserie expanderad i a konvergerar för någon b ∈ R , måste den konvergera likformigt på det slutna intervallet [ a − r b , a + rb ] , där rb = | b - a |. Här har vi bara betraktat potensseriens konvergens, och det är möjligt att domänen ( a − R , a + R ) sträcker sig utanför domänen I för funktionen f .

Taylorpolynom i en reell analytisk funktion f i en punkt a

P_k(x) = \sum_{j=0}^k c_j(xa)^j, \qquad c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!}

är en enkel trunkering av motsvarande potensserie för denna funktion definierad på något intervall , och resten av termen på detta intervall ges av den analytiska funktionen

R_k(x) = \sum_{j=k+1}^\infty c_j(xa)^j = (xa)^k h_k(x), \qquad |xa|<r.

Här är funktionen

h_k:(ar,a+r)\till \R; \qquad h_k(x) = (xa)\sum_{j=0}^\infty c_{k+1+j}(xa)^j

är också analytisk, eftersom dess potensserie har samma konvergensradie som den ursprungliga serien. Förutsatt att [ a − r , a + r ] ⊂I och r < R , konvergerar alla dessa serier likformigt på intervallet ( a − r , a + r ) . Naturligtvis, i fallet med analytiska funktioner, är det möjligt att uppskatta den återstående termen R k ( x ) genom att "klippa av" sekvensen av derivator f′ ( a ) i approximationscentrum, men när man använder komplex analys , andra möjligheter dyker upp, vilka beskrivs nedan.

Taylors teorem och konvergensen av Taylor-serien

Det finns en oenighet mellan Taylor-polynomen av differentierbara funktioner och Taylor-serien av analytiska funktioner. Man kan överväga (ganska) Taylor-serien

f(x) \approx \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \ldots

en oändligt antal gånger differentierbar funktion f : R → R som dess "Taylor-polynom av oändlig ordning" vid punkten a . Nu antyder skattningen för resten av Taylorpolynomet att för vilken ordning k som helst och för vilken som helst r >0 finns det en konstant M k,r >0 så att

(*) \quad |R_k(x)|\leq M_{k,r}\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}

för varje x ∈( ar, a+r ). Ibland kan dessa konstanter väljas så att M k,r → 0 som k → ∞ och r förblir desamma. Sedan konvergerar Taylor-serien av funktionen f enhetligt till någon analytisk funktion

T_f:(ar,a+r)\to\mathbb R; \qquad T_f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(xa)^k.

Det är viktigt att nämna en subtil punkt här . Det är möjligt att en oändligt många gånger differentierbar funktion f har en Taylor-serie i punkten a som konvergerar i någon öppen grannskap av punkten a , men gränsfunktionen T f skiljer sig från f . Ett viktigt exempel på detta fenomen är

f:\mathbb R \to \mathbb R; \qquad f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} &, x>0, \\ 0 &, x\leq 0.\end{cases}

Med hjälp av kedjeregeln kan man induktivt visa att för vilken ordning k som helst ,

f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k))}e^{-{\frac {1} {x^{2}}}}&,x>0\\0&,x\leq 0\end{cases}}}

för något polynom p k . Funktionen tenderar att nollställas snabbare än något polynom som x → 0 , då är f oändligt differentierbart och f ( k ) (0) = 0 för varje positivt heltal k . Nu visar skattningar för resten av Taylorpolynomet för funktionen f att Taylorserien konvergerar enhetligt till nollfunktionen på hela den reella talaxeln. Det kommer inte att finnas några fel i följande uttalanden: $e^{-\frac{1}{x^2}}$

Taylor-serien för funktionen f konvergerar likformigt till nollfunktionen T f ( x )=0.
Nollfunktionen är analytisk, och varje koefficient i dess Taylor-serie är noll.
Funktionen f är oändligt differentierbar, men inte analytisk.
För alla k ∈ N och r >0 finns det M k, r >0 så att den återstående termen av Taylorpolynomet av k:te ordningen för funktionen f uppfyller villkoret (*).

Taylors teorem i komplex analys

Taylors teorem generaliserar funktioner som är komplexa differentierbara på en öppen delmängd U ⊂ C i det komplexa planet . Dess användbarhet reduceras dock av andra satser för komplex analys , nämligen: mer kompletta versioner av liknande resultat kan härledas för komplext differentierbara funktioner f : U → C med hjälp av Cauchy-integralformeln som visas nedan. $f:\mathbb C\to\mathbb C$

Låt r > 0 så att den slutna cirkeln B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) finns i U . Då ger Cauchy-integralformeln med positiv parametrisering γ ( t )= re it av cirkeln S ( z, r ) med t ∈ [0,2 π ]

f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{wz}dw, \quad f'(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^2}dw, \quad \ldots, \quad f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\ pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^{k+1}}dw.

