Likhet mellan blandade derivat

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 november 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Blandade partiella derivator av samma funktion, som endast skiljer sig åt i differentieringsordningen (ordningen) är lika med varandra förutsatt att de är kontinuerliga. En sådan egenskap kallas likheten mellan blandade derivator .

Uttalandet om jämlikheten hos blandade derivat i sig benämns i olika källor som Schwarz sats, Clairauts sats eller Yangs sats .

Sats

Definition av en blandad derivata

Låt en tillräckligt jämn (skalär) funktion av flera variabler ges: $f$

(1)\qquad f=f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})

Vi kan ta den partiella derivatan av denna funktion med avseende på ett av argumenten , medan vi betraktar de återstående argumenten som konstanta parametrar. Som ett resultat kommer vi att få en ny funktion: $x_{i}$

(2)\qquad \phi (x_{i})={\partial f \over \partial x_{i}}{\bigg |}_{x_{1},\dots x_{i-1} ,x_{i+1},\dots x_{n}=const}

Denna nya funktion beror också på de andra argumenten som parametrar. Det vill säga att det numeriska värdet i allmänhet beror på samma variabler som den ursprungliga funktionen : $\phi$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n))$ $f$

(3)\qquad \phi =\phi (x_{1},x_{2},\dots x_{n})

Om funktionen visar sig vara tillräckligt smidig kan vi också skilja den genom att ta en partiell derivata med avseende på samma eller ett annat argument : $\phi$ $x_{j}$

(4)\qquad {\partial \phi \over \partial x_{j))={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i))

Om , då kallas uttrycket på höger sida av likheten (4) den blandade derivatan . $j\neq i$

Grund för satsen

För en jämn funktion av många variabler beror värdet på den blandade derivatan inte på differentieringsordningen:

(5)\qquad {\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j))={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}

Satsen är grundläggande i teorin om funktioner för många variabler och används i stor utsträckning inom matematisk fysik, teorin om partiella differentialekvationer och differentialgeometri.

Nödvändig grad av jämnhet

Den erforderliga graden av jämnhet bör specificeras steg för steg.

1. Giltighet för en analytisk funktion (sats).
2. Giltighet för en bredare klass av funktioner som endast har sådana kontinuerliga derivator i närheten av en punkt:

(6)\qquad {\partial f \over \partial x_{i)),\;{\partial f \over \partial x_{j)),\;{\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j)),{\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i))

3. Eftersom för fasta index alla derivator från listan (6) tas under villkoret att varje tredje argument är en konstant, kan funktionen (liksom alla derivator (6)) vara diskontinuerlig med avseende på de tredje argumenten. Låt oss till exempel komponera en funktion av två termer: $I j$ $x_k$ $f$

f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=\Phi (x_{i},x_{j})+Z(\dots x_{i-1},x_{ i+1},\dots x_{j-1},x_{j+1},\dots )

där den första termen är en jämn funktion av två argument, och den andra termen är diskontinuerlig på alla punkter.

En ytterligare förfining av funktionens jämnhet måste göras under bevisningen av satsen, den kommer att formuleras i slutet.

Bevis för satsen

Som nämnts ovan kan man för att bevisa satsen ignorera funktionens beroende av de tredje argumenten. Därför, för att underlätta notationen, kommer vi att ändra notationen till , det vill säga vi kommer att överväga en sådan funktion av två variabler: ${\displaystyle x_{i},x_{j))$ $x,y$

(7)\qquad f=f(x,y)

För att förenkla formlerna kommer vi också att beteckna partiella derivator med index längst ner i funktionen:

(8)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f(x,y) \over \partial x},\;f_{y}(x,y)={\partial f (x,y) \över \partial y}

(8a)\qquad f_{xy}={\partial ^{2}f \over \partial x\partial y},\;f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}

Låt det finnas en blandad derivata vid en punkt: $(x, y)$

(9)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,y)-f_{y}(x, y) \över \Delta x}

Antag att det finns en blandad derivata vid , och att det även finns en första derivata längs den (horisontella) linjen $f_{xy}$ $(x, y)$ $f_{y}(x,y)$ $y=const$ .

Vidare är skillnaden mellan derivator lika med derivatan av skillnaden, så vi gör formel (9) till:

(10)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\left[f (x+\Delta x,y)-f(x,y)\höger]

Denna transformation ställer inga ytterligare villkor, eftersom skillnaden mellan differentierbara funktioner alltid är en differentierbar funktion.

Vidare kan skillnaden inom hakparenteser av formel (10) skrivas som en bestämd integral av derivatan:

(11)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\int _{ x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi

Det är nödvändigt att det finns en partiell derivata längs en rät linje $f_{x}$ $y=const$ .

Nu skriver vi den partiella derivatan med avseende på y i formel (11) enligt definitionen av derivatan som en gräns:

(12)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{1 \över \Delta y}\left(\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y+\Delta y)d\xi -\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi \right)

Som du kan se är det nödvändigt att den partiella derivatan inte bara finns på linjen utan i någon tvådimensionell omgivning av punkten . $f_{x}$ $y=const$ $(x, y)$

Vidare är skillnaden mellan integralerna lika med integralen av skillnaden, och en konstant faktor kan införas under integraltecknet : ${1 \over \Delta y}$

(13)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^ {x+\Delta x}{f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \över \Delta y}d\xi

Denna transformation ställer inte heller några ytterligare villkor, eftersom skillnaden mellan integrerbara funktioner är en integrerbar funktion.

Enligt Lagrangesatsen är integranden i formel (13) lika med derivatan vid mittpunkten:

(14)\qquad {f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}=f_{yx}(\xi ,\eta )

Mittpunkten är en funktion:

(14a)\qquad \eta =\eta (\xi ,\Delta y)

vars värden ligger i intervallet (om till exempel ) $\Delta y>0$

(14b)\qquad \eta \in \,[y,y+\Delta y]

För giltigheten av (14) krävs förekomsten av en blandad derivata i någon tvådimensionell omgivning av punkten . ${\displaystyle f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x))$ $(x, y)$

För att komplettera beviset måste vi anta att den blandade derivatan är kontinuerlig i en punkt som en funktion av två variabler. Värdet av denna derivata vid en slutpunkt är lika, upp till en oändlig term, med värdet av derivatan vid punkten : $(x, y)$ $(\xi ,\eta )$ $(x, y)$

(15)\qquad f_{yx}(\xi ,\eta )=f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y)

Den blandade derivatan finns i en tvådimensionell omgivning av en punkt och är kontinuerlig vid den punkten som en funktion av två variabler. ${\displaystyle f_{yx))$ $(x, y)$

Ersätt (14) och (15) i (13):

(16)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^ {x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi

Observera att formel (16) är likvärdig med formel (13) (även om den har olika notation), och därför finns integralen och båda gränserna. Eftersom integranden i (16) är integrerbar, och den första termen är en konstant med avseende på integrationsvariabeln , visar sig den andra termen också vara integrerbar, och vi kan dela integralen i summan av två integraler, den första av som lätt kan tas som en integral av konstanten: $f_{yx}(x,y)$ $\xi$

(17)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi =\ int _{x}^{x+\Delta x}f_{yx}(x,y)d\xi +\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y) d\xi =

=f_{yx}\Delta x+\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y)d\xi

Efter att ha ersatt (17) med (16), kan vi ta konstanttermen först utanför den första gränsen och sedan utanför den andra gränsen:

(18)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\left(f_{yx}(x,y)\Delta x+\lim _ {\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \right)=

=f_{yx}(x,y)+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x} ^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi

Låt oss visa att den andra termen i det sista uttrycket av formel (18) är lika med noll. Låt oss ta ett godtyckligt positivt tal . Kontinuiteten för den blandade derivatan vid en punkt betyder att det finns ett positivt tal så att för varje punkt inuti kvadraten gäller följande olikhet: $\epsilon$ ${\displaystyle f_{yx))$ $(x, y)$ $\delta$ $(\xi ,\eta )$ $|\xi -x|<\delta ,\;|\eta -y|<\delta$

(19)\qquad |o(\xi -x,\eta -y)|=|f_{yx}(\xi ,\eta )-f_{yx}(x,y)|<\epsilon

Om vi tar positiva tal , så uppskattas integralen i den sista termen av formel (18) ovanifrån: $\Delta x<\delta ,\;\Delta y<\delta$

(20)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi <\int _{x }^{x+\Delta x}\epsilon d\xi =\epsilon \Delta x

Låt oss beteckna denna term $L$

(21)\qquad L=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\ Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \leq \lim _{\Delta x\högerpil 0}{1 \över \Delta x}\lim _ {\Delta y\rightarrow 0}\epsilon \Delta x=\epsilon

På liknande sätt (om vi tar ), har vi en lägre uppskattning: $-\epsilon <\Delta x<0$

(22)\qquad L\geq -\epsilon

Eftersom ett positivt tal kan vara godtyckligt litet, följer det nödvändigtvis . Teoremet har bevisats. $\epsilon$ $L=0$

Förfining av jämnheten hos en funktion

Som kan ses under bevisförloppet krävs att funktionen har en blandad derivata (till exempel ) vid en punkt, liksom förekomsten av en andra blandad derivata i en tvådimensionell grannskap av punkten och dess kontinuitet vid denna tidpunkt. Detta tillstånd innebär också förekomsten av en derivata längs ett linjesegment och förekomsten av en derivata i en tvådimensionell omgivning av en punkt. $f_{xy}$ ${\displaystyle f_{yx))$ ${\displaystyle f_{y))$ $y=const$ $f_{x}$

Dessutom följer existensen vid en punkt av två fakta: (a) det finns en derivata längs ett linjesegment som passerar genom punkten , (b) en blandad derivata existerar och är kontinuerlig vid denna punkt. $f_{xy}$ $(x, y)$ ${\displaystyle f_{y))$ $y=const$ $(x, y)$ ${\displaystyle f_{yx))$