Här är alla integrander kontinuerliga på cirkeln S ( z , r ), vilket motiverar differentiering under integraltecknet . I synnerhet, om f en gång är komplex differentierbar på en öppen mängd U , så är den i själva verket ett oändligt antal gånger komplex differentierbar på U. Vi har Cauchy-uppskattningen [6]

|f^{(k)}(z)| \leq \frac{k!}{2\pi}\int_\gamma \frac{M_r}{|wz|^{k+1}}dw = \frac{k!M_r}{r^k}, \qquad M_r = \max_{|wc|=r}|f(w)|

för valfri z ∈ U och r > 0 så att B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U . Dessa uppskattningar antyder att den komplexa Taylor-serien

f(z) \approx \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(zc)^k

funktion f konvergerar likformigt i valfri cirkel B ( c , r ) ⊂ U med S ( c , r ) ⊂ U i någon funktion T f . Med hjälp av konturintegreringsformeln för derivatorna f ( k ) ( c ),

\begin{align} T_f(z) = \ & \sum_{k=0}^\infty \frac{(zc)^k}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{ (wc)^{k+1}}dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc} \sum_{k=0}^\infty \Big (\frac{zc}{wc}\Big)^k dw \\ = \ & \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc}\Big( \ frac{1}{1-\frac{zc}{wc}} \Big) dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wz} dw = f (z), \end{align}

sålunda är varje komplex differentierbar funktion f på en öppen mängd U ⊂ C komplex analytisk . Allt som skrevs ovan för verkliga analytiska funktioner är också sant för komplexa analytiska funktioner, där det öppna intervallet I ersätts med en öppen delmängd U ∈ C och a -centrerade intervall ( a − r , a + r ) ersätts med c - centrerade cirklar B ( c , r ). I synnerhet bevaras Taylor-expansionen som

f(z) = P_k(z) + R_k(z), \qquad P_k(z) = \sum_{j=0}^k \frac{f^{(k)}(c)}{k!}( zc)^k,

där den återstående termen Rk är komplex analytisk. När man överväger Taylor-serier tillåter metoderna för komplex analys en att få något mer kraftfulla resultat. Till exempel, genom att använda en integralformel för varje positivt orienterad Jordan-kurva γ som parametriserar gränsen ∂ W ⊂ U för en domän W ⊂ U , kan man få ett uttryck för derivatorna av f ( j ) ( c ) som visas ovan, och ändra beräkningarna något för T f ( z ) = f ( z ) , komma fram till den exakta formeln

R_k(z) = \sum_{j=k+1}^\infty \frac{(zc)^j}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(wc)^{ j+1}}dw = \frac{(zc)^{k+1}}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)dw}{(wc)^{k+1}( wz)} , \qquad z\in W.

En viktig egenskap här är att kvaliteten på Taylor-polynomapproximationen i domänen W ⊂ U domineras av värdena för funktionen f på gränsen ∂ W ⊂ U . Genom att applicera Cauchy-uppskattningarna på uttrycket för resten av serien får vi de enhetliga uppskattningarna

|R_k(z)| \leq \sum_{j=k+1}^\infty \frac{M_r |zc|^j}{r^j} = \frac{M_r}{r^{k+1}} \frac{|zc| ^{k+1}}{1-\frac{|zc|}{r}} \leq \frac{M_r \beta^{k+1}}{1-\beta} , \qquad \frac{|zc |}{r}\leq \beta < 1.

Exempel

Funktion f : R → R definierad av ekvationen

f(x) = \frac{1}{1+x^2}

är verklig analytisk , det vill säga i den givna domänen bestäms av dess Taylor-serie. En av figurerna ovan visar att vissa mycket enkla funktioner inte kan uttryckas med Taylor-approximationen i närheten av approximationscentrum om denna grannskap är för stor. Denna egenskap är lätt att förstå inom ramen för komplex analys. Mer specifikt expanderar funktionen f till en meromorf funktion

f:\mathbb C\cup\{\infty\} \to \mathbb C\cup\{\infty\}; \quad f(z) = \frac{1}{1+z^2}

på det kompakterade komplexa planet. Den har enkla axlar i punkterna z = i och z = − i , och den är analytisk överallt. Dess Taylor-serie centrerad vid z 0 konvergerar på valfri cirkel B ( z 0 , r ) med r <| zz 0 |, där samma Taylor-serie konvergerar för z ∈ C . Som ett resultat konvergerar Taylor-serien för funktionen f centrerad vid 0 till B (0,1) och den konvergerar inte för någon z ∈ C med | z |>1 på grund av närvaron av axlar vid punkterna i och − i . Av samma skäl konvergerar Taylor-serien för funktionen f centrerad vid 1 till B (1,√2) och konvergerar inte för någon z ∈ C med | z -1|>√2.

Generaliseringar av Taylors teorem

Högre differentieringsordningar

En funktion f : R n → R är differentierbar i en punkt a ∈ R n om och endast om det finns en linjär form L : R n → R och en funktion h : R n → R så att

f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{a}) + L(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + h(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol {a}), \qquad \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}h(\boldsymbol{x})=0.