Exempel

Tänk på funktionen

(23)\qquad f(x,y)=xy+y^{2}\chi (y)

där Dirichlet-funktionen är noll vid rationella punkter och en vid irrationella. Funktion (23) är definierad på hela planet; är kontinuerlig (som en funktion av två variabler) längs linjen och är diskontinuerlig vid alla andra punkter i planet. $\chi (y)$ ${\displaystyle y={m \över n))$ $y=0$

Överallt finns en kontinuerlig partiell derivata:

(24)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f \over \partial x}=y

och även en av de blandade derivaten:

(25)\qquad f_{yx}(x,y)={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}=1

Den partiella derivatan med avseende på y finns endast vid punkter på linjen : $y=0$

(26)\qquad f_{y}(x,0)=x

Också vid samma punkter på linjen finns en andra blandad derivata:

(27)\qquad f_{xy}(x,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,0)-f_{y}(x, 0) \över \Delta x}=1

Som du kan se, för punkterna på linjen , är villkoren för satsen uppfyllda, och båda blandade derivatorna är lika. $y=0$

Motexempel

Betrakta en funktion av två variabler $x,y$

(28)\qquad f(x,y)={|ax+by|^{3} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2))))

där bokstäver anger vissa parametrar som inte är noll. Formel (28) definierar en kontinuerlig funktion överallt på planet förutom origo . Vi kan omdefiniera funktionen vid ursprunget $a,b$ $x=0,\;y=0$ $f(x,y)$

(29)\qquad f(0,0)=0

Enligt dessa definitioner kommer funktionen också att vara kontinuerlig vid origo, vilket kan ses genom att presentera formel (28) i det polära koordinatsystemet (och rikta ): $r\rightarrow 0$

(30)\qquad f(r,\phi )=(a^{2}+b^{2})^{3 \över 2}\,r^{2}|\sin(\phi + \phi _{0})|^{3}

Låt oss visa att för denna utökade funktion finns blandade derivator vid ursprunget, men de är inte lika med varandra. $f(x,y)$

Först beräknar vi de första derivatorna . Som ett mellanresultat noterar vi att modulkubfunktionen är två gånger differentierbar, och dess första och andra derivator beräknas med formlerna: ${\displaystyle f_{x},\,f_{y))$

(31)\qquad {d \over dx}|x|^{3}=3x|x|

(31a)\qquad {d^{2} \over dx^{2}}|x|^{3}={d \over dx}(3x|x|)=6|x|

Nu, med hänsyn till (28) och (31), skriver vi de första derivatorna av funktionen vid en annan punkt i planet än ursprunget ( ): $f(x,y)$ ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$

(32)\qquad f_{x}=3a{(ax+by)|ax+by|  \över r}-{x \över r^{3}}|ax+by|^{3}

(33)\qquad f_{y}=3b{(ax+by)|ax+by|  \över r}-{y \över r^{3}}|ax+by|^{3}

Du kan också beräkna de första derivatorna vid ursprunget, baserat på definitionen av en derivata:

(32a)\qquad f_{x}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f(x,0)-f(0,0) \over x}=\lim _{ x\högerpil 0}{|ax|^{3} \över {x|x|}}=0

Liknande

(33a)\qquad f_{y}(0,0)=0

Vi övergår nu till beräkningen av blandade derivat vid ursprunget:

(34)\qquad f_{xy}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f_{y}(x,0)-f_{y}(0,0) \over x }=\lim _{x\högerpil 0}{1 \over x}\left({3bax|ax| \over |x|}\right)=3ab|a|

En liknande beräkning ger:

(35)\qquad f_{yx}(0,0)=3ab|b|

Det är lätt att se att formlerna (34) och (35) ger olika resultat om:

(36)\qquad |a|>0,\;|b|>0,\;|a|\neq |b|

Anledningen till denna ojämlikhet är att satsens villkor inte är uppfyllt - båda blandade derivatorna (även om de finns överallt) är diskontinuerliga vid ursprunget.

Du kan också överväga funktionen

f(x,y)={xy(x^{2}-y^{2}) \över x^{2}+y^{2}}

Förenklat bevis för analytiska funktioner

En analytisk funktion av två variabler (åtminstone lokalt) expanderar till en konvergent potensserie:

(37)\qquad f(x,y)=\sum _{n,m=0}^{\infty }a_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_ {0})^{m}

Som bekant kan en potensserie differentieras term för term inom dess konvergensradie. Således hittar vi de första derivatorna:

(38)\qquad f_{x}=\sum _{n,m=0}^{\infty }na_{nm}(x-x_{0})^{n-1}(y-y_ {0})^{m}

(39)\qquad f_{y}=\sum _{n,m=0}^{\infty }ma_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_{0 })^{m-1}

Upprepad differentiering av (38) och (39) ger samma formel för båda blandade derivaten:

(40)\qquad f_{xy}=f_{y}x=\summa _{n,m=0}^{\infty }nma_{nm}(x-x_{0})^{n- 1}(å-å_{0})^{m-1}

Se även

Blandat partiellt derivat

Litteratur

Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics (obestämd) . - Springer, 2001. - ISBN 978-1556080104 .
Kleinert, H. Flervärdiga fält i kondenserad materia, elektrodynamik och gravitation (engelska) . - World Scientific , 2008. - ISBN 978-981-279-170-2 .