Om detta fall gäller är L = df ( a ) differentialen för funktionen f i punkten a . Dessutom, när de partiella derivatorna av funktionen f existerar i punkten a , så ges differentialen för f i punkten a av formeln

df( \boldsymbol{a} )( \boldsymbol{v} ) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol{a})v_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol{a})v_n.

Vi introducerar multiindexet , skriver vi

|\alfa| = \alpha_1+\cdots+\alpha_n, \quad \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!, \quad \boldsymbol{x}^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}

för α ∈ N n och x ∈ R n . Om alla partiella derivator av k: te ordningen av en funktion f : R n → R är kontinuerliga vid a ∈ R n , så kan man enligt Clairauts teorem ändra ordningen på de blandade derivatorna i en punkt a , och sedan skriva

D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n)), \qquad |\alpha|\leq k

för partiella derivator av högre ordning är legitimt i denna situation. Detsamma gäller om alla ( k − 1):e ordningens partiella derivator av funktionen f finns i någon omgivning av punkten a och är differentierbara i punkten a . Då kan vi säga att funktionen f är k gånger differentierbar i punkten a .

Taylors teorem för funktioner av flera variabler

Om en funktion f : R n → R är k + 1 gånger kontinuerligt differentierbar i en sluten boll B , så kan man få en exakt formel för resten av ( k + 1):e ordningens Taylor-expansion av f i detta område. Nämligen

f( \boldsymbol{x} ) = \sum_{|\alpha|=0}^k \frac{D^\alpha f(\boldsymbol{a})}{\alpha!} (\boldsymbol{x}-\ fetsymbol{a})^\alpha + \sum_{|\beta|=k+1} R_\beta(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\beta, \qquad R_\beta( \boldsymbol{x} ) = \frac{|\beta|}{\beta!} \int_0^1 (1-t)^{|\beta|-1}D^\beta f \big( \boldsymbol{a}+t( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} )\big) \, dt.

I det här fallet, på grund av kontinuiteten hos ( k + 1):e ordningens partiella derivator på den kompakta mängden B , erhåller vi direkt

\big|R_\beta(\boldsymbol{x})| \leq \frac{|\beta|}{\beta!} \max_{|\alpha|=|\beta|} \max_{\boldsymbol{y}\in B} |D^\alpha f(\boldsymbol{ y})|, \qquad \boldsymbol{x}\i B.

Bevis

Bevis för Taylors teorem för en reell variabel

Låt [7]

h_k(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} & x\not=a\\ 0&x=a \end{cases}

där, som det står i formuleringen av Taylors teorem,

P(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k) )}(a)}{k!}(xa)^k.

Det räcker med att visa det

\lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.

Beviset bygger på en upprepad tillämpning av L'Hospitals regel . Observera att varje j = 0,1,…, k −1 , . Därför tenderar varje efterföljande derivata av täljaren för funktionen till noll vid punkten , och detsamma gäller för nämnaren. Sedan $f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)$ $h_k(x)$ $x=a$

\begin{align} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} &= \lim_{x\to a} \frac{\frac{d }{dx}(f(x) - P(x))}{\frac{d}{dx}(xa)^k} = \cdots = \lim_{x\to a} \frac{\frac{d ^{k-1}}{dx^{k-1}}(f(x) - P(x))}{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}( xa)^k}\\ &=\frac{1}{k!}\lim_{x\to a} \frac{f^{(k-1)}(x) - P^{(k-1) }(x)}{xa}\\ &=\frac{1}{k!}(f^{(k)}(a) - P^{(k)}(a)) = 0 \end{align }

där övergången från det näst sista uttrycket till det sista följer av definitionen av derivatan i punkten x = a .

Anteckningar

↑ Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Taylors formel , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Klein, 1998 , §20.3; Apostol, 1967 , §7.7.
↑ Apostol, 1967 , §7.7.
↑ Apostol, 1967 , §7.5.
↑ Apostol, 1967 , §7.6
↑ Rudin, 1987, § 10.26.
↑ Stromberg, 1981

Källor

Apostol, Tom (1967), Calculus , Jon Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-00005-1 .
Bartle & Sherbert (2000), Introduction to Real Analysis (3:e upplagan), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-32148-6 .
Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volym 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3540006626 .
Klein, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach , Dover, ISBN 0-486-40453-6 .
Pedrick, George (1994), A First Course in Analysis , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94108-8 .
Stromberg, Karl (1981), Introduktion till klassisk verklig analys , Wadsworth, Inc., ISBN 978-0534980122 .
Rudin, Walter (1987), Verklig och komplex analys, 3:e uppl. , McGraw-Hill Book Company, ISBN 0-07-054234-1 .

Länkar

Taylor Series Approximation till Cosinus vid cut-the-knot
Trigonometrisk Taylor Expansion interaktiv demonstrativ applet
Taylor Series Revisited vid Holistic Numerical Methods Institute